國內外量感研究評析與啟示

江 漂,張維忠

(浙江師范大學 教育學院,浙江 金華 321004)

0 引 言

2022年4月,教育部新頒布《義務教育數學課程標準(2022年版)》(以下簡稱《課標2022》).其內容的顯著變化是增添了一個稱為量感的核心素養表現[1],并進一步指出量感有助于養成用定量的方法認識和解決現實問題的習慣,是形成抽象能力和數學應用意識的經驗基礎[2].這表明,量感已成為義務教育階段數學課程的重要內容.新增加量感,不僅是因為量感能夠在具體課程內容的測量與核心素養的主要表現之間建立起聯系,而且更重要的是其已成為培育核心素養的一個重要載體[3].因此,深入開展數學量感的研究,既對推動課程改革的落實和促進學生核心素養的培育具有重要的意義,也是當下數學教育亟須關注和解決的迫切任務.本文從量感的內涵、量感的要素、量感的測評3個方面,對國內外量感研究進行梳理與分析,并對我國的量感研究提出建議.

1 量感的內涵

1.1 量感的起源

在原始社會,數是對數量的抽象,數量是度量的結果[4].唐納德(M.Donald)曾指出：早期人類是完全依靠生理來記憶的,現代人類則是利用大量的數字和符號來存儲和檢索文化知識的[5].這種將數字的語言表征程度與文化背景聯系的觀點在某種程度上印證了沃爾夫假說.然而,戈登(P.Gordon)的研究否定了該假說,表明巴西亞馬遜人即使沒有發達的語言和精確的數字系統,也能準確區分量且熟練運用[6].這種能力與量感有關,但量感的產生、發展與語言精熟度的關聯并不明顯,說明數感是從量感中獨立發展出來的.因為日常的語言交流不需要“大”的數字,主要是對“大”的量進行交流,且需要特定的形式進行表達.例如,加拿大土著在判斷土豆作為食物是否充足時,不是通過土豆個數,而是通過土豆的量(如體積,因為每個土豆的體積差異明顯)進行判斷的.結合加拿大土著和其他部落的數量文化可以看出,量感更傾向于空間,而不是數字.但這并不表示量感與數字無關,而是更突出人們在日常生活中側重從感官上對物體進行直接判斷.文化與經驗的差異會導致人們區分量的能力有所不同.在缺乏計數能力的背景下,具備較好量感的群體比具備計算能力的群體在判斷數量的能力方面更出色.

量感和數感的本質都是數的表達.通過分析數感的概念發現,已有的對數感概念的界定包含了對部分量感定義的論述.卡朋特(Carpanter)在分析美國教育進展評估(NAEP)時,認為在估算領域表現較好的學生具備一種數量(用數字表示量)的直覺,這種數量的直覺被定義為數感[7].從這個定義可以看出,對數量的一種直覺判斷來源于對量的感知.此外,林恩(Lynn)[8]在其著作《站在巨人的肩膀上》中指出,“Quantity”不僅包含數字(numbers或number),還包含符號感覺、數字感覺、測量、建模等一系列內容.其還提出,任何涉及數的應用問題都包含在以下3種類型中：測量(measure)、排序(ordering)、編碼(coding).雖然他沒有明確地提出量感,但數量(Quantity)明顯包含了數與量.關于量的思想也一直滲透在數學其他領域[9].尤西斯金(Usiskin)和貝爾(Bell)對數的基本應用進行了具體分析,認為單個數具有6種不同用途,其中一種是連續量(時間、長度、質量)的測量值[10],這實質指向對量的表達.21世紀初,我國研究者對數感進行表述時就包含了對量感的表達,如數感表現為一種對量與數的直觀能力[11].數感中數的估算和數的問題解決指向的是對數量的估算和問題解決.這些表明,數感的含義包括數量和數量關系,數感是對數量的敏感及鑒別能力.

從以上研究可以看出,數感和量感沒有被十分明顯地劃分,研究者將兩者涵蓋在“數量感”中予以表述.數量感是指快速理解、估計和產生數量,并對數量進行表征,以及理解數量間關系的能力.去情境化分化為數感,其強調抽象后的數值部分;加情境分化為量感,其強調具體化的物理意義[12].

1.2 量感的內涵

關于量感的概念并沒有形成統一的界定,研究者從不同視角對量感的定義進行了探討.第一種傾向于量感是一種本能說,其代表人物是瓦格納(Wagner).他認為量感(quantity sense)是一種對多少、大小、數量和量級的感覺和意識,生物體起初源自自發地對小數量的感知,通過后天的特定學習得以發展,且其他物種也具備這種本能[13].瓦格納通過對量感的定義,試圖區分人們的量感和相對模糊的數感,并強調日漸被教育忽略的量感能力,以期將數感與量感的發展相結合,從而提高解決問題的能力.按照瓦格納的觀點,感數(subtizing)屬于早期量感的一種表現,是對小數快速而準確的識別能力[14],源于拉丁語“立即看到多少”,即一瞬間就能感知群體的數量.第二種傾向于行為取向,其認為量感是學生在實際情境中主動、自覺地理解和運用“量”的態度和意識[15],是一種不使用測量工具對某個量的大小進行推斷,或推斷用某個計量單位表示的量與哪個實際物體的大小、長短、輕重相吻合的一種感覺.第三種是能力說.“量感”是對“量”的感悟和直覺,類似于“質感”“空間感”“方向感”等詞語,用來描述個體對事物某些屬性的直觀感知能力,是數學素養的表現之一.精準的“定量刻畫”是“量感”素養的關鍵能力[16].量感是人們在現實生活中的一種重要能力,有助于培養學生的估測能力,精簡數學檢驗的時間,強化數學運用的意識.這種觀點從數學的視角出發,通過數量關系和圖形關系抽象出數學能力.第四種是將量感從數感中剝離.該觀點基于數并不是存在的物質,而是從真實世界中引出的抽象物的視角,對數感和量感的概念進行了定義.數感反映的是人對數的抽象性、數與數之間的關系的感悟,以及結合數之間的關系來理解或解決相關數學運算問題的感受狀態和感悟水平.量感反映的是人對數量的直觀感知及其對數量之間的關系和數量度量過程的體驗,以及由此而產生的解決實際問題的認識水平和感悟狀態[17].第五種是各國數學課程標準基于測量的視角對量感進行定義.美國數學課程標準(NCTM)指出,測量能力通常被描述為將數值分配給對象或事件屬性的能力.加拿大將測量隸屬于空間感(Spatial Sense),其主要是指比較、估計和確定各種情境中的測量.英國小學數學課程標準認為,測量主要培養學生通過使用一系列度量來描述和比較不同的量(長度、面積、時間等).我國《課標2022》明確提出了量感的概念與具體表現,認為量感主要是指對事物的可測量屬性及大小關系的直觀感知.上述不同的定義從量感的外顯行為表現、量感的心理認知活動過程和能力發展的視角,對量感的內涵作出了解釋和研究.

2 量感的要素

量感是由多種要素構成的一個整體,具有不同的表現.針對量感的組成要素,研究者提出了不同的觀點.周國蓉將量感的構成要素分為量的推斷和量的區分.其中,量的推斷是不使用測量工具對某個量的大小進行推斷,量的區分是從諸多單位表示的量中選出與某個實際物體相吻合的量[18].劉加霞從類別的角度將小學階段的量感分為常見量、幾何量和導出量,認為小學階段量感的結構以計量單位為核心,由“判斷屬性”和“獲知量的大小”組成.計量單位可分為自選單位、標準單位和擴充單位,并由此形成一個單位體系.獲取量的大小有4種方法,分別為數計數單位、用測量工具測、用公式計算和將不規則物體轉為規則物體[19].該觀點主要從大小和屬性兩個維度對量感的要素進行分析.

有研究者對量感的要素進行了更為細致地劃分,認為量感的要素可分為量的感性體驗、量的理性感知、量的測量判斷、量的合理辨析、量的單位轉換和量的計算應用6個部分[20].量的感性體驗是通過自身經驗定性解決量感問題.量的理性感知是通過數量感在不同物理意義的遷移,從而理性感知和表達目標的大小.量的測量判斷是根據量的物理含義采取合理的工具進行測量與估測,并分析其誤差.量的合理辨析是厘清不同維度物理量的聯系與區別.量的單位轉換是根據現實進行單位換算.量的計算應用是借助簡單的估算和心算擴充學生的估測范圍.也有研究者提出,量感是由量的比較、量的運算和量的估計組成的[21].其中,量的比較包含直接比較、利用中間物間接比較、通過測量工具比較;量的運算包括單位換算、不同單位之間的四則運算、解決包含數量的問題.量的估計是選擇合適的單位對物體的某個屬性進行推斷估計.由此可以看出,以上對量感要素構成的研究是基于學生量感的發展進程的,具有一定的層次性和進階性.

亦有研究從量感的發展過程角度來思考量感的構成成分.如量感是由具有統一的度量單位意識、建立單位量的表象、借助單位量進行測量和估測,以及應用度量單位靈活解決問題4個部分組成的[22].量感包括具有度量的意識、建立度量單位模型和估測.具有度量意識是在不使用測量工具的情況下能對某個量的大小進行推斷,并選擇合適的“數+單位”表示.建立度量單位模型是明確同一度量不同單位的比例關系,能正確區分、靈活選擇.善于估測是能合理運用估測策略解決測量中的實際問題.

綜上所述,盡管不同研究者得出的量感組成要素不同,但都從量感的內涵和性質出發,內容基本涉及感知、單位換算、估計等.因此,以上要素可作為量感的主要成分,也可作為量感測評的關鍵突破口.

3 量感的測評

目前,對量感的測評一般是依托國際大規模數學測評項目.譬如,國際數學與科學趨勢研究(TIMSS)是國際大型學生學業測評的項目之一[23].在TIMSS 2007數學測評前,小學和初中階段對量感的測評是單獨以“測量”為一個內容領域.自TIMSS 2007后,對測量的評價則與幾何領域相結合,形成“幾何與測量”.但TIMSS對測量的評價是從3個認知水平展開的,并沒有提供專門針對量感本身的評價維度.國外研究者發現,學生在大規模的數學素養測評中的量感成績并不理想,因此萌發出只針對量感的評價研究.洛貝梅爾(Lobemeier)提出從排序(ordering)、估計(estimate)、分割(partitioning)和操作(operation)4個維度對量感進行評價.其中,排序(ordering)是對比較溫度和時間跨度等的測量,并按非系統進行排列;估計是在不使用測量工具的情況下大致確定物體的重量和長度;分割是了解面積、體積和重量的構成,并使用相關的知識確定數值;操作是使用測量值進行多步計算.

洛貝梅爾提出的4個維度較為清晰,但沒有將4個維度進行細化與分類,這會造成測評者在實際操作時相對困難.因此,德國小學數學課程標準(KMK)測評組織在制定測評框架時,對教師進行了廣泛的調查和征求意見,并讓教師參與測評任務的開發,以使測評者更加容易理解測評維度,也便于后期測評工作的順利開展.德國測評組織認為,量感評價維度是由“具有測量概念”和“在情境中測量”兩大部分構成的,并在此基礎上對兩大評價維度進行了細化與描述.“具有測量概念”維度包括5個評價指標,“在情境中測量”維度包括4個評價指標,具體見表1.

表1 小組分工表

表1 弧度制長度與圓心角的關系

表1 KMK標準中的量感測評

賈斯明(Jasmin )認為,KMK的測評框架在某種程度上能夠測評出學生對量感相關基本事實和程序的理解、對量感概念和關系的理解,以及在情境中應用測量的能力,但測評框架的子維度存在重疊.例如：“具有測量概念”的子維度“I(a)了解屬于貨幣價值、長度、持續時間、重量和體積的標準單位”與子維度“I(c)了解日常生活中重要的、代表特定標準單位的對象或事件”存在重疊.因為“I(a)要求了解體重和千克的項目”與“I(c)要求理解10千克的物體”并沒有本質的區別.I(e)與測評維度II也存在部分重疊.這將導致無法真正測評素養的不同表現.賈斯明認為,概念性知識和程序性知識十分適合數學領域的測量,于是從概念性知識和程序性知識角度,并基于一系列大規模實證調查研究,提出了新的量感測評框架.該框架的一級維度包括工具性知識(Instrumental knowledge)和測量感(Measurement sense)兩種類型.工具性知識主要指可用的直接或獨立的測量知識和程序,可進一步劃分為時間相關的任務和其它屬性的任務.測量感主要指具備日常生活中有關測量和測量單位的知識,能夠在情境中應用各種測量知識,包括知識和問題解決兩個子維度.每個子維度的具體指標見表2.

表2 KWL表

表2 量感的測評分析框架

從測評框架可知,賈斯明的量感測評框架從知識掌握到問題解決清晰地呈現了各個維度,十分注重在情境中解決問題的能力,也解決了已有框架存在的弊端,但忽略了估計測量在培養學生量感中的價值.估計測量是指在不借助測量工具的情況下進行測量的過程,該過程是一個心理過程[24].估計作為重要的數學活動之一,已成為測評量感水平的重要指標.

以上測評項目,在根據測評框架編制對應的測評任務時,關注到了對量感的測評應注重創設真實問題的情境,而不只是單純文字的表述.例如：米拉從駱駝經過斑馬再走到熊,要走多遠?并給出4個選項：75 km、800 m、850 m、9 m.這個測試任務的目的是測評學生在真實情境中解決問題的能力.創設的情境是學生周末去動物園游玩,并附上一張動物園地圖,地圖中對參觀每個動物的路線都進行了標記,距離有些用m作為單位,有些用km作為單位,在解決此問題時需要對單位進行換算.該測評任務中的動物園地圖情境來源于學生日常生活中的真實情境.真實問題情境的創設會將對知識能力的考查轉變為對學生運用數學知識解決現實情境問題的素養測評.

4 對量感研究的啟示

4.1 量感概念的厘清

目前對量感的概念界定是基于不同研究視角的.然而,厘清量感的概念首先需理解何為“量”.達維多夫(V.Davydon)認為,“量”是已經建立比較標準的元素的任何集合[25].這個量的定義有助于兒童最初對“量”的操作,因為其涉及一組元素及比較其中任何兩個元素的標準.中小學數學課程涉及的“量”主要描述可測物體的某種物理屬性,其包括離散量和連續量[26].離散的量是以數數為基礎的,連續的量需要設定測量單位才能進行量化.皮亞杰(J.Piaget)和塞姆尼斯卡(Szeminska)提出了總量(gross quantity)、內包量(intensive quantity)和外延量(extensive quantity).這3種類型的量可被解釋為離散量和連續量.皮亞杰提出的3種類型的量與達維多夫提出的量的一般概念是一致的,但皮亞杰的3種類型的量的特點在于必須在一個物體中引入單位.

斯泰夫(Steffe)從心理學角度提出了產生數量(quantity)的心理操作,認為分割(segmenting)和單位化(unitizing)的操作是產生測量“量”概念的基礎.產生可測量“量”的基本操作與產生可計數“量”的操作不存在區別,因此計數是一種特殊的測量形式[27].湯普森(Thompson)認為,量化是數學思維的源泉,是將對象及其屬性概念化的過程,因此屬性需有一個度量單位,且屬性的度量與其單位成比例關系,并強調量化并非是將數值賦予量的過程,也不是一個直接或間接測量的過程[28].

基于以上觀點,本文認為對量感的定義需要突出量化的過程,尤其是量化物體和現象屬性的過程,注重思維的培養.由此提出,量感的概念是對事物的大小、多少、量級等可測量屬性,以及大小關系的感知、理解與運用的綜合判斷,這種屬性往往都具有計量單位.這種判斷體現了對事物進行量化的能力,不同的量化程度也體現了學生量感的能力水平.

4.2 量感要素結構的重構

本文在整合已有研究的基礎上,認為量感是由量的感知、量的換算、量的估計和量的推理4種要素組成的,并構建了由這4種要素組成的四面體形狀的結構模型,稱之為四面體量感結構模型,見圖1.量的感知、量的換算和量的估計3種成分位于四面體的底面,構成量感的基礎.量的推理是對量的感知、換算、估計的綜合應用,三者融為一體.量的感知是對量的屬性及大小的一種直覺認知,這種直覺認知是對量的屬性和大小的一種快速判斷,包括了解量的含義、感知度量單位的意義和初步判斷物體屬性.量的換算是量感的基礎,是較為核心的內容,也是數學活動的基本形式.量的換算包括相同屬性度量單位換算和不同屬性度量單位運算兩種類型.按照度量單位的數量和運算步驟,可對以上兩種類型進行進一步劃分.根據涉及的單位數量,可將相同屬性的度量單位換算細分為相同屬性的單個度量單位的疊加、相同屬性的多個度量單位的換算.不同屬性的度量單位運算可分為不同屬性的單個單位運算和不同屬性的多個單位運算.估計可劃分為3種形式：數量估計、測量估計和計算估計.量的估計主要指測量估計.湯姆遜(P.Thomas)指出,測量估計(簡稱估測)是在不使用測量工具時,給特定的物體或任務(如長度、重量、體積等)賦予一個值的能力[29].量的估計包括選擇合適的量級度量單位進行估計和選擇合適的策略進行估計.在量的推理中,學生會經歷量化的過程,在這個過程中思維將得到高度的發展與升華.量的推理可分為量的操作、量關系的建立、量的形成.量的操作指學生經歷分割和統一的活動后,初步析出關于量的單位屬性.量關系的建立指學生根據單位屬性嘗試建立量之間的正確關系.量的推理體現了學生的數學抽象能力和問題解決能力,是學生數學模型構建與應用的重要基礎.學生的量感在經歷感知、換算和掌握估測后,最后融合為一個整體,最終量的推理在四面體底面3種成分的基礎上匯聚成頂點.因此,量的感知、換算、估計是量的推理的基本要素,推理使感知、換算和估計得到統一.

圖1 基于數學史的數學概念教學模式

圖1 題圖

圖1 量感的結構模型

4.3 量感測評框架研制的重心

國際上雖然已有大型的數學素養測評項目及個別研究提出了量感測評框架,但真正為量感量身定做的測評框架非常稀缺,尤其是針對我國小學生量感測評方面的研究更少.因此,在“以評促教、以評促學、教學評一致性”的原則下,研制量感測評框架不僅是更好培養學生量感的有效途徑,也是完善小學生數學核心素養測評體系的關鍵.然而,在量感測評框架的研制過程中,需要思考以下問題：

一是注重測評方法的多元化.在素養導向的理念下,量感的測評方法不能僅局限于紙筆測驗,而應允許更多元的測評方式協同發展,如表現性評價、檔案袋評價等.測評框架不能僅注重測評的結果,而忽略觀察學生在解決量感問題過程中的行為表現、思維過程,以及在量感測試中的情感態度.換言之,測評框架要體現結果性評價與過程性評價的融合,才能使測評結果更科學,更符合對素養導向的評價理念.

二是突顯測評任務的情境性.素養導向測評最大的特點是注重學生在真實問題情境中的問題解決能力.這種測評趨勢已在國際大規模測評中得到印證,如PISA2021數學素養測評關注真實問題情境[30].此外,“量”具有情境性,量感來源于日常生活,具有豐富的、真實的情境性,對量感的培養和評價更離不開情境.結合這兩個因素,研制的量感測評框架在測評指標和測評任務中需強調問題的情境性.為實現這一目標,首先要改變測試題中單純的以文字敘述為主的呈現方式,注重測試題中真實問題情境的創設,關注與學生日常生活關聯的情境;其次在大數據時代背景下,應積極嘗試利用計算機模擬真實問題情境,以實現對學生量感更全面的測評.這將是素養測評實施的趨勢[31-32].