基于溫度場與D-Kalman 參數估計的光學電壓傳感溫度補償方法

陳勝碩，李巖松，陳東旭，康世佳，許智光，劉君

（華北電力大學 電氣與電子工程學院， 北京 102206）

0 引言

隨著現代電網的發展，對電網運行的可靠性與效率的要求日益提高。傳感設備的智能化以及測量技術的不斷進步為智能電網的高效穩定運行提供了重要保障。

隨著電網容量的不斷提高及跨地域遠距輸電的增多，在電網中廣泛應用的電磁式電壓傳感器和電容式電壓傳感器的局限性也逐漸顯露。由于傳統電壓傳感器本身存在體積大、造價高、磁路飽和等固有缺點，光學電壓傳感器（Optical Voltage Sensors，OVS）顯示出了更加廣闊的應用前景。為滿足新一代電力系統的發展需求，關于OVS 的研究與實用化已成為當前電壓傳感領域的重要研究方向之一［1-5］。

經過數十年的發展，OVS 在理論層面也取得了長足的進展，為了增加OVS 的實用性，需要對OVS 的測量精度不斷進行優化。文獻［6］提出一種基于條形鋁金屬偏振光柵的光學電壓傳感器，通過將電光相位延遲變化轉化為光斑的平移，用圖像傳感器測量光斑位置實現電壓直接測量。文獻［7］通過研究OVS 光路結構的互易性機理，提出了一種運用多光纖相互結合的方法抑制系統光路寄生干擾相位差。文獻［8］基于一次電光效應和雜散電容耦合原理提出了一種雙鈮酸鋰晶體結構OVS，改善了光電傳感單元的溫度穩定性。文獻［9］提出一種基于同軸電容結構的溫度自愈式OVS，通過雙光路法提高測量裝置的溫度穩定性。文獻［10］設計了一種自校準OVS，通過設計基準電壓源，使其與被測電壓源串聯實現自校準功能。綜上，多數學者對OVS 溫度補償方面的研究更多傾向于硬件補償，對OVS 本身的溫度特性和電光晶體的熱物性研究較少。本課題組前期設計了一款基于Pockels 效應的旋轉式光學電壓傳感器，解決了在直流電場測量中面臨的電荷積累問題，但其也面臨著溫度漂移的困境［11］。所以就其溫度特性進行分析，本課題組提出通過處理OVS 的輸出信號將溫度與電壓解耦的方法，盡量排除溫度的影響［12］。但在后續分析中發現，部分參數仍會受到溫度的影響，所以在文獻［12］的基礎上引入溫度變化量參數，對受到溫度影響的參數進行狀態估計。

文獻［12］以橫向調制OVS 為研究對象，詳細分析了OVS 在多物理場環境下的溫度響應特性，通過頻譜分析揭示了溫度變化引起的漂移誤差量的所處頻帶，通過相應的濾波方法提高OVS 的測量精度。然而在考慮熱光效應時，是在已經確定了初始溫度晶體折射率n0的基礎上，分析溫致折射率改變量Δn對測量精度的影響。實際上與熱光效應同理，在不同初始溫度下電光晶體的折射率也會發生改變［13］。從文獻資料中往往只能查到電光晶體在固定入射光波長或固定環境溫度下的折射率數據，這些數據無法應用于多變外界環境下的OVS 溫度穩定性校正。同時，為了保證晶體的完整性以減少對內部光路的影響，大部分測溫裝置只能對晶體表面溫度進行測量，這在穩態溫度場環境下足以保證測量的準確性。但在外界溫度不斷改變的暫態溫度場下，由于傳熱特性導致晶體表面溫度與內部光路溫度存在差值，僅利用表面溫度數據也會對OVS 的溫度補償產生較大誤差影響，因此建立晶體內外溫度聯系成為亟待解決的問題。文獻［14］是在考慮第二類和第三類邊界條件下構建Nd∶YAG 激光晶體的溫度場模型，雖然本文中的晶體種類和邊界條件與文獻［14］有所不同，但也有相應的借鑒意義。

本文提出一種基于溫度場分析與雙卡爾曼濾波參數估計的溫度補償方法。首先建立鍺酸鉍（Bismuth Germanium， BGO）晶體的暫態溫度場模型，再通過卡爾曼濾波（Kalman Filtering， KF）算法對晶體內部溫度實現準確估計，從而得到準確的溫度變化量參數。然后使用中心差分卡爾曼濾波（Central Differential Kalman Filtering， CDKF）算法實現對初始溫度下晶體折射率n0的準確估計。最后將這兩個修正參數結合傳感器輸出信號高頻分量計算被測電壓，實現溫度補償，從而提高傳感器的測量精度與準確性。

1 光學電壓傳感器工作原理

橫向調制光學電壓傳感器中的通光方向與外加電場方向相互垂直。整體結構主要由光源、起偏器、λ/4波片、電光晶體、檢偏器以及后續的信號處理系統等組成，如圖1。入射到電光晶體表面的線偏振光在晶體內產生雙折射，相位差與外加電壓成正比，如式（1）。通過測量雙折射相位延遲即可計算傳感器外加電壓。

圖1 橫向調制OVS 原理Fig.1 Schematic of horizontal modulation OVS

式中，δ為雙折射相位差，n0為晶體折射率，γ41為電光系數，l為晶體通光方向長度，U為外加電壓，λ'為入射光波長，d為晶體在外加電場方向上的長度。

由于雙折射相位差δ直接測量難度較高，往往采用偏光干涉法將相位調制轉化為強度調制，在起偏器與晶體內光的偏振方向夾角為45o時，得到最大偏光干涉輸出為［15］

由于式（2）代入式（1）得到的系統響應非線性，通過光偏置法利用λ/4 波片增加π/2 的相位偏移，簡化后結果為

式中，Io為出射光強，Ii為入射光強。當δ遠小于1 時即可得到線性響應，如式（3）［15］。再利用線性響應方程通過測量光強計算雙折射相位差δ，代入式（1）最終得出被測電壓U。

本課題組在文獻［11］中對同時受到電場、溫度場、應力場等多物理場作用下的光學電壓傳感器輸出特性進行了建模與分析。在圖2 所示的OVS 傳感頭剖面圖中，以傳感器通光方向為基軸之一（如圖2 中z方向）建立坐標系?？紤]到外界溫度變化導致晶體產生熱脹冷縮，BGO 晶體在圖2 所示的槽位中由于外殼的約束產生熱應力，使得以BGO 晶體為傳感單元核心的光學電壓傳感器受到包括電光效應、熱光效應、彈光效應等的共同影響。偏振光在沿晶體通光方向傳播產生的相位延遲為［12］

圖2 OVS 傳感頭內部結構剖面Fig.2 Internal structure section of OVS sensing head

式中，p11、p12、p44為BGO 晶體的彈光系數，σ為BGO 晶體在外界溫度變化下受到的熱應力，E為外加電壓在晶體內產生的電場強度。

式（4）中晶體折射率n0會受到溫度影響，同時由于外界溫度變化導致晶體產生熱膨脹效應，晶體通光方向長度l以及在外界約束下受到的熱應力σ也會隨著溫度的改變而發生變化。在式（4）的基礎上，綜合考慮溫度對式（4）中參數產生的影響，并進行后續補償研究。

2 OVS 暫態溫度場與狀態估計模型

2.1 BGO 晶體熱模型及邊界條件

考慮溫度影響時首先要建立BGO 晶體內部暫態溫度場模型以求取內部通光光路實際溫度。光學電壓傳感器中使用的BGO 晶體形狀為長方體，圖3 為BGO 晶體的熱模型圖，其中通光方向設定為z軸。晶體暴露在大氣環境中，外界氣溫變化使晶體內部產生溫度梯度，且晶體各表面均符合熱力學第三類邊界條件。在構建溫度場時還要考慮入射光在晶體內衰減的能量，這部分能量可以近似看做晶體的內熱源，而文獻［16］中提到BGO 晶體對光的吸收系數極小，相對應的光強衰減也極小，所以晶體的內熱源可視作近似為零。

圖3 BGO 晶體熱模型Fig.3 BGO crystal thermal model

由于BGO 晶體為各向同性介質［15］，并且內熱源近似為零，則晶體內部的溫度場熱傳導方程為

式中，ρ為晶體密度，Cp為晶體定壓比熱容，λ為晶體導熱系數，T（x，y，z，t）為溫度場的時空分布函數。

考慮到外界溫度變化的不確定性，為了簡化溫度場函數解析解的計算，將空氣溫度變化設定為兩個不同的階段，如圖4：階段I 空氣溫度從初始溫度T0以恒定速率v進行變化，在經過時間τ后，達到狀態切換溫度T1； 階段II 從溫度T1開始，外界溫度保持恒定，但由于溫度梯度的存在，晶體內部溫度未在τ時刻溫度同步變化到T1，在之后的一段時間仍會進行熱傳導過程，使晶體整體溫度逐步逼近T1。

圖4 外界溫度變化示意Fig.4 Schematic of external temperature change

在不同階段BGO 晶體均處于第三類邊界條件之下，邊界條件形式相同，如式（6）。

式中，h為BGO 晶體的表面對流換熱系數，Tf為外界流體溫度。不同階段初始條件以及Tf的形式有所不同：階段I 中Tf=T0+vt，初始條件為當t=0，T=T0；階段II 中Tf=T1，初始條件為當t=τ，T=T（x，y，z，τ）。

2.2 BGO 晶體內部溫度場函數模型構建

2.2.1 階段I 溫度場函數模型構建

利用半解析法［17］求解式（5），得到其在滿足邊界條件式（6）下的解析解為

式中，Cijk（t）為溫度場中與時間有關的系數。β1i可通過MATLAB 求解超越方程式（8）求得，β2j、β3k將式（8）中的長度a替換成對應在y、z軸方向的長度b、c即可同理求解。

將式（7）代入熱傳導方程式（5），整理可得

式（10）中的β11、β21、β31均取超越方程式（8）的第一個數值解，u1可以通過式（11）計算得到

式中，A=h/λ，u2、u3將式（11）中的長度a換成對應在y、z軸方向的長度b、c即可同理求解。

將式（10）中右側部分整體看作常數f，即可解得

式中，c為任意常數，可以通過初始條件求解。再代入式（7）即可得到階段Ⅰ暫態溫度場表達式，表示為

2.2.2 階段Ⅱ溫度場函數模型構建

在達到階段Ⅱ之后外界溫度不再發生變化，即v=0。按照階段Ⅰ的解法f=0，無法求解溫度場，所以如圖5 所示重新定義坐標系［x'，y'，z'］，以晶體中心為坐標原點，以通光方向為z'軸，根據晶體溫度場的對稱性對溫度場函數模型進行求解。

圖5 階段II 溫度場坐標系定義Fig.5 Coordinate system definition of stage II temperature field

具體解法在文獻［18］中有詳細過程，不再贅述，將階段Ⅱ溫度場的函數模型整理可得

式中，θ0為狀態轉換時刻的過余溫度，'分別取長寬高對應的超越方程的第一個解，Fo為傅里葉數。

2.3 BGO 晶體中心溫度狀態估計

2.2 節中的暫態溫度場函數模型建立了晶體表面溫度與中心溫度的聯系，可以通過測量晶體表面溫度計算中心溫度的數值，但這也對晶體表面溫度的測量精度提出了很高的要求。為了使中心溫度解析解與實際溫度更加貼近，在暫態溫度場的基礎上，通過引入熱路模型并結合卡爾曼濾波算法對晶體中心溫度進行狀態估計［19-21］。采用文獻［20］提出的方法，以晶體體中心點為原點，整體熱路模型如圖6（a）。由于外部溫度變化，以升溫環境為例，熱量沿各面垂直外表面方向向晶體中心傳遞，將其中一條傳熱支路徑向n等分，如圖6（a）中的紅框所示支路，每個小單元都包含熱容與熱阻。由于電光晶體需要保持完整性，只能對晶體表面溫度進行測量，所以此處采取與文獻［20］中相同的處理方法，令n=1。此時沿BGO 晶體六個不同表面的熱路匯總在一起，如圖6（a）?？紤]到晶體物理參數的對稱性，沿晶體相對面延伸的兩條熱路參數完全相等，六條支路相互并聯。各條支路的熱容并聯后相加成為一個整體熱容C，數值上與晶體熱容相等；晶體內傳導熱阻RC與外換熱熱阻RS串聯構成一條支路上的熱阻，六條支路的熱阻相互并聯即可得到最終簡化模型中的總熱阻R。

圖6 BGO 晶體熱路模型構建Fig.6 Construction of BGO crystal thermal circuit model

圖中Tc表示晶體體中心點溫度，Tf表示晶體外部空氣溫度，Ci（i=1，2，…，6）表示支路熱容，RCj（j=1，2，…，6）表示由于晶體熱傳導產生的熱阻，RSk（k=1，2，…，6）表示由于晶體表面對流換熱產生的熱阻。其計算公式為，其中LC表示沿傳熱方向的特征長度，A表示傳熱面的表面積。

將圖6（a）中的熱路進行簡化整理，得到如圖6（b）所示的簡化熱路模型。其中R、C是經過等效化簡后的熱阻與熱容。在階段I 情況下Tf=T0+vt；在階段II 情況下Tf=T1。根據基爾霍夫電流定律推導可得BGO晶體熱路模型的求解方程為

將式（15）進行離散化，構建出關于晶體內部中心溫度的狀態方程為

式中，Tk、Tk+1分別為第k、k+1 時刻晶體內部中心溫度，Δt為第k、k+1 時刻的間隔，wk為系統噪聲，符合高斯分布。

矩陣形式線性卡爾曼濾波流程可表示為

式中，xk、xk'分別為k時刻狀態向量的估計值和一步預測值，Pk、Pk'分別為估計協方差矩陣和一步預測協方差矩陣，A、B、H分別為狀態轉換矩陣、系統控制矩陣、量測轉換矩陣，uk為系統控制向量，Q、R分別為系統噪聲協方差矩陣、量測噪聲協方差矩陣，Kk為卡爾曼增益矩陣，I為單位矩陣。

按照式（17）的線性卡爾曼濾波計算流程，以BGO 晶體內部體中心點溫度Tc為狀態變量，以能通過直接測量得到的晶體表面中心點溫度為量測變量，根據式（16）構建狀態方程，根據式（13）、（14）構建不同階段量測方程，表示為

式中，（x1，y1，z1）、（x0，y0，z0）分別為測量點和晶體中心點坐標，vk為量測噪聲，符合高斯分布。通過式（16）、（18）可以看出溫度估計模型是線性模型，為了解決線性模型精確估計問題并提高計算速度，引入卡爾曼濾波方法實現對晶體內部中心溫度的狀態估計，并以此修正表面測量溫度計算式（4）中受到溫度影響的參數。

2.4 BGO 晶體折射率狀態估計

在不考慮光源擾動性的前提下，式（4）中受到溫度影響的參數包括晶體長度l、晶體受到的熱應力σ以及晶體折射率n0。其中晶體通光方向長度l在外界溫度變化時會發生熱膨脹效應；晶體在外界溫度變化時所產生的熱應力σ與熱應變和晶體的物性參數有關。前兩個參數可以直接構建其與溫度變化量ΔT的關系，而對初始溫度下的晶體折射率n0的求取則為本節研究的重點。

結合式（3）、（4）可得在多物理場下OVS 輸出信號的低頻分量Io-與高頻分量Io～分別為

以圖2 中坐標系進行分析，BGO 晶體承受的熱應力σ與熱應變ε關系可表示為

式中，εx、εy、εz分別為沿x、y、z的熱應變，σx、σy、σz分別為沿x、y、z的熱應力，E'為BGO 晶體楊氏模量，μ為BGO晶體泊松比，α'為BGO 晶體熱膨脹系數，ΔT為溫度變化量。

在圖2 所示的OVS 傳感頭外殼的限制下，BGO 晶體只能沿通光方向z軸自由伸縮，在另外兩個基軸方向受到外殼限制，得到εx=εy=0，σz=0，代入式（20）可得

晶體長度l在外界溫度變化時發生熱脹冷縮，其計算公式如（22），其中l0為初始長度。

由于σx=σy=2σ［12］，將式（21）、（22）代入式（19）可得

光學電壓傳感器的輸出信號為交直流混合信號，經過高通濾波得到分離的低頻與高頻輸出信號。由式（23）得到輸出信號低頻分量與初始折射率n0的非線性關系，其中溫度變化量ΔT即為2.3 節狀態估計得到的晶體中心溫度的變化量。以式（23）中的低頻分量Io-作為n0的量測方程，考慮到式（23）為非線性模型，第2.3 節中的卡爾曼濾波無法解決此類問題，故引入CDKF 算法對n0進行狀態估計，同時CDKF 算法也能提高估計結果的精度。

CDKF 算法的具體流程如圖7。

圖7 中心差分卡爾曼濾波流程Fig.7 Flow of central differential Kalman filtering

先通過第一次狀態估計得到晶體中心點實際溫度變化量ΔT的準確值，再通過第二次狀態估計得到初始溫度下晶體折射率n0的準確值，結合式（23）中OVS 輸出信號的高頻分量Io～，得到被測電壓U的補償測量結果，最終實現對光學電壓傳感器的溫度補償。

3 仿真分析

3.1 仿真參數

通過BGO 晶體的溫度場仿真驗證2.2 節構建的暫態溫度場的正確性。在對BGO 晶體進行溫度場仿真時需要輸入多個物性參數，考慮到物性參數本身也會受到溫度變化的影響，根據文獻［22］對各項物性參數進行擬合，得到其與溫度的關系式，如圖8。

圖8 BGO 晶體物性參數溫度擬合圖Fig.8 Temperature fitting image of BGO crystal physical properties parameters

各物性參數擬合公式及評價指標如表1。

表1 物性參數擬合公式及評價指標Table 1 Fitting formula and evaluation index of physical properties parameters

文獻中給出了BGO 晶體楊氏模量E'與溫度的關系式以及其他參數的數值［23-26］，將BGO 晶體建模所需物性參數以及宏觀尺度整理如式（24）及表2。

表2 模型參數Table 2 Model parameters

E'=1.082×1011-2.380×106T-4.647×104T2+76.8T3（24）

結合以上模型參數進行BGO 晶體的暫態溫度場仿真。

3.2 BGO 晶體暫態溫度場仿真結果

利用COMSOL 軟件進行仿真，設置BGO 晶體與周圍環境的初始溫度為293.15 K，仿真場景設定為晶體外界大氣溫度以0.5 K/min 的速度持續上升，升溫時間持續2 400 s，直至大氣溫度升溫到313.15 K， 在2 400 s 外界溫度達到313.15 K 后不再改變，然后持續運行至6 000 s。

在2 400 s 時BGO 晶體表面溫度仿真圖像如圖9（a），內部溫度仿真圖像如圖9（b）。

圖9 BGO 晶體溫度場仿真Fig.9 Simulation of BGO crystal temperature field

從圖9 可以明顯看出，在外界溫度持續變化時，晶體各表面以及內部溫度出現了明顯的溫度梯度，說明晶體表面溫度與內部光路溫度存在明顯差異，驗證了計算內部溫度的必要性。

結合仿真結果對2.2 節構建的BGO 晶體暫態溫度場解析表達式進行驗證。選取BGO 晶體表面中心點以及晶體中心點分別進行仿真計算和解析計算的溫度比較，結果如圖10。

圖10 BGO 晶體面中心點、體中心點模型計算與仿真對比Fig.10 Model calculation and simulation comparison of BGO crystal face center point and body center point

從圖10 可以看出，通過半解析法構建的BGO 晶體暫態溫度場模型式（13）、（14）與仿真計算結果非常吻合。表面中心點的溫度相對誤差在0.015%以內，體中心點的溫度相對誤差基本在0.02%以內，僅由于兩段溫度場的構建方法不同在狀態轉換點存在一定的相對誤差階躍。

為了驗證理論模型建立的完整性，額外設定一個外界溫度下降的溫度環境：1）外界溫度以0.75 K/min的速度從303.15 K 降低到273.15 K；2）外界溫度保持273.15 K 持續1 h。由于探究性質與升溫情況的相似性，以BGO 體中心點的解析式與仿真計算結果為例進行說明，如圖11。在狀態轉換溫度處由于解析式的改變，存在相對誤差階躍的情況下，整個過程的相對誤差穩定在0.03%以內，解析式計算曲線與仿真計算曲線同樣十分吻合。說明之前建立的BGO 晶體在兩種不同溫度階段下的暫態溫度場模型式（13）、（14）也適用于外界溫度下降的情況，驗證了該理論模型的正確性和完整性。后續仿真研究以升溫情況為主進行論證說明。

圖11 降溫環境BGO 體中心點模型計算與仿真對比Fig.11 Cooling environment BGO body center point model calculation and simulation comparison

用BGO 晶體兩個特殊位置點驗證了2.2 節構建的暫態溫度場模型的正確性?？紤]到雖然在外加電壓影響下入射光線在晶體中會產生雙折射，但雙折射角的數量級很小，所以直接以晶體通光方向的中心軸線作為通光光路進行近似，中心軸線如圖12（a），并用中心軸線的模型計算結果與仿真結果對比驗證暫態溫度場模型的正確性。整條光路上各個位置的溫度與時間變化曲線如圖12（b）。

圖12 BGO 晶體中心軸線各個位置溫度-時間分布Fig.12 Temperature-time distribution at each position of the central axis of the BGO crystal

從圖12（b）可以看出晶體中心軸線上各點的時間變化趨勢保持一致，從中選出兩條特別的曲線分別投影到坐標面。其中一條是體中心點的溫度-時間曲線，與圖10（b）相吻合；另外一條是在狀態轉換溫度時刻（2 400 s）整條光路的溫度分布圖像，投影到溫度-位置坐標面上可以明顯看出呈邊緣高、中間低的對稱特性，符合熱力學特征。圖13 展示了晶體通光方向中心軸線在3.2 節設定的外界升溫環境下的仿真計算結果與溫度場模型計算結果的相對誤差。

圖13 通光光路解析式與仿真相對誤差Fig.13 The analytical formula of the through optical path and the relative error of the simulation

如圖13，在升溫期間，暫態溫度場模型對BGO 晶體中心軸線的溫度計算結果與仿真結果十分吻合，相對誤差控制在0.02%以內。綜上，從仿真層面驗證了2.2 節建立的暫態溫度場模型式（13）、（14）的正確性，為后續實驗研究提供了理論基礎。

4 實驗結果分析

本節主要在實驗層面繼續驗證暫態溫度場模型的正確性，并在此基礎上使用晶體表面溫度和傳感器輸出信號的測量數據，實現對晶體中心溫度與初始溫度下折射率n0的狀態估計，最后結合式（23）中傳感器輸出信號的高頻分量Io～計算被測電壓U。

4.1 BGO 晶體暫態溫度場測量驗證實驗

將5 mm×5 mm×10 mm 規格大小的BGO 晶體傳感單元置于溫度控制箱內，設置溫度控制箱溫度為20 ℃并保持1 h，以充分保證BGO 晶體的整體初始溫度趨于一致。然后以0.5 ℃/min 的速率從20 ℃升溫至40 ℃，升溫過程持續40 min 左右，然后再將溫度控制箱溫度保持在40 ℃持續1 h。期間使用熒光光纖測溫儀以BGO 晶體非通光方向表面中心點作為測溫點，持續測量BGO 晶體在不同階段下的溫度變化情況。采樣間隔設置為1 s，測溫時間持續100 min，將測溫結果匯總整理，與溫度場模型計算結果進行對比，如圖14（a）。相對誤差如圖14（b）。

圖14 晶體表面中心點溫度實測數據與溫度場模型計算值對比Fig.14 Comparison of the measured data of the temperature of the center point of the crystal surface and the calculated value of the temperature field model

將圖14（a）與圖12（a）進行對比，可以看出在3.2 節設置的升溫背景下，BGO 晶體表面中心點溫度的實驗量測數據與仿真及溫度場模型計算結果相吻合。晶體表面中心點在升溫過程的量測數據與模型計算結果相對誤差整體在0.2 %以內，從實驗層面證明了BGO 晶體暫態溫度場模型的正確性。

4.2 BGO 晶體中心溫度狀態估計與分析

4.1 節中的表面中心點溫度測量數據在部分時間點與模型計算結果相對誤差較大?？紤]到由于人為因素、儀器振動等對測量過程產生的影響，晶體各處實際溫度不可能與暫態溫度場模型的計算結果完全相同，并且測量數據存在大量噪聲。直接利用晶體表面中心點量測數據代入暫態溫度場模型求解的中心溫度與實際中心點溫度會產生明顯誤差。此時采用卡爾曼濾波算法對測量數據進行處理，利用式（16）作為狀態方程，式（18）作為量測方程，對晶體體中心點溫度進行狀態估計。

圖6 的熱路模型中需要對熱容、熱阻兩個參數進行辨識。其中熱容C=mc，m為BGO 晶體質量，c為晶體比熱容；熱阻與BGO 晶體的導熱系數與對流換熱系數有關，不同的外界條件辨識結果不同。以3.2 節設置的升溫條件進行辨識，結果如表3。

表3 熱路模型參數Table 3 Thermal path model parameters

根據表3 的熱路模型參數對晶體體中心點溫度進行狀態估計，結果如圖15。

圖15 BGO 晶體內部溫度估計結果Fig.15 BGO crystal internal temperature estimation result

由圖15 可知，在3.2 節設置的升溫情況下，晶體中心溫度的狀態估計結果與直接用暫態溫度場模型對該情景模擬計算的結果相吻合，也避免了將量測數據直接代入暫態溫度場模型計算中心溫度造成的誤差。以晶體中心溫度的估計結果與初始溫度作差得到溫度變化量ΔT用于后續折射率參數的估計和電壓的補償計算。

4.3 晶體折射率估計與電壓補償實驗

給OVS 施加頻率為50 Hz、幅值為3 kV 的工頻電壓。傳感單元輸出的光信號經過光電探測器變成與光強成正比的電信號，如圖16。經過數據采集卡變成數字信號后接入計算機并使用LabVIEW 軟件記錄觀察，數據采集卡的采樣速率設定為10 kHz。

圖16 光電探測器線性響應標定Fig.16 Photodetector linear response calibration

將傳感器輸出信號進行交直流分離，得到的低頻、高頻分量以及原始信號，如圖17。

圖17 升溫環境下傳感器輸出信號交直流分量Fig.17 The AC and DC components of the sensor output signal in a heating environment

在3.2 節設置［20 ℃，40 ℃］升溫背景下對圖17 進行分析。圖17（a）展示了傳感器輸出信號波形，僅截取能顯示具體波形的部分時間跨度，去噪后的正弦波形未出現明顯失真。圖17（b）展示了低頻分量在整個實驗區間的變化，其變化趨勢與晶體內部溫度變化趨勢基本吻合，能夠明顯看出外界溫度變化對輸出信號低頻分量的影響。而傳感器輸出信號高頻分量在升溫過程中僅略有波動。

將4.2 節得到的溫度變化量ΔT與圖17（b）中低頻分量的量測數據代入到式（23）構成折射率n0的量測方程，利用CDKF 算法對初始溫度下的晶體折射率n0進行估計，結果如圖18。

圖18 折射率n0的CDKF 估計結果Fig.18 CDKF estimation results for refractive index n0

從圖18 可以看出晶體折射率n0在估計初期存在很大的波動，經分析是由于晶體內部溫度的狀態估計值在實驗初期結果擾動過大導致?？紤]到狀態估計結果的波動，以實驗后1 000 s 穩定區間取平均值作為晶體未加電場時的折射率n0的狀態估計結果。在初始溫度為293.15 K，入射光波長為850 nm 的情況下，n0的估計結果為2.068 28，與文獻［26］中的計算結果相對偏差為0.017 6 %。

最后將溫度變化量ΔT、晶體折射率n0及圖17（c）中高頻分量的量測數據代入式（23）中的高頻分量計算公式，得到補償后的傳感器測量電壓U。在外加電壓為3 kV 的情況下，補償計算結果如表4。

表4 不同外界溫度下電壓補償計算結果Table 4 Calculation results of voltage compensation at different external temperatures

與同平臺下的反向傳播神經網絡（Back Propagation Neural Network， BPNN）補償方法進行比較，結果如表5。

表5 同平臺下不同溫度補償方法相對誤差比較Table 5 Comparison of relative errors of different temperature compensation methods under the same platform

與文獻［7］和文獻［27］的補償結果進行對比，結果如表6。

表6 不同平臺不同溫度補償方法相對誤差比較Table 6 Comparison of relative errors of different temperature compensation methods for different platforms

由表5 可知，BPNN 補償方法在［20 ℃，40 ℃］范圍內最大相對誤差為0.96 %。相比之下，在同平臺下所提出的溫度補償方法可以更大程度上減小溫度漂移對傳感器測量產生的影響。由表6 可知，相比于文獻［7］和［27］，本文提出的溫度補償方法補償結果更優。但考慮到不同實驗平臺實驗條件和裝置精度的不同，不應該對其中某種方法進行全盤否定，同時考慮到文獻［7］、［27］提出的更偏向于硬件補償方法，而本文更偏向于軟件補償方法，互相借鑒能有更大的研究空間。

4.4 OVS 溫度補償實驗平臺展示

為了研究光學電壓傳感器中BGO 晶體的暫態溫度場以及進行被測電壓溫度補償實驗，搭建了傳感器溫度實驗平臺，如圖19。實驗平臺包括電路與光路通道、一臺可編程溫控箱、一臺電源控制箱、一臺熒光光纖測溫裝置、一臺高頻變壓器以及光電傳感單元。通過光纖和導線分別連接光學電壓傳感器的光信號回路與電信號回路，通過熒光光纖測溫儀對BGO 晶體非通光方向表面中心點進行溫度測量，構成測溫回路。

圖19 光學電壓傳感器溫度補償實驗平臺設備Fig.19 Optical voltage sensor temperature compensation experimental platform equipment

圖19 顯示了光學電壓傳感器溫度補償實驗平臺的主要設備與部分連接情況，為了更加形象直觀地展示整個實驗平臺，繪制了平臺完整組裝后的連接原理圖，如圖20。

圖20 光學電壓傳感器溫度補償實驗平臺連接原理Fig.20 Optical voltage sensor temperature compensation experiment platform connection schematic

實驗設備具體型號如表7。

表7 實驗設備型號Table 7 Experimental equipment model

5 結論

在得到相位延遲δ的基礎上，引入溫度變化量ΔT進行修正。首先從理論上推導了BGO 晶體的暫態溫度場模型，然后利用KF 實現對晶體中心溫度的狀態估計，從而得到溫度變化量的準確數據，再利用CDKF實現對初始溫度下晶體折射率n0的狀態估計。最后將這兩個修正參數代入傳感器輸出信號高頻分量Io～計算被測電壓，實現溫度補償。

為驗證理論分析的正確性，在溫度響應特性實驗平臺基礎上增加了測溫回路并進行實驗。實驗結果表明，外界溫度在［20 ℃，40 ℃］范圍內以0.5 ℃/min 的速率升高，暫態溫度場模型計算結果與實驗測量溫度的誤差在0.2%以內，與仿真結果的誤差在0.02%以內。而補償后的被測電壓與標定電壓的相對誤差小于0.52%，補償效果優于同平臺下BPNN 補償方法以及不同平臺下的多種補償方法。證明提出的基于溫度場與雙卡爾曼濾波參數估計的溫度補償方法在光學電壓傳感器溫度補償方面具有一定的應用價值。但在研究過程中沒有考慮光源的波動性以及光在晶體中的能量損耗，還需進行更進一步的研究。