基于提升數學抽象素養的概念教學設計與實踐
——以“平面向量的數量積(一)”為例

江蘇省蘇州工業園區星海實驗高級中學 (315100) 唐 秦

數學抽象作為六大核心素養之首,在數學知識的形成和應用中起著至關重要的作用.通過抽象,我們獲得了數學概念,數學模型,數學方法,甚至更高層次的數學結構與體系,一切數學對象都可以看成數學抽象的結果.而數學模型、方法、結構等都可以看成在數學概念基礎上進一步抽象的結果,因此概念教學是提升高中生數學抽象素養的重要環節.近日筆者在江蘇省普通高中校長任職資格班跟崗培訓活動中開了一節“平面向量的數量積”公開課,本節課讓學生經歷了數量積概念及性質的抽象過程,加深了學生對于概念本質的理解,現將本節課的教學過程和教學反思梳理如下.

1 教學內容簡析

《向量的數量積》為《普通高中教科書必修第二冊》(人教版)第六章第二節第六課時.在此之前,學生已經學習了向量的三種線性運算:向量的加法、減法和數乘.這三種線性運算的研究都是從物理模型出發,抽象出數學概念,接著分別研究運算的相關性質、運算律及應用.本節課類比向量的三種線性運算的研究思路,引導學生從已有經驗出發探究向量的數量積,讓學生經歷平面向量的數量積的概念及性質的抽象過程.

2 教學過程

2.1 復習舊知引入物理模型

問題1同學們,前面我們學習了向量的三種線性運算,請大家回顧一下,這三種線性運算的結果有什么共同的特征?我們研究這三種線性運算的一般思路又是什么?

生:向量的加法、減法和數乘三種線性運算的結果都是向量;對于這三種線性運算的研究都遵循著“物理模型——數學概念(運算的定義)——運算性質——運算律——應用”這一研究思路.

問題2 我們知道向量與向量能夠相加、相減,那么能不能相乘呢?類比前面的研究思路,請同學們嘗試尋找矢量與矢量相乘的物理模型.

生:物理中的功等于力與力的方向上位移的乘積,而力與位移都是矢量(向量).

師:這里嚴格來說應該是力和位移兩個向量的模的乘積,如果將力和位移分別用F和s表示,則力F所做的功W=|F||s|.

問題3 如果力F和物體位移s方向的夾角為θ.那么力F所做的功為多少?

生:將力F正交分解成物體位移方向上的分力F1和垂直于物體位移方向上的分力F2.因此力F所做的功W=|F1||s|=|F||s|cosθ.

設計意圖：向量的數量積既是向量運算體系形成發展的內部需要,又具其物理背景.這里延續向量三種線性運算的研究思路,引導學生主動發現向量數量積的物理模型.

2.2 逐級抽象生成數學概念

問題4 請同學們從運算的對象和結果兩個方面,總結“求功運算”的特點.

生:“求功運算”不同于前面所學的三種線性運算,具有如下特點:(1)功W是兩個向量F和s的某種運算的結果,而且結果是一個數量;(2)功不僅與兩個向量的大小有關,還與它們的方向有關.

問題5從“求功運算”中,可以抽象出怎樣的數學運算?

生:將兩個向量F和s抽象成a和b,力F和物體位移s方向的夾角θ抽象地看成a和b的夾角,這種新的運算實際上是從a,b得到數量|a||b|cosθ的運算.

師:我們把這種新的運算稱為向量的數量積運算,運算的結果稱為兩個向量的數量積,求功運算就屬于向量的數量積運算.事實上,向量的乘積運算除了數量積之外,還有一種向量積運算,這兩種運算的定義最初是由Gibbs和Heaviside給出,前者的運算結果為數量,后者的運算結果依然為向量.現在同學們知道這里為什么叫數量積了吧.

問題6 你能給向量的數量積下定義嗎?

生:已知兩個向量a和b,它們的夾角為θ,我們把數量|a||b|cosθ叫做a和b的數量積(或內積),記做a·b,即a·b=|a||b|cosθ.

設計意圖：引導學生從物理模型出發,舍去事物的物理屬性,抽取其中的數量關系,從而抽象出向量的數量積運算.然而上述的定義并未交待向量夾角的相關規定,需要進一步地抽象,形成最終的定義.

問題7 在上面的定義中,提到了“兩個向量的夾角”的概念,應該如何給“兩個向量的夾角”下定義呢?

生:物理模型中的F和s是共起點的,而我們研究的向量都是自由向量,因此可以將兩個向量平移至共起點,又cosθ=cos(2π-θ),可以將形成的[0,π]范圍內的角看成兩個向量的夾角.而我們并沒有給出零向量方向的定義,所以兩個向量的夾角應該定義在非零向量的基礎上.

師:既然兩個向量的夾角定義在非零向量的基礎上,那么向量的數量積定義應該怎樣修改呢?零向量的數量積又應該如何定義?

生:物理模型中的物體在垂直于物體位移方向上的分力F2,垂直方向上的位移為0,而F2對物體所做的功的大小為0,因此零向量與任意向量的數量積為0.

設計意圖：進一步引導學生垂直重組已有知識,結合特殊的向量積運算(求功運算),抽象出向量夾角的概念,及對零向量數量積的規定.至此,抽象出了向量的數量積的完整定義.

向量的數量積定義:已知兩個非零向量a和b,它們的夾角為θ,我們把數量|a||b|cosθ叫做a和b的數量積(或內積),記做a·b,即a·b=|a||b|·cosθ.我們規定:零向量與任意向量的數量積為0,即0·a=a·0=0.

2.3 從特殊到一般探究性質

如圖1,P0是半徑為1的半圓弧的中點,點P是該圓弧上的任意一點.

圖1

(3)通過前兩問的研究,你有哪些發現?這些規律能不能推廣?

設計意圖：引導學生從兩個特殊的向量(單位向量)的數量積出發,把握本質屬性,抽象出向量數量積的性質(即弱抽象).

實際授課中,學生抽象出以下性質:

師(結語):同學們,這節課我們探究了向量的數量積的定義及其性質,然而我們的研究

還未結束.類比向量的三種線性運算,我們還需要研究數量積的運算律及其應用,課后請大家以學習小組為單位,嘗試研究向量的數量積的運算律,下節課我們一起來分享研究成果.

3 教學回顧與反思

3.1 教學回顧

本節課設計流程如圖2,首先從物理模型出發,引導學生舍去事物的物理屬性,抽取其中的數量關系,從而抽象出向量的數量積運算.即通過情境抽象獲得對向量的數量積的最初認識:向量的數量積的運算結果是一個數量,且不僅與兩個向量的大小有關,還與它們的方向有關,即向量的數量積是從a,b得到數量|a||b|cosθ的運算.這顯然不能作為嚴格的數學定義,筆者稱之為“數學相關性概念”.在“數學相關性概念”的基礎上,繼續引導學生垂直重組已有的數學知識(包括:零向量方向的不確定性、自由向量等)構建出新的數學結構(包括非零向量夾角,以及零向量數量積的規定),即通過理論抽象得到最終的數學概念.之后,通過一組探究題,讓學生經歷從特殊到一般的弱抽象過程,探究出向量的數量積的性質(可看成更高層次的數學對象).同時,得到的性質還可以反過來應用到物理模型中,如:在力和位移大小一定的情況下,隨著它們夾角的增大,所做的功越來越小等.總的來說,本節課讓學生經歷了整個概念的生成過程,給學生足夠的探究空間,這樣的過程不僅有助于加深學生對于概念本質的理解,而且能夠提升學生的數學抽象素養.

圖2

3.2 教學反思

新課標主張數學教育應逐漸從“知識立意”轉變為“素養立意”,概念教學也應將教學重心轉移到培養學生發現知識的能力上面,即重視概念的抽象過程,培養學生的數學抽象素養.

(1)創設情境,引導學生抽象出數學概念

數學概念是抽象的,只有使抽象的東西獲得具體事例的支持,才能加深學生對概念的理解.向量的數量積對于學生是抽象的,而物理中的求功運算卻是學生熟悉的,通過求功運算引入向量的數量積,有助于學生對概念本質的理解.同時,從情境中抽象出數學概念的過程也是“用數學的眼光觀察世界”的過程,這樣的過程有效地培養了學生從生活中抽象出數學問題的能力.因此,在概念教學過程中,創設學生熟悉的情境,引導學生從情境出發,抽象出數學概念,既符合學生的認知發展規律,又能提升學生的數學抽象素養.

(2)重視從特殊到一般的弱抽象過程

弱抽象也叫做概念“擴張式抽象”,即從原型中選取某一特征(側面)加以抽象,從而獲得比原結構更廣的結構,使原結構成為后者的特例[1].在數量積的性質的探究環節,筆者設計了從特殊到一般的弱抽象過程,首先讓學生感受兩個單位向量的數量積隨著夾角的改變而改變,通過進一步的分析發現這樣的規律適用于任意兩個長度確定的向量,既而抽象出向量的數量積的一系列性質.

(3)以學生為主體,協助學生完成概念的抽象

數學活動是素養的生成和發展的培養基,數學活動的核心不是熱鬧的形式,而是學生的思維參與深度[2].教師在概念教學過程中,應設置以學生為主體的抽象活動,讓學生經歷從情境到數學概念的全過程,在活動中提升學生的數學抽象素養.在本節課中,筆者引導學生從物理模型出發,分析求功運算的特點,并抽象成數學運算,從而形成數學概念(向量的數量積),整個過程都是以學生為主體,包括數量積的定義也是由學生完成.整個過程自然流暢,充分發揮了學生的主觀能動性,學生們主動思考、主動發現、相互交流并樂在其中.