聚焦本質試題分析 立足教材變式研究*
——以2023年全國新高考Ⅰ卷理科第21題為例

內江師范學院數學與信息科學學院 (641100) 王 雪 余小芬

概率問題作為高中數學統計與概率領域的核心內容,是高考考查的重點.2023年全國新高考Ⅰ卷理科第21題在數學知識交匯處命題,綜合考查全概率公式、隨機變量及其分布、數列通項、求和等主干知識,展現內容主線、突出學科本質、凸顯數學思維,是一道立意新穎、構思巧妙、研究價值強的典型試題.下文對該試題進行立意、背景、解答及變式分析,以期給教師教學一些啟發.

試題呈現甲、乙兩人投籃,每次由其中一人投籃,規則如下:若命中則此人繼續投籃,若末命中則換為對方投籃.無論之前投籃情況如何,甲每次投籃的命中率均為0.6,乙每次投籃的命中率均為0.8.由抽簽決定第一次投籃的人選,第一次投籃的人是甲、乙的概率各為0.5.

(Ⅰ)求第2次投籃的人是乙的概率;

(Ⅱ)求第i次投籃的人是甲的概率;

1 試題立意

試題是知識和能力的載體,它體現著考試的目的和內容.[1]從知識考查看,21題以馬爾科夫鏈為背景,以全概率公式為核心,包含互斥事件、概率的加法和乘法公式、離散型隨機變量及其分布列、數列遞推公式求通項公式、數列求和等高中主干知識,涉及構造法、待定系數法、公式法、類比等重要數學方法,蘊含分類討論、化歸轉化、整體等數學思想,體現了數學知識和方法的基礎性和綜合性.從能力考查看,21題考查數學建模(識別全概率模型、理解兩點分布模型)、邏輯推理(理清事件間關系、用構造法及待定系數法求數列通項公式)、數學運算(利用全概率公式、等比數列通項、求和公式、隨機變量均值公式計算求解)等數學核心素養.

2 試題背景

試題背景指命題時試題選材的背景.研究試題背景能凸顯試題立意、豐富試題研究、導向課堂教學.常見的試題背景有現實背景、教材背景、高考背景、高等數學背景、競賽背景、數學史背景等.

2.1 高等數學背景

21題蘊含高等數學中馬爾科夫鏈背景.馬爾可夫鏈是概率統計中一個重要模型,其數學定義為:設隨機序列{X(n),n=0,1,2,…}具有離散狀態空間E.若對于任意m個非負整數n1,n2,…,nm(0≤n1

2.2 教材背景

教材是連接課程方案與教學實踐的樞紐,是教師教和學生學的載體.[3]同時,教材也對高考試題的命制具有導向性,是高考試題命題選材的源泉.讀完21題,給我們的感覺是似曾相似.確實題目含有教材例習題的影子.

一是源于2019年人教版普通高中數學教科書(下文簡稱“人教版教材”)選修三第7.1節例4(50頁):

某學校有A,B兩家餐廳,王同學第1天午餐隨機地選擇一家餐廳用餐.如果第1天去A餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.6;如果第1天去B餐廳,那么第2天去A餐廳的概率為0.8.計算王同學第2天去A餐廳用餐的概率.[4]

二是源于人教版教材選修三復習參考題7第10題(91頁):甲、乙、丙三人相互做傳球訓練,第1次由甲將球傳出,傳球者都等可能地將球傳給另外兩個人中的任何一人.求n次傳球后球在甲手中的概率.[4]

以上三題均為全概率公式應用問題.其中例4和21題(1)問考查實質相同,只是將問題背景由“選擇用餐餐廳”替換成了“選擇投籃對象”,解答思路完全一致.10題同21題都考查利用全概率公式表達數列的遞推關系,均涉及構造法、待定系數法求通項公式.

2.3 高考背景

(2020年高考數學江蘇卷第25題)甲口袋中裝有2個黑球和1個白球,乙口袋中裝有3個白球.現從甲、乙兩口袋中各任取一個球交換放入另一口袋,重復n次這樣的操作,記甲口袋中黑球個數為Xn,恰有2個黑球的概率為pn,恰有1個黑球的概率為qn.

(Ⅰ)求p1,q1和p2,q2;

(Ⅱ)求2pn+qn與2pn-1+qn-1的遞推關系和Xn的數學期望E(Xn)(用n表示).

25題同21題設問形式和解答思路高度一致:均是先求特殊情況的概率取值,再利用全概率公式表達n為一般情形的概率,都涉及數列遞推公式求通項公式,最后求解隨機變量數學期望.當然,兩題也有細微區別:21題“第i-1次投籃的人是甲”與“第i-1次投籃的人是乙”兩事件互斥且和為必然事件,是全概率公式中n=2的情形.而25題甲口袋中“恰有2個黑球”,“恰有1個黑球”互斥,但和不為必然事件,還需補充“恰有0個黑球”的情形,考查全概率公式n=3的情形.同時,21題(Ⅲ)問是兩點分布模型求隨機變量數學期望,而25題(Ⅱ)問隨機變量Xn可取0,1,2三種情況,不是兩點分布.全概率公式是高中新教材新增內容,是近年高考的重點和熱點,除25題外,2019年全國Ⅰ卷理科第21題,2022年全國乙卷理科第10題等均涉及全概率公式的應用.

3 試題解答

解析：(Ⅰ)設Ai=“第i次投籃的人是甲”,Bi=“第i次投籃的人是乙”,則Ω=Ai∪Bi,且Ai,Bi互斥,其中i∈N*.由題意,P(A1)=P(B1)=0.5,P(B2|A1)=0.4,P(B2|B1)=0.8,由全概率公式得,P(B2)=P(A1)P(B2|A1)+P(B1)P(B2|B1)=0.5×0.4+0.5×0.8=0.6.

4 試題變式

試題變式,既是研究高考試題的重要視角,也是開展試題教學的重要方式.張奠宙先生指出,依靠變式提升演練水準是數學教學的四個特征之一.通過研究試題變式,能深刻揭示試題背后的知識實質,幫助學生形成良好的認知結構,引導學生掌握數學學習研究的方法手段.

變式1 (改編自人教版教材選修三第7.1節例5)甲、乙、丙三人參加趣味投籃活動,甲每次投籃的命中率為0.6,乙和丙每次投籃的命中率均為0.8,已知甲、乙、丙投籃次數分別占總數的25%、30%、45%.投籃開始時,將每人每次的投籃結果分別記錄在一張單獨的紙條上(所有紙條相同),如“未投中”,“投中”.投籃結束后,再將所有記錄紙條放在不透明紙箱中混合均勻.

(Ⅰ)任取一張投籃記錄紙條,計算“未投中”的概率;

(Ⅱ)如果取到的投籃記錄紙條是“未投中”,計算它是乙投籃結果的概率.

解析：設B=“任取一張紙條為‘未投中’”,A1=“抽取紙條為甲投籃結果”,A2=“抽取紙條為乙投籃結果”,A3=“抽取紙條為丙投籃結果”,則Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3互斥.由題意,P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,P(B|A1)=0.4,P(B|A2)=P(B|A3)=0.2.

(Ⅰ)由全概率公式得,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.4+0.3×0.2+0.45×0.2=0.25.

點評：21題考查全概率公式n=2的情形,變式1將互斥事件拓展為三個,適度提升了解答難度.變式1(Ⅱ)問為可靠性問題,考查貝葉斯公式的應用,在21題的基礎上豐富了知識考查.貝葉斯公式同全概率公式均是概率論中應用廣泛的重要公式.全概率公式表明綜合引起結果的各種原因,導致結果出現的可能性的大小.而貝葉斯公式則反映了當結果出現時,它是由某個原因(比如(Ⅱ)問中A2)引起的可能性的大小,常用于可靠性壽命檢驗、可靠性維護、可靠性設計等.[6]

變式2 (改編自人教版教材選修三復習參考題7第10題)甲、乙、丙、丁四人相互做傳球訓練,第1次由甲將球傳出,每次傳球時,傳球者都等可能地將球傳給另外三個人中的任何一人.

(Ⅰ)求2次傳球后,球經過乙的次數為X,求X的數學期望;

圖1

變式3 (改編自中科大少創班初試題)甲、乙兩人各有兩球,一紅一藍.甲、乙兩人做換球訓練,一次操作是甲、乙各隨機抽一球與對方交換.

(Ⅰ)求2次操作后,甲、乙手中均是同色球的概率;

(Ⅱ)求n次操作后,甲、乙手中仍各有一紅一藍球的概率pn,n∈N*.

圖2

點評：同21題,變式2、3均為全概率公式n=2的情形,即均可利用兩個互斥事件(和為必然事件)分割待求事件,但在具體條件概率的求解上,變式3較21題、變式2提升了難度.解答變式3的關鍵是理解:甲、乙兩人各有一紅一藍兩球,進行一次換球操作共有4種情況.其中2種情況為紅球換紅球(或藍球換藍球),換球后兩人仍各有一紅一藍兩球;另2種情況為紅球換藍球(或藍球換紅球),換球后兩人手中均是同色球.若甲、乙兩人手中均是同色球,則無論如何操作,換球后均是甲、乙兩人各有一紅一藍兩球.

變式4 (改編自人教版教材選修三第7.1節習題4)有甲和乙兩個箱子中各裝有10個球,其中甲箱中有5個紅球、5個白球,乙箱中有6個紅球、4個白球.拋一枚質地均勻的骰子,如果點數為1或2,從甲箱子隨機摸出1個球;如果點數為3,4,5,6,從乙箱中隨機摸出2個球.(注:摸出的球要放回)

(Ⅰ)求摸到白球的概率;

(Ⅱ)求累計摸球個數為n的概率pn,n∈N*.