2023年新高考Ⅱ卷第21題的推廣探究*

湖南省長沙市雷鋒學校 (410217) 鄧捷敏 童繼稀

本文通過對2023年新高考Ⅱ卷中的第21題,即解析幾何大題的分析,將試題結論推廣到一般情形,并類比、歸納與推理,將結論拓展到橢圓與圓中,從而得到有心圓錐曲線的一組統一性質.

一、試題呈現與反思

本題根據解析幾何研究的兩個基本問題來進行設計,即第(1)問是根據條件求曲線方程,第(2)問是根據曲線方程來研究性質.有趣的是兩條直線的交點P在垂直于x軸的定直線上,從而引發我們產生以下疑問:

問題1 為什么題意中強調直線MN與雙曲線相交于左支呢?如果相交于兩支,點P是否還在定直線上?

問題2 直線MN可否過雙曲線焦點所在軸上的任意一定點?

問題3 試題中的結論在一般的雙曲線中是否也成立?該結論的逆命題是否成立?

問題4在其他圓錐曲線中是否也有類似結論?

以下對這4個疑問進行綜合探究.

二、結論推廣與拓展

將問題1、問題2與問題3放在一起考慮,經探究,可得如下結論:

當雙曲線焦點和點D在y軸上時,有相同結論如下:

若將性質1的條件與結論互換,即逆命題也成立.

根據圖形的對稱性,若直線MN過定點,則定點必在x軸上.令方程①中的y=0,則

將性質1類比到焦點在x軸上的橢圓中時,可得如下3個類似的結論:

當橢圓焦點和點D在y軸上時,有相同結論如下:

令性質3中的a=b,從而得到圓中的一個類似結論:

以上性質的證明與性質1、性質2類似,讀者可自行證明.

三、結語

本文在類比、歸納與推理的研究過程中,對圓錐曲線的性質進行推廣與拓展,得到了一般性的結論.類比、歸納與推理是研究數學問題的常見方法,結論推廣其實就是類比和歸納的過程,也是數學抽象素養的落實過程.《普通高中數學課程標準(2017版2020年修訂)》指出,“數學抽象素養的育人價值在于通過高中數學課程的學習,學生能在情境中抽象出數學概念、命題、方法和體系,積累從具體到抽象的活動經驗”[1].如果能把這種活動經驗運用在高考復習備考中,讓學生體驗和經歷已知數學命題的推廣過程,那么學生就能夠在新的情境中選擇和運用數學方法解決問題,自然也就能達到提升高考復習備考效果的目的.