基礎實驗試題B:測量透明固體和液體材料的折射率以及柯西關系

陳梓平,馬 波

(中山大學 物理與天文學院,廣東 珠海 519082)

折射率與光的波長有關的現象叫做色散. 利用色散可以分光,即把復色光分解為單色光而形成光譜. 1672年,牛頓利用三棱鏡將日光分解為彩色光帶,這是現知最早的觀測色散現象的實驗. 廣義上來講,任何物理量只要隨著頻率(或波長)的變化而變化,便稱為色散[1],例如旋光色散等. 色散現象在光譜分析領域有廣泛的應用,利用色散光譜分析可以分析物質的成分、結構和研究其反應過程;而在光通信領域中,光在光纖中傳輸時也會因色散而導致信號失真和衰減,因此通過研究光的色散現象、折射規律,可以開發出各種抑制和補償色散的技術,提高光纖通信的傳輸速率及距離[2];通過色散原理測量星系的藍移或紅移,在天文學領域具有重要研究意義,可以幫助科學家了解宇宙的膨脹速度. 因此研究光的色散,即光在不同介質中的折射率具有廣泛的應用價值.

分光計的基本光學結構是許多光學儀器(如棱鏡光譜儀、光柵光譜儀、分光光度計、單色儀等)的基礎,其在物理實驗中既能夠鍛煉學生的基本實驗技能,又能培養學生應用理論知識解決實際問題的能力. 因此,分光計是大學物理實驗的重要實驗儀器[3].

第9屆全國大學生物理實驗競賽珠海賽區基礎題B選擇了用分光計測量透明固體和液體材料的折射率. 該實驗是在常規的大學物理實驗內容的基礎上,加入透明比色皿正方體容器,設計實驗方案測未知液體的折射率. 試題一方面考查學生基礎知識的熟練掌握程度;題目符合教學高階性、創新性、挑戰度和階梯性的要求,在大學物理實驗的基礎上進行拔高,提出復合光路的實驗設計,培養學生知識拓展、舉一反三的能力和物理學科核心素養[4].

1 儀器及競賽題目

1.1 儀器耗材介紹

本實驗以分光計為主要儀器,提供了光柵、汞燈、鈉燈配套元器件,如表1和圖1～2所示. 搭建實驗系統:直接使用三棱鏡測出三棱鏡對應不同波長光線的折射率;將三棱鏡置于容器內,并注入液體,測量未知液體對應波長的折射率.

圖1 汞燈和分光計的實物圖

圖2 正方體空腔容器

表1 主要實驗器材列表

1.2 競賽題目

1)利用光柵方程,使用分光計、未知光柵常量的光柵、給定黃光發射線波長的鈉光燈,測量汞燈中各發射線的未知波長. 請簡述測量原理,并測量發射線在三棱鏡中的折射率.(可提供錦囊1)

2)設計實驗方案用以測量汞燈的發射線在某未知液體中的折射率,詳細寫出設計方案.(可提供錦囊2)

3)使用上述方案進行實際測量,要求至少使用5條不同的汞燈發射線,數據記錄需符合規范要求.

4)基于已測數據,使用最小二乘法,分別擬合三棱鏡及未知液體2種材料的柯西公式.(可提供錦囊3)

5)誤差分析討論:假設給定的三棱鏡頂角有1°的誤差,簡單討論并估算三棱鏡的n(500 nm)的誤差;假設給定的鈉燈黃光譜線波長有0.1 nm的誤差時,簡單討論并估算三棱鏡的n(500 nm)的誤差.

2 考核點

2.1 基礎理論知識及常見光學儀器的應用

在光學實驗教學中,常常發現即使學生已充分預習,但在實際操作時仍不能很好地操作儀器,例如利用分光計進行測量的實驗,其難點在于:

1)分光計的調平. 分光計的調節基于光學實驗中最基本的光路要求——等高同軸共心,載物臺平面和望遠鏡光軸平行,望遠鏡光軸和準直管光軸水平且在一同直線上. 但在實際教學中發現,學生進行光學實驗操作時的基本準則意識較弱,經常在不知曉目的時盲目調節儀器.

2)光的色散理論和折射率的測量單靠理論理解起來較為抽象,且光線透過狹縫后進入準直管和望遠鏡光管,整個系統要求學生對光路有具象建模的過程,以清晰準確地把握光路的走向,從而快速找到出射光線. 由于學生光路建模的能力相對較弱,從而導致學生很難找到產生最小偏折角的折射光線. 另外圓游標角度值的讀數也是分光計教學中的薄弱點.

試題考核了學生的實驗操作能力,能否靈活利用所提供元器件進行實驗

2.2 復雜光路的分析能力及光學建模、方案設計

學生在理解分光計常規實驗內容的基礎上,了解不同透明介質材料對同一波長的光的折射能力強弱不同,通過光路具象建模,懂得如何將所提供的元器件進行搭配才能得到折射光線.

試題考查了學生的知識遷移能力,方案設計的邏輯性、合理性、創新性.

2.3 數據測量及處理

利用所設計的實驗方案測量汞燈發出的5條不同波長的發射線在未知液體中的折射率,考查學生實驗操作及數據記錄的規范性和完整性.

通過所測數據,選擇5條肉眼能識別出的汞燈發射線,利用做小二乘法擬合計算得到折射率的柯西公式[5].

2.4 誤差分析與討論

考查在假定情況下的誤差分析,以及基于誤差分析結果規范表述實驗結果的基本素養.

3 實驗原理、測量方法及解題參考方案

3.1 知識點

折射率是物質中的原子和電子與電磁波相互作用的重要物理參量. 不同顏色的光在透明介電材料內存在色散現象,是由于不同顏色的光在同一材料內的折射率不同. 假設在可見光區域,大部分透明材料的折射率滿足柯西關系[1]:

(1)

其中,n(λ)為對應波長的光在該材料中的折射率.在可見光波段中,通過柯西關系,可計算出不同波長光的折射率.

3.2 測量三棱鏡折射率和最小偏折角法

對于題目1),可以使用分光計,利用光柵和鈉光燈(已知發射線波長)測量得出汞燈中若干條發射線的波長.該測量中需要使用光柵方程

dsinφ=kλ,

(2)

其中,d是光柵常量,φ是譜線的衍射角,k是光譜級數,λ是對應譜線的波長.

應用最小偏折角原理測量折射率.當棱鏡內的折射光線行進方向和三棱鏡的底邊平行時,入射光線和出射光線之間會產生最小的偏折角度.根據簡單的折射規律和幾何關系,推導出棱鏡的折射率為[1]

(3)

其中A為三棱鏡頂角,題中給出A=60°.測得汞燈的不同譜線波長及對應的三棱鏡折射率如表2所示.

表2 測量所得汞燈中5條發射線參考波長及利用最小偏折角法測量發射線對應的三棱鏡折射率

3.3 測量透明液體材料折射率和最小偏折角法

針對題目2)和3),可參考以下方案解答.

題目中提供了三棱鏡、正方體比色皿容器、未知液體. 可以先將三棱鏡放入比色皿,且三棱鏡磨砂底面緊貼正方體容器的一個側面,再將未知液體倒入正方體空腔容器內,組成組合式的分光元器件,發生最小偏折角情況下,棱鏡內光線行進方向和棱鏡/比色皿底邊平行,如圖3～4所示.

圖3 組合式分光元器件示意圖

圖4 組合式分光元器件實物圖

當光線分別從正方體左右兩邊入射和出射時,整個系統組成左右對稱的光學系統,因此仍然可以像3.2節中應用最小偏折角原理來測量折射率:當三棱鏡中的光線行進方向和三棱鏡的底邊平行時(圖3),入射光線和出射光線之間會產生最小的偏折角度.

利用等邊三角形和正方形的特殊幾何關系,在光線從空氣進入液體的分界面1和從液體進入三棱鏡的分界面2(如圖3中藍色圓圈標識所示)分別應用折射公式,可以得到:

(4)

(5)

其中,A是三棱鏡頂角,B是入射光線在第一個分界面——從空氣進入未知液體后的折射角,n0是空氣折射率(假設為1.0),nL是未知液體折射率,nP是3.2節中測量得到的棱鏡材料的折射率.將式(5)除以式(4),利用三角函數關系,可得

(6)

將此部分實驗測量得到的最小偏折角δm2代入到式(6),可以求出B,再代入式(4),則可以得到未知液體的折射率為

(7)

測得汞燈不同譜線對應的折射率如表3所示.

表3 利用最小偏折角法測量所得5條發射線對應的未知液體的折射率

注意,計算過程中將正方體比色皿容器做理想化處理,假設容器壁的厚度均勻,內外壁面嚴格平行,不影響光的行進方向,所以可以忽略正方體容器側邊折射的影響.

3.4 數據處理

將式(1)中的λ-2替換為x,柯西關系變為

n(λ)=a0+a1x+a2x2.

(8)

測量汞燈5條譜線數據對應5個點,這些點到式(8)代表的曲線的距離的平方和,為即殘差平方和

(9)

為求出使R2取極小值所對應的多項式系數ak,令R2對ak的偏導數為0,可得3個線性方程(k分別取0,1,2):

(10)

求解式(8)～式(10),即可得到柯西關系多項式的最佳擬合參量a0,a1和a2.

代入測試實驗時獲取的數據,波長選取nm作為單位,可以計算得到2種不同材料的柯西關系參考值分別為

(11)

(12)

最終擬合得到的未知液體的柯西關系圖如圖5所示.擬合所得的折射率數據的殘差在1×10-4數量級.

圖5 未知液體的柯西關系擬合圖

3.5 誤差分析

在假設實驗其他部分測量均沒有誤差,且柯西關系嚴格成立的前提下,分別討論當三棱鏡的頂角有1°的誤差和鈉光燈的譜線波長有0.1 nm的誤差2種情況下,波長為500 nm的可見光在三棱鏡中的折射率n的誤差.

考慮到前面題目內容較多,花費時間較長,此處誤差分析只要求簡單討論和估算,選手可以用類似蒙特卡羅式的誤差估計方法A:將頂角換為59°和61°分別計算下n的值,以及使用500.1 nm和499.9 nm分別代入柯西關系,就可以估算出n的誤差. 若采用方案B:利用誤差傳遞公式,計算得到不確定度結果,則需要做大量的計算.

4 結果與評論

4.1 答卷得分統計

本次競賽共有53組隊伍選做基礎實驗試題 B.選手的得分情況如圖6～8所示,最終只有10%左右的選手能順利完成所有實驗內容反映出此競賽題目的難度是偏高的,具有高階性和挑戰度. 從第1),2),4)題的統計結果來看:

圖6 題目1)答題情況統計表

圖7 題目2)答題情況統計表

圖8 考生總得分情況統計表

接近1/3的學生能在題目1)中得到50%以上的分數,得分區間從低到高,人數大體呈遞減趨勢,從實驗過程和答卷結果看,能夠熟練掌握分光計使用的學生占少部分. 大部分學生能夠寫出題目2的實驗方案,但在方案的設計依據、可操作性上沒能很好地解釋,導致大部分學生的得分偏低,說明學生對折射率、色散等知識點的掌握較弱.

由于大部分學生在前2項實驗內容上花費的時間較長,且無法得出正確的結果,導致后面的問題開始出現較大的區別,只有少部分學生能夠完成后續實驗內容. 在數據擬合及誤差分析部分,大部分學生的得分主要來自于對擬合方法及誤差來源的定性分析,這與賽前的預期存在較大偏差. 這可能是源于近年的教學中,學生傾向于使用電腦中的Origin, Python和Matlab等工具做誤差分析和公式擬合,少有學生會訓練使用計算器和最小二乘法手動計算擬合公式以及做誤差傳遞練習. 建議在以后的比賽中,可以考慮給選手們配備計算機和常用數據處理軟件來做數據分析.

4.2 數據比對

本次競賽題目在賽前由出題教師、實驗技術人員及本學院優秀研究生對32套實驗設備和樣品各進行8次完整實驗,實驗平均用時2 h;為評估難度,邀請本學院已完成基礎物理實驗課程的優秀本科生試做5次,平均每次用時2.5 h,實驗結果皆在參考值范圍內.

通過匯總試卷的答題情況,除去數據空白的考卷樣本,對考生測出數據與考前測試得出參考數據進行對比,結果如表4～6所示.

表4 測得汞燈中5條發射線數據比對

表5 測得三棱鏡的折射率數據比對

表6 測得未知液體的折射率數據比對

在監考過程中,也對學生的實驗進度做了相關統計,實驗待測元件主要是光柵、三棱鏡和未知液體,學生依次按順序測量,每隔30 min記錄學生操作進度如表7所示.

表7 學生操作進度表

從統計數據中看出,大部分學生能在2 h內完成儀器水平調節,測量出光柵常量,但要完全完成本題基本測量內容,測量出棱鏡折射率需多花費1 h時間. 從考場的實際情況來看,選手們操作部分的主要問題在于不善于利用學過的理論知識來指導實驗操作. 部分選手因為在實驗課或光學理論課上學過最小偏折角測量方法,會憑借模糊記憶轉動待測物品和望遠鏡,花費大量時間尋找出射光線. 尤其是當加入液體后,偏折角會大幅度變小,若選手仍在之前的偏折角范圍附近尋找出射光線,則會無功而返. 正確的做法是先制定實驗方案,通過繪制簡單的光路圖,快速估算出最小偏折角的大概范圍,然后再調節待測樣品和望遠鏡的擺放方位,尋找出射光線.

本次競賽基礎題B在重點考察的第1),2),4)題中分別設置了錦囊1,錦囊2,錦囊3,共有12名考生領取了錦囊1,4名考生領取了錦囊2,1名考生領取了錦囊3. 比賽規定,錦囊1在開考1 h之后可以使用,并扣減對應考題得分分值15分(扣到0分為止,以下同),錦囊2在開考2 h之后可以使用并扣減對應考題得分分值15分,錦囊3在開考3 h之后可以使用并扣減對應考題得分分值4分. 約23%的考生領取了錦囊1,但是錦囊2只有不到8%的同學領取. 事后分析,可能因為考生們覺得領取錦囊2,總分值20分要扣15分不太“劃算”,但是領取錦囊1的話則是總分值30分扣15分,相對“劃算”. 錦囊3則因為大部分考生在比賽中未能做到第四小題部分,幾乎無人領取.

4.3 競賽題目和教學題目的對比

在大學物理實驗教學中,使用分光計和最小偏折角原理測量三棱鏡的折射率是比較常見的實驗. 為了讓參賽學生不重復太多課堂上做過的實驗,同時體現競賽的深度,命題小組成員對教材上的題目做了以下變動:

1)增加了光柵和鈉光燈,考察學生使用光柵方程測量未知譜線波長的能力.

2)使用教學分光計來測量三棱鏡頂角的不確定度大小一般在幾個角分. 在本實驗中,為了節約學生的操作時間,移除了三棱鏡頂角測量的操作部分,轉而要求學生使用固定的頂角值60°來做計算. 該要求會給后續所有折射率的測量帶來額外的不確定度,大小估算為0.001.

3)誤差分析部分,為節約學生時間,并未要求學生使用多次測量的實驗數據來做誤差分析,而是做了大幅度的簡化,讓學生直接使用假設的測量誤差來推算500 nm波長下折射率n的誤差. 該題目可以考查學生對使用蒙特卡羅法或者誤差傳遞法分析測量誤差的掌握程度.

5 調查問卷統計

共回收到40名參賽選手問卷,其中物理類學生29名,非物理類學生11名,統計結果如表8所示. 選手反映的問題主要集中在理論知識沒掌握. 不習慣方案撰寫及物理建模有困難等3方面,可以理解為在日常實驗教學模式中,學生已習慣教師提供資料,學生根據資料進行實驗操作,并根據資料進行問答式的數據分析及問題回答,這導致學生獨立思考的空間小,擴展能力不足. 對于本賽題的改進建議,主要集中在“提供更多的背景知識和解釋”,本賽題是基于大學物理常規實驗分光計實驗進行提升,平行擴展,對此可以理解為學生對于基礎理論知識的掌握不夠扎實,在遇到新事物時無法舉一反三地使用學過的知識.

表8 調查問卷統計分析

對比競賽成績與調查問卷結果,可以看出學生在光學實驗中存在以下幾方面薄弱點:

1)理論知識掌握不夠透徹,對于光的色散、折射的理解層次較淺,當遇到復雜系統時,無法調用基礎理論進行實驗拓展;

2)高階層次實驗設計能力訓練不足,日常實驗教學中,學生較習慣由教師提供講義及實驗報告模板,學生按照教師思路按部就班地做實驗,學生發現問題,獨立思考解決問題的能力較為薄弱;

3)光學具象建模能力弱,若光學實驗中使用了導軌,把光軸限定在一維平面時,學生能較輕松地完成實驗,而一旦實驗光軸擴充到二維平面,學生就需要花費大量時間在“盲猜”中尋找想要的光學現象,從本次競賽中學生利用最小偏折角方法時的表現也體現出這一點;

4)數據處理能力有待加強.

如何改進以上學生實驗學習中的薄弱點,可以作為后續實驗教學改革的探索方向,從而培養出基礎扎實,具有良好創新能力和科研素養的基礎研究人才.

6 結束語

本次競賽內容從基礎光學實驗分光計的調節與使用出發,既檢驗了學生對于光柵和三棱鏡等分光元器件的操作使用本領,又考查了學生對光柵方程和最小偏折角原理等理論知識的運用. 相較于傳統的課堂實驗項目,通過加入未知液體折射率的測量,提升了實驗難度,進一步考查了選手“舉一反三”的實驗方案設計能力. 實驗競賽現場沒有配備電腦,對選手的實驗數據分析和擬合帶來一定影響,未來可考慮通過加大比賽投入來改善. 競賽結果表明,在未來的物理實驗教學中應當思考如何更有效地培養學生的實踐能力和綜合素養,并能將所學知識應用于實際問題的解決.

感謝何振輝教授對題目設計提出大量寶貴建議,以及對賽后論文撰寫的悉心指導!