伺服系統狀態反饋切換控制策略研究

楊衡，張倩，王群京 ，符夢虎 ，劉超輝，宋金星

(1.安徽大學電氣工程與自動化學院，安徽合肥 230601；2.安徽大學高節能電機及控制技術國家地方聯合工程實驗室，安徽合肥 230601；3.安徽大學教育部電能質量工程研究中心，安徽合肥 230601)

0 前言

機電伺服系統廣泛應用于航空系統[1]、數控機床[2]、機器人[3]等領域，其控制性能直接影響裝備的整體指標。伺服系統的動態特性在某些特定的工作狀態下幾乎是典型的線性，但是由于受溫漂、磁飽和程度變化以及非線性擾動等因素的影響，系統存在參數不確定性[4]，這種不確定性會使得系統特性跟隨工況的變化而變化。

傳統的伺服轉臺建模通常為傳遞函數模型[5]、微分方程模型[6]和狀態空間模型[7]等形式。這種基于線性模型設計的控制方法應用在含參數不確定性的實際系統中時，控制效果會大打折扣。文獻[8]建立磁懸浮直線伺服系統的狀態空間方程，基于線性矩陣不等式理論設計了非脆弱H∞控制器抑制電機參數變化。文獻[9]對具有參數不確定性的電液伺服單閥控缸建立精確的狀態空間方程模型，并提出了3種不同的單缸控制策略，分別為非線性補償的PID控制、前饋控制加PID控制和改進自適應律的自適應魯棒控制。文獻[10]針對參數不確定性，通過一階低通濾波運算和引入輔助中間變量，構造的參數自適應律中引入了跟蹤誤差項、系統狀態誤差項和參數估計誤差有關的切換項。上述研究都顯著改善了系統的控制性能，但未在建模中提出系統性的方法應對參數不確定性。針對此類問題，文中在伺服系統的建模中引入切換系統理論，建立其切換模型。

切換系統是由多個子系統和一個整體的切換規則組成，通常是由一個狀態切換到另一個狀態[11]。含有參數不確定性的伺服系統，其頻域特性隨轉速變化而變化，這一特征符合切換系統。文獻[12]為了提高航空發動機的調速性能，提出了一種基于切換模型的事件觸發切換控制策略，各子系統控制器設計采用精確反饋線性化技術。文獻[13]中針對直接驅動伺服控制系統存在的外部干擾，建立了系統的誤差切換模型，提出了一種基于干擾觀測器的魯棒滑模切換控制器，該方法可以有效緩解切換系統的顫振，降低切換增益，但是實際應用時需要仔細調整切換參數才可以達到理想效果。為了解決切換系統的抖振問題，切換系統的平坦度[14-16]已經引起了廣泛研究。文獻[15]給出了輸出平坦度的代數條件，并根據這個條件提出了一種計算輸出平坦度的算法。

本文作者首先根據伺服系統的非線性Bode圖，以速度值為切換信號，劃分為低、中、高三個速度區域，建立其速度切換模型。其次，考慮控制器可實現性，將子系統設計為三階的狀態空間方程，并在模擬退火算法中引進平坦性算法對未知參數進行辨識。然后，針對建立的速度切換模型，設計了基于觀測器的子系統狀態反饋控制器，進行穩定性分析，保證了閉環系統的漸近穩定性。最后，采用伺服轉臺進行仿真與實驗，驗證了文中所提建模方法和控制策略的有效性。

1 伺服轉臺的切換模型

1.1 一般離散切換模型

機電伺服系統的線性離散切換模型可描述為

x(k+1)=Aσ(k)x(k)+Bσ(k)u(k)

y(k)=Cσ(k)x(k)

(1)

式中：u(k)、y(k)分別為輸入量和輸出量；x(k)為狀態；Aσ(k)、Bσ(k)和Cσ(k)分別為系統的狀態、輸入和輸出矩陣；k∈N表示離散時間，σ(k)則表示時間為k時由切換信號切換到的模式。

使用正弦掃頻信號u=γsin(ω)觀察系統的頻域特性，得到的Bode圖如圖1所示?？芍恨D速逐漸增大時，Bode圖的曲線諧振峰值逐漸減小，且其轉折頻率也逐漸變大。根據Bode圖所示的頻域特性，將速度區域劃分為低、中、高3個區域，分別對應0～1、1～5、5～10 rad/s。

圖1 不同轉速下的Bode圖

1.2 子系統模型

伺服系統的結構框圖如圖2所示，它由驅動器、伺服電機、傳感器和機械傳動機構組成。

圖2 伺服系統結構框圖

根據上述的系統框架圖，建立子系統的狀態空間方程模型，系統的動態矩陣、輸入矩陣和輸出矩陣如下所示：

(2)

模型參數如表1所示。

表1 伺服系統參數

由于系統存在參數不確定性，故將參數Bm、BL、Jm、JL和Ts設定為未知。根據系統不同轉速區域的離線數據，將未知參數當作變量進行辨識。

根據辨識結果得到子系統的狀態空間方程，將3個區域的子系統模型組合，以速度值v作為切換信號，即得到最終模型S。

(3)

1.3 切換系統的參數辨識

由文獻[15]可知，系統的輸入及狀態可以表達為輸出y(k)向前或向后移動有限r步的函數，線性離散切換系統式(1)的輸出就是平坦的。由輸入序列u(k∶k+r)和模式序列σ(k∶k+r)驅動切換系統得到輸出序列為

(4)

(5)

Mσ(k∶k)=Dσ(k)

(6)

(7)

其中

(8)

式中：(Mσ(k∶k+r))?是Mσ(k∶k+r)的穆爾-彭羅斯廣義逆矩陣。如果存在非負整數K，使得所有模式序列及所有k≥0的矩陣計算滿足式(9)，則系統輸出是平坦的。

Pσ(k+K-1:k+K-1+r)Pσ(k+K-2:k+K-2+r)…Pσ(k∶k+r)=0

(9)

其中，不同的模式序列可能導致相同的矩陣Pσ(k∶k+r)。為了降低計算量，采用Q代表不同Pσ(k∶k+r)的集合，Q′σ(k)則表示其中的一個元素。因此，對于受約束的切換系統S(Q)，可以得到式(10)：

Qσ′(k+K-1)Qσ′(k+K-2)…Qσ′(k)=0

(10)

(11)

為了簡化計算，提出最終算法[15](如式(11)所示)，其算法流程如圖3所示。

圖3 算法流程

在模擬退火算法中，引入算法式(11)，其適應度函數如下：

f1=min|Sσ(1∶r)|

(12)

2 控制器設計

2.1 系統切換控制器

利用得到的具有較高精度的切換模型設計基于狀態觀測器的反饋控制器。所提控制策略的框圖如圖4所示。

圖4 控制策略設計框圖

2.2 子系統控制器設計

為了在物理上實現狀態反饋，將狀態觀測器引入反饋中，如圖5所示。

圖5 含狀態觀測器的狀態反饋

圖6 機電伺服系統

假設系統為如下的n維系統：

(13)

其中：rankC=q，A∈Rn×n，B∈Rn×p，C∈Rq×n。

步驟1，對于給定系統矩陣C，選擇任意矩陣R∈R(n-q)×n，得到n×n維的非奇異矩陣P。

(14)

步驟2，對P進行求逆，并分塊化。

Q?P-1=[Q1?Q2]

(15)

其中：Q1為n×q的矩陣；Q2為n×(n-q)的矩陣。

(16)

步驟4，計算期望特征多項式。

基于分離性原則，計算狀態反饋矩陣H。設計期望閉環極點λi(i=1，2，…，n)作為性能指標。

(17)

對比式(17)的同階項，即可得到矩陣H。同理地，設觀測器的期望特征值為λoi(oi=1，2，…，n-q)

(18)

步驟6，得到降階觀測器如下：

(19)

(20)

(21)

(22)

3 穩定性分析

定理1[17]，對離散時間線性時不變自治系統，A的全部特征值λi(A)(i=1，2，…，n)的幅值均小于1，這是xe=0(原平衡點狀態)漸近穩定的充分必要條件。

切換系統中的任意切換序列為

Γ={(t1,Aσ(1)),(t2,Aσ(2)},…,(tk,Aσ(k))}

(23)

其中：tk取任意正實數，表示切換系統的切換時間間隔；Aσ(k)∈{Aσ(1),Aσ(2),…,Aσ(k)}；(tk,Aσ(k))表示在切換系統狀態矩陣為Aσ(k)的子系統運行tk時間，并在Aσ(k)子系統運行結束后立即切換到系統狀態矩陣為Aσ(k+1)的子系統。

x(k+1)=(Aσ(k)-Bσ(k)H)x(k)

(24)

由此，將加上狀態反饋控制的離散切換系統看作在相同的任意序列下形成的離散自治切換系統式(24)。

由文獻[18]可知，離散自治切換系統在任意切換序列下切換漸近穩定，即離散切換系統通過狀態反饋控制在任意切換序列下切換漸近穩定，定理得證。

4 仿真及實驗分析

為驗證文中伺服系統的切換模型的準確性和控制策略的有效性，使用雙軸伺服系統的方位軸進行實驗，如圖 6所示。伺服系統的控制系統由半實物仿真平臺RTU-BOX和上位機編譯系統組成。該伺服系統整體則由伺服電機、驅動器、編碼器及系統機械本體組成，編碼器可實時記錄輸出系統，頻率為10 kHz。

4.1 伺服系統切換模型驗證

子系統的未知參數分別采用模擬退火算法進行辨識[19]，得到不同速度區域的子系統模型如下：

上述子模型根據式(11)計算，在60次迭代后結果為0，這意味著系統切換滿足平坦條件。以正弦信號作為輸入，辨識得到的子模型速度跟蹤如圖 7所示。

圖7中低速區非線性較強，且半實物仿真平臺無法精準檢測到細微的轉速變化，故圖7(a)跟蹤精度略低。由圖8所示的誤差箱型圖可知：低速區的誤差值大部分在-0.4%～0.4%內，誤差平均值約為0.05%。由于伺服系統存在齒隙、死區等復雜結構，故在換向點即過零點處，轉速無法精確檢測，此處誤差最大。同理，中速和高速的速度跟蹤曲線中，換向點處的誤差最大，這也是箱型圖中異常點的來源。

圖7 子系統參數辨識模型結果比對

圖8 子系統參數辨識模型結果誤差

圖9 不同的模型速度跟蹤效果

中速區和高速區除換向點外，速度跟蹤效果理想，誤差值大部分在-0.2%～0.2%內。中速區的誤差平均值為-0.05%，高速區的誤差平均值為0.03%。上述結果驗證了子系統模型的準確性和精確性。為驗證切換模型的有效性，引入傳統傳遞函數進行對比[20]。以不同幅值的正弦信號作為輸入，得到輸出結果如圖 9所示?？芍撼^零點外，低速區的幾個模型速度跟蹤效果良好。隨著轉速逐漸增大，傳遞函數模型無法實現精準跟蹤，在高速區跟蹤誤差達到最大。而單獨的低速區模型和中速區模型也在高速區域的跟蹤效果變差。結合圖10所示的跟蹤誤差箱型圖分析，4個模型的跟蹤誤差范圍大部分在-2%～2%內，切換模型誤差的異常值最小。

圖10 不同的模型速度跟蹤誤差

4.2 伺服系統切換控制策略研究

為驗證切換模型控制策略的優越性，采取傳統PID控制策略進行對比研究?？刂破鞯姆抡婕皩嶒灳捎梦闹薪⒌那袚Q模型。文中設計子系統控制器分別如下：

圖11所示為PID與狀態反饋控制器方法的仿真結果對比。結合圖11放大部分可知：整體跟蹤效果狀態反饋控制器的速度更接近輸入信號值。仿真結果中，文中提出的基于狀態反饋的切換控制策略速度跟蹤誤差平均值為-0.003 76 rad/s，低于PID的誤差平均值-0.007 16 rad/s，而其速度跟蹤誤差的方差值也低于PID控制器的0.485 86 rad2/s2。因此仿真實驗中，文中提出的切換控制策略優于PID控制器。

圖11 仿真結果

圖12所示為控制策略的實驗結果對比。由于過零點轉速變化細微，半實物仿真平臺無法精確檢測到，故圖中曲線在過零點處誤差較大。根據轉速區域的劃分，在低速區非線性較強，PID控制策略在接近過零點處的誤差比狀態反饋控制器大。在中速區和高速區，PID控制器和狀態反饋切換控制器的跟蹤效果都優于低速區。根據表2及圖12可知：狀態反饋控制器的誤差平均值為0.023 241 rad/s，優于PID控制策略。實驗結果表明：基于狀態反饋控制器的切換控制策略與PID控制器相比，速度跟蹤效果提升了約4%。

表2 仿真及實驗誤差分析

圖12 實驗結果

5 結論

文中基于伺服系統的非線性Bode圖，得到其頻域特性會隨著轉速的變化而發生變化。針對切換系統的抖振問題，在模擬退火算法中引入平坦性算法，對子系統參數進行辨識，由此建立了伺服系統的切換模型，并在此基礎上設計了狀態反饋控制器的切換控制策略。仿真及實驗結果表明：建立的切換模型比傳統的傳遞函數模型更加精確?；谇袚Q模型的切換控制器能實現精確跟蹤，尤其在非線性強的低速區，跟蹤效果優于傳統的PID控制器。