豎直周期外驅力下的顆粒碰撞自組織研究

趙梓茗,王 偉,周路群

(北京大學 物理學院,北京 100871)

顆粒物質在生產生活中普遍存在,但是由于這類物質的能量耗散不可忽略,無法用力學方法預測,從而導致很難給出理論上的解析解. 同時,顆粒系統有著不同于固體和流體的動力學性質,因此常常表現出一些反常效應.

豎直外力驅動的顆粒碰撞行為,也被稱為“沙堆麥克斯韋妖效應”,是揭示顆粒系統奇特動力學性質最經典的實驗. 1996年,Schlichting等人提出了類似的演示實驗[1],并且被Eggers在1999年提出的二維圓盤碰撞模型進行定性解釋[2]. 然而Eggers沒有給出粒子數在豎直方向的分布,理論計算得到的等效溫度也與實驗結果不符合. 因此本文建立了顆粒碰撞的三維模型并且定量計算相關參量,實驗結果與理論符合較好.

1 實驗裝置和現象

實驗裝置如圖1所示,采用上端開口的透明容器(5 cm×2 cm×15 cm),用豎直金屬隔板將容器等分為2個腔室,只在隔板距離容器底1 cm處開有高度為3 mm的水平狹縫,允許兩腔室內的粒子交換. 采用掃頻信號發生器產生可調頻率輸出,經功率放大器驅動激振器. 激振器通過磁線圈的電信號驅動電機頂桿,推動振動臺上下周期運動,再通過壓電加速度傳感器將其轉換為電信號,由電荷放大器放大后顯示在示波器上.

圖1 實驗裝置示意圖

實驗開始前,在容器一側放入460粒直徑為1 mm的銅球. 將容器固定在振動臺上,施加振幅變化、頻率為50 Hz的三角波電壓. 觀察到粒子在容器中四處碰撞、上下振動,如圖2(a)所示. 部分粒子從狹縫轉移到另一腔室,兩側粒子數在幾分鐘內達到穩定,系統進入振動平衡狀態,如圖2(b)所示. 這時關閉電源,振動停止,兩腔室中的粒子分別落在各自腔室的底部,不再交換. 統計振動平衡時兩側腔室內銅球的數量.

(a)剛開始振動 (b)振動平衡圖2 容器內粒子狀態示意圖

實驗中觀察到,保持粒子總數、種類和振動頻率不變,若振幅大于某閾值A0,則平衡后兩腔室的粒子數基本一致,如圖3(b)所示. 反之,若振幅小于該閾值,則平衡時兩腔室的粒子數不相等,且振幅越小,兩腔室的粒子數差異越大,如圖3(c)所示.

(a)實驗開始前

在以往的實驗中,一般采取改變頻率而保持振幅的方法[1]. 出于測量原理考慮,本文在實驗中保持頻率不變而調節振幅. 由于最大加速度正比于振幅,通過簡單計算可以得到兩腔室的球數量比與振幅的關系.

2 理論建模和計算

在實驗中,所有運動過程均依靠粒子碰撞完成,因此可以觀察到重力作用下粒子數密度下高上低的特點.

在恢復系數e比較大的情況下,由于單次碰撞能量損失δE∝1-e2,因此可以將粒子數密度n?1和1-e?1的微觀化氣體進行類比,并保持單位體積碰撞能損功率n2(1-e2)不變,這就要求選取數量大而彈性好的剛性小球作為實驗材料,本文選取銅球.

(1)

以上4式來源于理想氣體物態、受力平衡、碰撞頻率和傳熱方程.式中,變量p和Q為粒子等效壓強和單位面積傳熱功率;σ,κ和〈E〉分別為粒子碰撞截面、導熱系數和單次平均能量損失.由近平衡碰撞理論,可以計算得到:

(2)

(3)

以上計算過程采用相對運動粒子對心連線方向上相對速度分布服從T=2T0的麥克斯韋速率分布這一結論[3].

將式(2)～(3)代入式(1),得到:

(4)

對于將顆粒系統近似為理想氣體的研究,方程組(4)是精確的,但難以求出解析解.

(5)

將方程組(5)代入式(1),得關于y的微分方程為

(6)

雖然解析方程(6)并不初等,但后文的研究表明在適當的近似條件下,模型結果與實驗測量符合較好.

(7)

考慮到溫度的物理意義,y應在任何位置不發散,因此必有T為常量.代入某高度單位厚度的能量損耗功率方程(4),可以求得總損耗功率為

(8)

(9)

其中,S為每個腔室的底面積,式(8)利用了歸一化條件.

計算高度z=0處由底板振動帶來的能流密度,與總損耗功率相當.由于系統總體受力平衡,因此底面的壓力大小始終為F=mgN(N為粒子總數).設底板上移時速度為V,則等效壓力f=2mgN,驅動功率U=mgNV.由于系統的消耗功率Q和驅動功率U相同,因此將式(9)變形即可算出溫度為

(10)

(11)

將式(10)代入式(11)可得到:

(12)

其中,A為振幅,f為三角波電壓的頻率,h為狹縫到容器底部的高度.

最終穩定振動時左右兩側腔室向對方轉移的粒子數應相等,即PL=PR,用nL和nR表示為

(13)

為求解方程(13),將其兩側所代表的曲線作圖,如圖4所示.改變序參量γη的值,得到方程解的特征也不同.

(a)γη=3.2

從圖4可以看出,方程(13)存在2種解:

2)只有在γη>4的條件下才會出現的非對稱解.理論計算中,非對稱解的值隨序參量γη的變化如圖5所示.

圖5 非對稱解隨序參量γη的變化

3 實驗結果

固定頻率f=60 Hz,用高速攝像機對振動臺振幅做定標處理,得到關系系數k=72 V/mm.通過改變輸入電壓改變振幅,測量振幅A、參量η、粒子分布參量τ和理論指數τ0數據如表1所示.如果理論合理,則分布參量τ應當能擬合在圖5的曲線上,使用最小二乘法回歸得到系數γ=0.073±0.006,r=0.96.實驗值與理論值γ0=0.069±0.004基本一致,可認為理論模型合理,本文計算了真實條件下的分布,結果令人信服[4].

表1 A,η,τ,τ0的測量數據

4 模型修正

顯然,由于Γ不嚴格為0,前文對于方程(4)的近似不合理,也與測量結果不符. 但是,數密度n卻有了良好的表達式,且與實驗吻合. 下面將求修正解,優化對T(z)的描述.

(14)

將式(14)代入微分方程(1),忽略高階項,可得

(15)

此處選取實驗參量.可判斷exp (-λz)?1確實成立,保留到一階合理.利用y的表達式展開T,同時將y代入關于n2的表達式,可得

(16)

(17)

此處體現選擇近似的意義:關于數密度n2的方程必須在T的一階近似下才有意義.若取T=T0近似,則解得n2=0.這是因為Γ是一階小量,必須將T的表達式也近似到一階,否則就不能反映Γ的大小.而采用級數修正的意義正是能夠在不改變n2表達式的條件下修正對T的描述.此時,方程(1)式近似成立的條件是:

(18)

可知,一階修正的大小與Γ成正比.理想氣體近似下,1-e2=0,Γ=0.對于e≠1的情況,則必須將指數按1-e2的階數展開.而在本實驗的參量選擇下,計算表明展開到一階就已足夠準確.

為顯示一階近似修正的成功之處,將未修正結果(劃線)、修正結果(點線)和測量得到的等效溫度分布[5](實線)進行對比,如圖6所示,可以看到引入一階修正后對溫度的描述更好.

圖6 溫度修正圖

另一種可能存在的誤差,是對底面單位時間傳遞熱量的估計不準確.選擇另一種求解觀點,認為z=0位置的氣體服從麥克斯韋速度分布規律,重新統計碰撞前后氣體粒子能量的增量,通過積分計算得到:

mnv0T(0)=mgNv0,

(19)

5 展望和深入研究

在理解單種粒子的顆粒碰撞現象后,可以將類似的觀點和處理方式運用在其他顆粒動力學現象中,例如堅果效應和逆堅果效應[6].在電場的膠體電泳、混懸液沉降問題中,類似的能量損耗也會發生[7].本研究的思路可以為這些有現實意義的問題提供幫助,特別是對于能量損耗小、數密度大的氣相和液相體系(如混懸液、膠體、層析等),按損耗系數1-e2的階數展開的修正方法具有參考意義.如何在這些體系中描述物理過程,是未來的研究方向.

6 結束語

本文基于熱力學輸運和逐級展開研究了受豎直驅動的顆粒系統的碰撞,展示了對顆粒系統的的研究思路:輸運過程依靠粒子的劇烈碰撞實現,可以認為粒子服從理想氣體狀態方程和麥克斯韋速度分布. 為各向同性的粒子定義溫度和熱流,通過粒子運動輸運能量傳遞損耗,計算粒子和溫度分布. 本文將以往研究中定性的計算定量化,從熱力學輸運的角度近似,精確求出粒子分布的表達形式,并對文獻[4]中沒有指明的恒溫近似做進一步處理,給出溫度分布方程和一階修正,證明該近似在實驗條件下成立,同時與實驗測量結果吻合.