一類特殊的完備左對稱代數的導子與triple導子

吳孟珂,吳明忠

(西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充 637009)

0 引 言

左對稱代數(也被稱為pre-Lie代數、擬結合代數、Vinberg代數)是一類很重要的非結合代數,最早由Cayley于1890年作為一種rooted tree代數引入[1].左對稱代數也源于20世紀60年代對幾何和代數中一些課題的研究,如李群上的仿射流形和仿射結構[2],以及結合代數的形變[3].最初人們并未將左對稱代數作為一個獨立的代數系統進行研究,直到20世紀90年代才有相關文獻將左對稱代數作為獨立的領域來研究.文獻[4]研究了左對稱代數在不同領域的重要作用,如向量場、頂點代數、operad理論、李群上的左不變仿射結構等.正如文獻[5]指出的那樣,“左對稱代數應當得到比以往更多的關注”.

在代數結構理論的研究中,導子[6]和triple導子[7]是非常重要的內容,它們能夠反映代數最本質的結構和性質.近年來,關于代數的導子和triple導子的研究受到越來越多的關注.文獻[8]利用導子和triple導子的定義,刻畫了特征不為2的代數閉域上4維冪零李代數的導子和triple導子.文獻[9]對4維冪零左對稱代數的相鄰李代數的triple導子與δ-導子進行了研究.文獻[10]和文獻[11]確定了Qn,Ln的導子代數的極大環面,并證明Qn,Ln的導子代數是可完備化的.文獻[12]給出了擬Rnfiliform李代數的導子和自同構,并證明了擬Rnfiliform李代數是可完備化的冪零李代數. 文獻[13]給出了廣義矩陣代數上的李triple導子結構.由此可見,導子和triple導子對代數理論的研究具有非常重要的意義.

文獻[14]給出了完備左對稱代數的概念,目前關于完備左對稱代數的研究較少.對五維完備左對稱代數進行分類一直是一個難題,文獻[14]給出了與Abelian李代數相容的維數小于或等于4維的完備左對稱代數的一個確切的分類,列出了所有可能的同構類型的詳細結構,并給出了其自同構相應的矩陣形式,但未對其導子和triple導子進行深入研究.本文在此基礎上,利用導子的定義,以文獻[14]中的A4,1為例,通過計算線性變換在一組基{e1,e2,e3,e4}下的結果,得到A4,1的導子的矩陣形式;利用triple導子的定義,以文獻[14]中的A4,4為例,通過計算線性變換在一組基{e1,e2,e3,e4}下的結果,得到A4,4的triple導子的矩陣形式.對于文獻[14]中其他與Abelian李代數相容的維數小于或等于4維的完備左對稱代數,可以按照類似的方法,得到它們的導子以及triple導子相應的矩陣形式.本文通過表格形式呈現其導子和triple導子相應的矩陣形式,這是對文獻[14]的一個重要補充.

1 基本概念

定義1[1]設A是一個線性空間.在A上定義一個雙線性運算(x,y)→xy,如果這個雙線性運算滿足對任意的x,y,z∈A,都有：

(xy)z-x(yz)=(yx)z-y(xz),

則稱A為一個左對稱代數.

定義2[14]設A是一個左對稱代數.對x∈A, 記ρx是A上的右乘運算：ρx(y)=yx,?y∈A.對任意的x∈A, 若1+ρx是一個線性空間的同構,那么稱左對稱代數A為一個完備左對稱代數.

定理1[14]設A是一個李代數(記李括積運算為[·,·]).如果在線性空間A上有一個左對稱代數運算使得

[x,y]=xy-yx,?x,y∈A,

則稱這個左對稱代數的結構與給定的李代數A的結構相容.

定義3[6]設A是一個代數,σ為A上的一個線性變換.若σ滿足：

σ(xy)=σ(x)y+xσ(y),?x,y∈A,

(1)

則稱σ為代數A的導子.

定義4[7]設A是一個代數,φ為A上的一個線性變換.若φ滿足：

φ(x(yz))=φ(x)(yz)+x(φ(y)z)+x(yφ(z)),?x,y,z∈A,

(2)

則稱φ為代數A的triple導子.

2 主要結果

文獻[14]給出了與Abelian李代數相容的維數小于或等于4維的完備左對稱代數的具體結構, 見表1.

表1 與Abelian李代數相容的維數小于或等于4維的完備左對稱代數的結構

定理2令A4,1的代數結構如表1中所述.設σ是A4,1上的一個線性變換,則σ是A4,1的導子當且僅當σ在基{e1,e2,e3,e4}下具有以下的矩陣形式：

(3)

證明令

σ(e2)=a12e1+a22e2+a32e3+a42e4,σ(e3)=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4,
σ(e4)=a14e1+a24e2+a34e3+a44e4.

根據定義3和e2·e2=e1,e3·e3=e1,e4·e4=e1,可得：

σ(e1)=σ(e2·e2)=σ(e2)·e2+e2·σ(e2)=2a22e1,
σ(e1)=σ(e3·e3)=σ(e3)·e3+e3·σ(e3)=2a33e1,
σ(e1)=σ(e4·e4)=σ(e4)·e4+e4·σ(e4)=2a44e1.

因此a22=a33=a44.由此可得：

σ(e1)=2a22e1,σ(e2)=a12e1+a22e2+a32e3+a42e4,
σ(e3)=a13e1+a23e2+a22e3+a43e4,
σ(e4)=a14e1+a24e2+a34e3+a22e4.

又因為e2·e3=0,e2·e4=0,e3·e4=0,可得：

(4)

分別比較式(4)兩邊e1的系數,可得a23=-a32,a24=-a42,a34=-a43.

綜上可得：

(5)

所以A4,1的導子σ在基{e1,e2,e3,e4}下的矩陣具有式(3)的形式.

反之,當線性變換σ在基{e1,e2,e3,e4}下具有式(3)的矩陣形式時,?x,y∈A4,1,設x=x1e1+x2e2+x3e3+x4e4,y=y1e1+y2e2+y3e3+y4e4, 則

σ(x)y+xσ(y)=σ(x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)(y1e1+y2e2+y3e3+y4e4)+
(x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)σ(y1e1+y2e2+y3e3+y4e4)=
x2y2a22e2·e2+x2y3a32e3·e3+x2y4a42e4·e4-
x3y2a32e2·e2+x3y3a22e3·e3+x3y4a43e4·e4-
x4y2a42e2·e2-x4y3a43e3·e3+x4y4a22e4·e4+
x2y2a22e2·e2-x2y3a32e2·e2-x2y4a42e2·e2+
x3y2a32e3·e3+x3y3a22e3·e3-x3y4a43e3·e3+
x4y2a22e4·e4+x4y3a43e4·e4+x4y4a22e4·e4=
2a22(x2y2+x3y3+x4y4)e1.

(6)

σ(xy)=σ(x1y1e1·e1+x1y2e1·e2+x1y3e1·e3+x1y4e1·e4+
x2y1e2·e1+x2y2e2·e2+x2y3e2·e3+x2y4e2·e4+
x3y1e3·e1+x3y2e3·e2+x3y3e3·e3+x3y4e3·e4+
x4y1e4·e1+x4y2e4·e2+x4y3e4·e3+x4y4e4·e4)=
x2y2σ(e1)+x3y3σ(e1)+x4y4σ(e1)=
2a22(x2y2+x3y3+x4y4)e1.

(7)

由式(6)和式(7)可得σ(xy)=σ(x)y+xσ(y),滿足導子的定義.所以滿足式(5)的線性變換σ是A4,1的導子.

下面計算A4,4的triple導子.由A4,4的結構,可得A4,4中的e1,e2,e3都可由e4生成得到,如：

e3=e4·e4,
e2=e3·e4=(e4·e4)·e4,
e1=e2·e4=(e3·e4)·e4=((e4·e4)·e4)·e4.

定理3令A4,4的代數結構如表1中所述.設φ是A4,4上的一個線性變換,則φ是A4,4的triple導子當且僅當φ在基{e1,e2,e3,e4}下具有以下的矩陣形式：

(8)

證明令

φ(e3)=a13e1+a23e2+a33e3+a43e4,
φ(e4)=a14e1+a24e2+a34e3+a44e4.

根據定義4和e2=e4·e3=e4·(e4·e4),e1=e4·e2=e4·(e3·e4),可得：

φ(e2)=φ(e4·(e4·e4))=φ(e4)·(e4·e4)+e4·(φ(e4)·e4)+e4·(e4·φ(e4))=
3a34e1+3a44e2,φ(e1)=φ(e4·(e3·e4))=φ(e4)·(e3·e4)+e4·(φ(e3)·e4)+
e4·(e3·φ(e4))=(a33+2a44)e1+a43e2.

由式(2)和e3·(e4·e3)=0,可得：

0=φ(e3·(e4·e3))=φ(e3)·(e4·e3)+e3·(φ(e4)·e3)+e3·(e4·φ(e3))=2a43e1.

因此a43=0.

綜上可得：

(9)

所以A4,4的triple導子φ在基{e1,e2,e3,e4}下的矩陣具有式(8)的形式.

反之,當線性變換φ在基{e1,e2,e3,e4}下具有式(8)的矩陣形式時,?x,y∈A4,4,設

x=x1e1+x2e2+x3e3+x4e4,
y=y1e1+y2e2+y3e3+y4e4,
z=z1e1+z2e2+z3e3+z4e4,

則

φ(x(yz))=φ((x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)((y1e1+y2e2+y3e3+y4e4)(z1e1+z2e2+z3e3+z4e4)))=

φ((x1e1+x2e2+x3e3+x4e4)((y2z4+y3z3+y4z2)e1+(y3e4+y4z3)e2+y4z4e3))=

φ((x3y4z4+x4y3z4+x4y4z3)e1+x4y4e2)=

((x3y4z4+x4y3z4+x4y4z3)(a33+2a44)+3x4y4z4a34)e1+3x4y4z4a44e2,

(10)

φ(x)(yz)=x3y4z4a33e1+x4y3z4a44e1+x4y4z3a44e1+x4y4z4a44e2+x4y4z4a34e1,

(11)

x(φ(y)z)=x3y4z4a44e1+x4y3z4a33e1+x4y4z3a44e1+x4y4z4a34e1+x4y4z4a44e2,

(12)

x(yφ(z))=x3y4z4a44e1+x4y3z4a44e1+x4y4z3a33e1+x4y4z4a34e1+x4y4z4a44e2.

(13)

將式(11)、式(12)、式(13)相加,可得：

φ(x)(yz)+x(φ(y)z)+x(yφ(z))=
((x3y4z4+x4y3z4+x4y4z3)(a33+2a44)+
3x4y4z4a34)e1+3x4y4z4a44e2.

(14)

由式(10)和式(14)可得φ(x(yz))=φ(x)(yz)+x(φ(y)z)+x(yφ(z)),其滿足triple導子的定義,所以滿足式(9)的線性變換φ是A4,4的triple導子.

與定理2和定理3的證明過程類似,文獻[14]中其他與Abelian李代數相容的維數小于或等于4維的完備左對稱代數同樣可以按照導子和triple導子的定義,通過計算線性變換在一組基下的結果,得到導子和triple導子的矩陣形式,見表2.

表2 維數≤4的與Abelian李代數相容的完備左對稱代數的導子與triple導子

3 結 語

本文通過對線性變換在一組基下的結果的研究,確定了與Abelian李代數相容的維數小于或等于4維的完備左對稱代數的導子以及triple導子的矩陣形式,補充了文獻[14]的相關結果.