隨機Lur’e時滯網絡的指數同步與脈沖控制

孔緯升 湯 澤 王 艷 紀志成

(1.江南大學物聯網工程學院,江蘇 無錫 214122;2.江南大學物聯網應用技術教育部工程研究中心,江蘇 無錫 214122)

1 引言

近年來,在網絡科學以及控制理論等諸多學科中,復雜系統與動態網絡的同步成為熱點問題,引起了諸多學者的廣泛關注[1].復雜網絡是具有小世界、無標度和集群等特性的網絡,它由節點和邊組成,其中節點用于表示現實系統中的不同個體,而邊用于表示節點之間的個體關系.實際上,同步是自然界普遍存在的現象,如鐘擺的同步、劇場內掌聲的同步、螢火蟲的同步等,同步意味著每個節點的狀態變量相互收斂,這可以通過相互交換節點信息來實現.因此,同步在故障檢測、信號處理、網絡通信具有重要的潛在應用價值.到目前為止,已經逐漸研究了許多同步模式,例如廣義同步[2]、聚類同步[3]和相位同步[4]等.

Lur’e 系統是由前蘇聯學者Lur’e 在世提出的[5].Lur’e系統是一個典型非線性系統,可以看作是一個由一個非線性系統和一個滿足扇區有界約束條件的非線性反饋組成的閉環系統.Lur’e系統包括Lorenz系統、Goodwin模型、蔡氏電路等,廣泛用于航空航天和液壓伺服控制等諸多工程和技術領域.

由于網絡控制系統中放大器的有限交換速率和信號傳輸時間[6],導致了時滯現象在網絡中普遍存在.事實上,具有線性耦合配置和時滯的Lur’e網絡易于物理實現,因此具有很大的潛在應用價值,特別是在基于同步的航空航天領域.時滯對系統的動態行為有很大的影響,在一定程度上會改變系統趨于同步的速率.時滯一般具有時變等特性,而時變時滯的部分特性是已知的,比如其上界,同時時變時滯可以是非平滑的.在網絡建模中,若對時滯的描述不夠準確,會導致設計缺陷和分析結果不準確.例如,文獻[7]研究了具有參數不確定性的時滯Lur’e 系統的同步.此外,Li 和Chen[8]用線性矩陣不等式討論時滯動態網絡的同步.

實際上,只有少數復雜動態網絡可以通過改變系統本身的特性和網絡的耦合強度來實現同步,而大多數復雜網絡需要通過外部控制輸入來實現同步.因此,設計高效控制器已成為復雜網絡同步中的一項關鍵問題.隨著研究的不斷深入,出現了不同的控制策略,如牽制控制[9]、自適應控制[10]、脈沖控制[11]、間歇控制[12]和事件觸發控制[13].其中,脈沖控制作為一類典型的離散控制方法,只有在脈沖發生的時刻才會被激活.在許多脈沖控制或脈沖擾動問題中,網絡狀態的切換現象、頻率變化或其他突發噪聲的瞬態擾動和在某些瞬間發生突變是不可避免的,因此需要考慮不同的脈沖效應.在系統相互交換信息的過程中,脈沖效應既可以起到積極作用,也可以起到消極作用.這意味著脈沖效應不僅能加快網絡同步,而且可能阻礙甚至破壞整個系統的同步.例如,文獻[14]利用脈沖控制和穩定性定理研究了不確定動態網絡的魯棒脈沖同步.此外,通過建立脈沖時滯微分不等式,文獻[15]考慮了具有脈沖效應的神經網絡.

基于上述考慮,本文將研究脈沖控制下時滯耦合Lur’e網絡的全局指數同步問題,為了模擬現實世界,在同步分析中將考慮隨機現象.由于現實網絡受通信通道帶寬等條件限制,故節點之間的信息交換很難以線性、對稱的形式進行.因此,本文通過一致性地考慮正負脈沖效應,提出了隨機Lur’e時滯網絡實現全局同步的充分條件,且給出網絡的收斂速度.最后,通過不同脈沖效應的數值仿真驗證了所提出的控制策略的有效性.本文的主要貢獻可以概括為以下3點: 1)與現有大多數研究相比,如文獻[16–17],本文一致性地討論了正負脈沖效應對網絡群聚行為的影響,以確保實現隨機Lur’e動態網絡全局指數的同步;2)在不設置參照系統的情況下,通過引入Perron-Frobenius定理并構造一個新穎的Lyapunov函數,仍可以在耦合網絡內實現同步,即巧妙地應用了無參照系統策略,這明顯區別于現有的相關工作,如文獻[18–19];3)結合平均脈沖間隔概念、Lyapunov穩定性定理、比較原理和參數變分原理,給出了隨機Lur’e時滯網絡實現全局指數同步的充分條件.值得注意的是,在不同的脈沖效應下,Lur’e網絡的收斂速度不是一致的,且收斂速度直接受時變時滯上限的影響,而在文獻[20]中,不同的脈沖效應則導致一致的收斂速度.

2 準備工作

考慮隨機Lur’e系統耦合而成的時滯網絡模型

為了給出同步的判定條件,下面本文首先給出一些相關的定義、假設和引理.

定義1[20]假設在時間段(t,T)內脈沖信號序列為ζ={t1,t2,···},Nζ(T,t)代表了在脈沖序列的脈沖次數.如果存在兩個正數N0和Na滿足以下不等式:+N0,0 ≤t≤T,那么脈沖信號序列的平均脈沖間隔小于Na.

定義2[21]考慮復雜網絡(1).如果對于任意初始條件?i(t)∈C([-τ1,0],Rn),存在標量λ>0,T0>0和ρ>0,使得當t>T0時有

則稱復雜網絡(1)實現了全局指數同步.此外,λ被稱作收斂速度.

假設1非線性函數f1(·)和f2(·)滿足利普希茨條件,即意味著對于任意向量x,y ∈Rn,都有

其中l1和l2是正常數.

假設2假設噪聲強度函數矩陣:R+×Rn →Rn×m根據矩陣上的跡內積引起的范數是一致利普希茨連續的

其中M是一個具有兼容維度的已知常數矩陣.

引理1[22]考慮以下脈沖隨機系統:

假設存在一個Lyapunov函數V(t,z(t))和滿足對于任意t≥0,k ∈N都有φ(t,0)=ψk(0)=0的函數φ,ψk使得

1)對于t≥t0,存在正常數c1和c2使得c1∥z(t)∥≤V(t,x(t))≤c2∥z(t)∥;

2)存在連續函數φ:R+×R+→R,φ(t,s),對于任意t ∈R+在s上是凹的,使得LV(t,z)≤φ(t,V(t,z)),其中L定義如下:LV(t,z)=Vt(t,z)+Vz(t,z)?(t,z)+trace(ηT(t,z)Vzzη(t,z));

則以下比較系統的平凡解的指數穩定性

表明了隨機脈沖系統(2)的平凡解也是指數穩定的.

引理2[23]令φ(t)是一個連續函數,除了一些有限數量的點tk,其中φ()=φ(tk),φ()存在.定義集合為PC(l)={φ|φ:[-τ,∞)→Rl},0≤τ(t)≤τ.從序列PC(l),l=1中選取u(t),v(t).假設存在常數,和?,使得

如果對于-τ≤t≤0有u(t)≤v(t),那么對于任意t>0,都有u(t)≤v(t).

隨機Lur’e時滯耦合網絡(1)的初始條件由zi(t)=?i(t),-τ≤t≤0,i=1,2,···,N所給出,其中?i(t)∈C([-τ1,0],Rn)是從[-τ1,0]到Rn的連續函數集.

為成功實現Lur’e網絡的全局指數同步,本文設計提出如下的脈沖控制策略:

其中:μ代表脈沖效應;表示狄拉克脈沖函數,{t1,t2,t3,···}是一系列嚴格遞增的脈沖序列.

隨機Lur’e時滯網絡考慮了控制器(4)后可調整為

3 隨機Lur’e網絡的全局指數同步

本節主要考慮由隨機Lur’e時滯系統耦合而成的復雜動態網絡(1)的全局指數同步問題.

首先,利用Kronecker積改寫隨機Lur’e網絡(5)為

定理1考慮受控隨機Lur’e網絡(6)滿足假設1,且假設定義1中脈沖序列ξ={t1,t2,···}的平均脈沖間隔小于Na.定義δ=(1+μ)2,有以下情形:

情況1對于δ >1,如果條件

那么具有時變時滯的隨機Lur’e網絡(1)在脈沖控制器(4)作用下將達到全局指數同步,其中:

證基于矩陣G上的Perron-Frobenius定理,構造如下Lyapunov函數:

通過考慮W的結構,得到

由-wij=ξiξj >0得知V(t)是一個非負函數.

對于t ∈[tk-1,tk),k ∈N,有

同時,根據假設2可知

因此,從式(12)–(14)可知

基于式(15)(21),考慮以下受控Lur’e網絡(5)的比較系統(17),對于任意?>0,都有唯一解γ(t),即

根據引理2 中的比較原理,可以得出,對于任何t >0有V(t) ≤γ(t).通過參數變分法,對于γ(t),t≥0,可以得到以下積分方程,其中包含時變時滯項γ(t-τ(t)),即

其中H(t,s)(t>s≥0)是以下線性脈沖系統柯西矩陣:

接下來,針對不同的脈沖效應μ取值范圍,分別討論隨機Lur’e時滯網絡的比較系統的同步情況.

情況1如果μ>0或者μ<-2即δ >1,通過運用平均脈沖間隔定義的右側,可以計算出柯西矩陣

將方程(20)代入積分方程(18)得到

其次,將證明對于所有t ∈[0,+∞),都有

為了證明不等式(22)的有效性,本文將從數學的角度利用反證法.基于數學反證法,假設不等式(22)不是對所有t ∈[0,+∞)都成立,即至少可以找到一個時刻∈[t,+∞)使得

而不等式(22)對于t<,仍有

通過考慮式(21)(23)和λ-=0,可得

這與假設(23)相矛盾.因此,式(22)中的結論對于?t ∈[0,+∞)都有效.

從而,令? →0,那么有

根據定義1,可以得出以下結論:隨機Lur’e時滯耦合網絡(1)在脈沖控制器(4)的作用下可以實現全局指數同步.此外,可以計算出網絡的收斂速度為λ,其中λ是方程λ-(p-)+(qeτλ)δN0=0的唯一解.

情 況2如 果-2 ≤μ<0 即0<δ≤1,通過運用平均脈沖間隔定義的左側,可以計算出柯西矩陣為

同上可得

此外,對于t ∈[0],0<δ≤1,?>0,λ′ >0,有

相應地,對于t ∈[0,+∞),由數學反證法可知式(28)成立.

令? →0,那么有

比較系統(17)的平凡解是指數穩定的.根據定義1,可以得出以下結論:隨機Lur’e時滯耦合網絡(1)在脈沖控制器(4)的作用下可以實現全局指數同步.此外,根據比較原理可以計算出網絡的收斂速度為λ′,其中λ′是方程λ′-(p-)+(qeτλ′)δN0=0的唯一解.

證畢.

注1在定理1中,基于比較原理和參數變分法,針對不同的脈沖效應,所對應的收斂速度是不一致的,脈沖效應決定了脈沖控制器的實際效果.網絡的收斂速度與系統的時滯上限、脈沖效應強度、平均脈沖間隔和網絡拓撲結構等密切相關,這與文獻[24]中不同.另外,從收斂速度的結構以及λ的定義,可以發現當τ越小,其收斂速度越大,這意味著時變時滯的上限值τ直接影響隨機耦合Lur’e網絡的性能.

注2脈沖控制作為一種具有代表性的離散控制方法,可廣泛應用于一些連續系統,從而有效降低控制成本.事實上,脈沖控制最顯著的優點是控制效果只在非常稀疏的時間序列中被激活,在實踐中被廣泛使用,例如金融市場中的生態系統管理和貨幣供應控制等.在文獻[25–26]等許多文獻中,脈沖控制比連續控制更有效,甚至有時只有脈沖控制才能達到控制的目的.例如,計算機網絡系統打補丁采取脈沖控制.

注3眾所周知,現有大多數文獻對脈沖效應的取值范圍有一定的限制,從而導致在實際應用中利用脈沖信號進行控制有所限制,如文獻[16–17].實際上,根據脈沖效應μ的不同取值,通常分別討論3種脈沖,即同步脈沖、非活躍脈沖和去同步脈沖.首先,當脈沖效應滿足-2<μ<0時,脈沖信號有利于動態網絡的群聚行為[27];其次,如考慮到脈沖效應μ>0或μ<-2,此時脈沖可能會阻礙甚至破壞受控網絡的同步[28];最后,對于特殊的脈沖效應μ=-2以及μ=0,脈沖對受控網絡的性能既無害也無利[20].

注4為實現Lur’e網絡的全局指數同步,文獻[29]等以往的工作主要采用脈沖控制和Halanay不等式的方法,而文獻[30]則設計了一個單牽制脈沖控制器并同時使用Lyapunov方法.然而,本文將比較原理和參數變分原理運用于脈沖控制下復雜網絡系統中,簡化了證明過程,算出收斂速度.

注5在現有的大多數復雜網絡同步研究中,不可避免地設置了參考系統或目標系統.例如,文獻[8]等諸多文獻均提出了目標系統˙s(t)=f(s(t)),其中s(t)由于同步∥zi(t)-s(t)∥→0(t →+∞)的定義,一直被選為孤立系統的狀態向量.此外,在文獻[21]中選擇了一個虛擬目標點作為參考系統,并且可以通過定義誤差向量ei(t)=zi(t)-得出結論.事實上,為耦合網絡設置目標系統可能會導致系統資源的浪費,并使分析過程更加繁瑣.為此,本文通過充分考慮Perron-Frobenius定理,設計一種新穎的Lyapunov函數,提出了無參照系統策略,從而實現該復雜網絡的無參照、無目標全局同步.

4 數值仿真

為驗證本文所提出全局指數同步判定方法和控制器設計方案的有效性,在此仿真中采用蔡氏振蕩電路耦合的復雜動態網絡的兩個例子進行說明.

考慮以下具有隨機擾動和時變時滯的蔡氏電路:

其中系統狀態方程形式如下:

因此,定理1中的條件可以滿足.從圖1可以發現,隨著時間的推移,隨機Lur’e系統的每個狀態的軌跡曲線都趨近于一致,即進一步意味著隨機耦合Lur’e網絡的全局指數同步最終在所提出的具有脈沖效應μ=0.6的脈沖控制策略下實現.

圖1 脈沖效應μ=0.6 時耦合動態網絡狀態軌跡zi(t),i=1,···,10Fig.1 State variables zi(t),i=1,···,10 of the coupled dynamical network with impulsive effectμ=0.6

例2對于定理1的第2種情況,選取μ=-0.6.同樣地,可以計算出γ=2.5,p=68.6,q=15.7,-p+qδN0<0.因此,定理1中的條件可以滿足.

由圖2可知,隨機Lur’e系統之間的全局指數同步可以在脈沖效應為μ=-0.6的脈沖控制策略下實現的.

圖2 脈沖效應μ=-0.6時耦合動態網絡狀態軌跡zi(t),i=1,···,10Fig.2 State variables zi(t),i=1,···,10 of the coupled dynamical network with impulsive effectμ=-0.6

5 結論

本文通過提出一種有效的脈沖控制策略,討論了一類具有不對稱耦合和時變時滯的隨機Lur’e動態網絡的全局指數同步問題.基于平均脈沖間隔、無參照系統策略、比較原理和參數變分原理,給出了隨機Lur’e網絡全局指數同步的判定條件.此外,考慮到不同功能的脈沖效應,可以準確地獲得不同的收斂速度.從證明過程可以看出,網絡同步判定條件對脈沖間隔的上下界沒有具體要求,下界可以無限小,上界可以很大,大大降低了同步標準的保守性.最后,給出了脈沖效應不同取值的數值仿真來說明主要結果的合理性和控制策略的有效性.