基于NSGA-II 傳感位置優化的曲面重構及誤差補償方法

尚秋峰，張曉旭

（1 華北電力大學 電子與通信工程系，保定 071003）（2 河北省電力物聯網技術重點實驗室，保定 071003）（3 保定市光纖傳感與光通信技術重點實驗室，保定 071003）

0 引言

薄層合金板由于其優良的力學性能、長疲勞壽命、高強度和優異的耐腐蝕性，已被廣泛應用于航空航天、船舶和民用建筑中［1］。然而，薄層結構容易受到非線性外力的影響，必須通過可靠的檢測系統來保證其安全，進而提高其使用壽命。當前典型的結構檢測重建方法包括：逆有限元法、ko 位移理論、相機測量方法、模態法。逆有限元法模型復雜，需要編寫復雜算法才可以得到精確的單元邊界條件，工作量大；ko 位移理論需要大量的傳感器來保證測量精度；攝像機測量方法對圖像清晰度要求較高，系統處理的數據量大，實時性差；模態法可以依據少量傳感信息重構結構形狀，且重構精度高［2］。

模態法重構時需要應變傳感器測量結構部分位置點的應變，而光纖布拉格光柵（Fiber Bragg Grating，FBG）傳感器由于其具有重量輕、測量精度高、抗電磁干擾等特點，被廣泛應用于結構重建研究中［3］。直觀來看，某一結構上布置的FBG 傳感器越多，獲得的信息就越全面，但是當使用的FBG 傳感器過多時，必然會導致FBG 布置困難和傳感信息冗余。張笑華等［4］從傳感器位置候選群中不斷刪除對響應重構精度貢獻最小的位置，直到最大規則化重構誤差方差或者平均規則化重構誤差方差等于或者大于預設的閥值，由此來確定傳感器優化的位置，但當傳感器候選位置較多時，方法計算量較大。PEI Xueyang 等［5］提出了一種基于剛度誤差和條件熵結合的最佳傳感位置選取方法，但需要通過蒙特卡羅方法計算高維積分，計算量大?；诳焖俸途C制的非支配排序遺傳算法（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm-II，NSGA-II）是多目標優化算法的典型代表，引入了快速非支配排序、精英策略和擁擠度算子，在降低算法的計算復雜度的同時還可更好地將優秀的個體進行保留［6］。

利用模態法重構結構形狀時，由于仿真模型與實際物體不完全匹配、應變測量不準確等原因，不免會產生誤差，利用誤差補償重構結果，可以提高重構精度。GIUSEPPE R 等［7］利用多項式擬合傳感器隨機誤差，具有一定的補償效果，然而，當誤差呈現復雜的非線性特征時，多項式擬合方法需要更多高階項，擬合效果不理想。神經網絡具有強大的非線性函數擬合能力。面對復雜的非線性誤差，基于神經網絡的非參數辨識是一種更為有效的方法。反向傳播（Back Propagation，BP）神經網絡是常用的神經網絡之一，其建模效果通常優于多項式擬合方法。但BP 神經網絡在訓練過程中，由于初始權值和閾值的選擇不當，通常無法達到局部最小值［8］。徑向基函數（Radial Basis Function，RBF）神經網絡是一種前饋型神經網絡，網絡結構簡單、學習速度快、非線性擬合能力強，具有全局逼近能力，可從根本上解決局部最優問題，而粒子群優化（Particle Swarm Optimization，PSO）算法不依賴目標函數的梯度信息，能夠解決復雜的非線性高維問題，很好地解決RBF 神經網絡泛化性能減弱的問題［9］，提高擬合精度。

為實現薄層合金板的高精度形狀重構，本文以鎳鈦形狀記憶合金板為例，在ANSYS workbench18 建立有限元模型，依據模態理論，考慮模態置信度、模態信息冗余性和轉換矩陣穩定性三個目標函數，利用NSGA-II 算法實現最佳傳感位置選取，利用粒子群優化徑向基函數（PSO-RBF）神經網絡算法擬合重構誤差與重構位移的關系，通過誤差補償提高三維形狀重構精度。

1 傳感原理及重構算法

1.1 光纖光柵傳感原理

FBG 傳感器原理如圖1 所示，當一定寬度頻率的光入射FBG 時，頻率在λB附近的光波被反射出來，而波長不是λB的光波成功透射過FBG，λB被稱為FBG 中心波長［10］。滿足公式

圖1 FBG 傳感原理Fig.1 Principle of FGB sensing

式中，neff為光纖的有效折射率，Λ為光柵周期。neff和Λ會隨著溫度和應變而變化，當溫度恒定時，λB的大小只與應變有關，當FBG 受到軸向應變時，Λ會發生變化，而neff變化較小，可忽略不計。此時中心波長偏移量ΔλB可表示為

式中，Pe為光纖的彈光系數，ε為FBG 的應變量。

1.2 模態法重構原理

根據模態疊加原理［11］，M個傳感位置點的應變為

式中，εM為傳感位置點的應變，ΨM(d)為傳感位置點的應變模態振型，模態坐標qm可以由最小二乘法求解，即

形變位移為

式中，q?為重構的位移向量，Φs為位移模態振型矩陣，Τ(d)是轉換矩陣。因此，通過轉換矩陣Τ(d)，可由少量應變測點數據推出全部位置的形變數據。

2 結構建模及FBG 應變標定

2.1 鎳鈦合金仿真建模

由于鎳鈦合金具有形狀記憶功能，因此采用鎳鈦合金板作為形變結構模型?；贏NSYS workbench18軟件平臺，建立如圖2 所示長為150 mm、寬為150 mm、高為0.5 mm 的鎳鈦合金板的有限元模型，在鎳鈦合金板板中間位置施加固定約束。

圖2 有限元仿真模型Fig.2 Finite element simulation model

在進行ANSYS 有限元模態分析時，截取模態的有效模態質量參與比大于0.8［12］。通過對金屬板進行模態分析，得到其前n階模態的有效參與質量如表1 所示。

表1 有效參與質量累加表Table 1 Participate effectively in the quality accumulation table

表1 結果顯示：當截取階數為8 時，x、y、z三個方向的有效參與質量均達到了0.8 以上，因此使用8 個FBG 傳感器即可實現曲面形狀重構。提取前8 階位移模態振型及應變模態振型作為重構算法的輸入信息。

2.2 FBG 應變標定

物體彎曲時，其中間位置的長度不會改變，仍為L，下表面長度為L-ΔL，上表面長度為L+ΔL，如圖3所示，有［13］

圖3 彎曲條件下FBG 形變Fig.3 FBG deformation diagram under bending conditions

式中，L為標定板板長度，h為其厚度，r為圓弧曲率半徑。

由于FBG 的形變量與柵區長度之比和標定板形變量與長度之比相等，因此FBG 的應變為

實驗采用曲率半徑分別為150 mm、160 mm、170 mm、180 mm、190 mm、200 mm 的圓弧作為應變標定及測量裝置，用環氧樹脂膠將FBG 粘貼至鎳鈦合金板，將鎳鈦合金板固定在3D 打印好的弧形上，如圖4所示。

圖4 FBG 應變標定圖Fig.4 Calibration diagram of FBG strain

采用的光柵解調設備是微光解調儀sm125，解調波長精度為1 pm，解調波長動態范圍是1 510～1 590 nm。采用的FBG 的工作溫度均為常溫20 ℃，環氧樹脂的工作溫度范圍是-50～+180 ℃，在常溫20 ℃時，15 h 左右固化，應變傳遞率達到98.4%［14］。FBG#1～FBG#8 的初始中心波長分別為1 560.600 1 nm、1 561.055 3 nm、1 539.819 2 nm、1 561.205 2 nm、1 554.811 5 nm、1 538.037 9 nm、1 561.027 3 nm、1 539.896 6 nm。FBG#1～FBG#8的中心波長最大變化范圍分別為±1.508 6 nm、±1.519 6 nm、±2.267 3 nm、±1.620 3 nm、±2.178 7 nm、±1.803 8 nm、±1.526 8 nm、±2.293 2 nm。擬合出應變與中心波長的線性關系，如圖5 所示。

圖5 FBG 波長漂移隨應變的變化關系Fig.5 Variation of wavelength shift of FBG with strain

可以看出波長漂移隨應變線性變化，依據此線性關系的斜率及截距，即可根據波長漂移量計算出相應的應變。分別采集每個FBG 在不同彎曲狀態下及卸載載荷時的中心波長，每次形變卸載載荷時與初始狀態時的中心波長差距在1 pm 左右，可視為鎳鈦合金板在卸載載荷后恢復了初始形狀。

3 基于NSGA-II 算法的最佳傳感點位置選取

3.1 NSGA-II 算法流程

NSGA-II 通過基于非支配排序的方法保留了種群中的優良個體，并且利用適應度共享函數保持了群體的多樣性［15］。其算法流程如圖6 所示。其算法步驟為：

圖6 NSGA-II 算法流程Fig.6 Flow chart of NSGA-II algorithm

1）初始化目標變量個數、目標函數等遺傳算法相關參數。

2）根據應變模態振型，判斷是否可以生成初始種群，若不能則需對種群進行非支配排序、選擇、交叉、變異，直至生成初始種群。

3）利用混合交叉算子、變異算子生成子代種群。

4）合并子代種群與父代種群，對超出約束部分進行再處理。

5）判斷是否可以生成子代，若不能則需要進行擁擠度計算選取合適的個體作為新父群。

6）計算適應度值，保留策略生成下一代種群。

7）判斷是否滿足目標函數最小，若滿足則輸出最優解，若不滿足則繼續迭代。

3.2 目標函數設置

高精度模態坐標是進行應變重構的前提，模態置信（Modal Assurance Criterion，MAC）矩陣的非對角線元素越小，模態振型向量獨立性越高，所對應的模態坐標的精度就越高。MAC 矩陣可表示為

式中，?i和?j分別為第i和第j個應變模態振型。據此設置第一個目標函數［16］，即

矩陣的穩定性可以用其條件數來表示，條件數越小，矩陣越穩定。應變-位移轉換矩陣越穩定，則其抗干擾能力越強，因此第二個目標函數為

在ANSYS workbench 有限元仿真中，由于網格劃分較小，導致某些網格的模態振型具有相似的模態特性，在相同載荷下會產生形同的響應，因此選取模態相關性小的位置點［17］，即較小的協方差。用c表示應變模態振型的相關系數，因此第三個目標函數為

依據此三個目標函數，輸出最優傳感位置點。

3.3 利用最優位置點重構結果

將FBG 粘貼至鎳鈦合金板最優位置上，將鎳鈦合金板分別固定在曲率半徑為200 mm、180 mm、160 mm 的圓弧上。根據測得的中心波長擬合得到FBG 應變，代入到應變-位移轉換矩陣中得到重構位移，并與K-means++聚類方法重構結果做對比，結果如圖7 所示。

圖7 不同曲率半徑圓弧情況下重構結果Fig.7 Deconstruction results in the case of circular arcs with different curvature radii

誤差大小通過計算均方根誤差和最大誤差來體現。均方根誤差公式為

式中，N為重構位置點個數，Sr為物體的測量位移，Se為物體的計算位移。最大誤差公式為

式中，MAX 為求取最大值函數。

兩種方法的均方根誤差和最大誤差如表2 所示。

表2 不同方法重構誤差對比Table 2 Reconstruction errors of different methods

傳統單目標優化算法中，利用K-means++算法重構誤差最小，而利用NSGA-II 算法所選取的傳感點進行重構，相較于傳統單目標優化算法均方根誤差減小了30%，最大誤差減小了15%。實驗結果表明使用NSGA-II 算法能在一定程度上提高重構精度。

4 基于PSO-RBF 的三維重構誤差補償

4.1 PSO-RBF 算法

RBF 神經網絡的原理是利用徑向基函數作為隱含層單元的“基”構成隱含層空間，隱含層對輸入向量進行變換， 將低維空間的輸入數據映射到高維空間，使得在低維空間線性不可分的問題在高維空間得以解決，圖8 為RBF 神經網絡模型結構。

圖8 RBF 神經網絡模型結構Fig.8 RBF neural network model structure

在徑向基神經網絡中，高斯中心的位置必然位于輸入樣本之間，高斯寬度的最大值也要盡量小于樣本的最大差值，徑向基神經網絡的權值和閾一般不超過輸出理想值［18］。粒子群優化RBF 神經網絡算法的主要方法是用粒子群算法搜索RBF 神經網絡算法中關鍵參數的全局最優值。在粒子群優化徑向基神經網絡中，徑向基神經網絡的參數直接對應粒子群的位置向量，因而對粒子群的位置向量提出策略

式中，P、Q分別為輸入數據和理想輸出數據，W(j)為粒子群的位置向量，n為樣本長度，K為粒子數。圖9為PSO 優化RBF 神經網絡算法流程。

圖9 PSO-RBF 流程Fig.9 PSO-RBF flow chart

4.2 誤差補償結果

將鎳鈦合金板彎曲成曲率半徑為200 mm 的圓弧時得到的重構位移數據和重構誤差數據作為數據集輸入神經網絡，其訓練集、驗證集和測試集的劃分比例為6∶2∶2，由此得到重構誤差與重構位移的擬合關系，實現對重構誤差的預測。利用訓練的網絡對彎曲曲率半徑為180 mm 和160 mm 兩種情況誤差補償，并與實際測量結果和無補償重構結果做對比，如圖10 所示。形狀重構結果如圖11 所示。均方根誤差與最大誤差如表3 所示。

表3 誤差補償后重構誤差對比Table 3 Reconstruction errors after error compensation

圖10 不同曲率半徑圓弧情況下位移重構結果Fig.10 Displacement reconstruction results in the case of arcs with different curvature radii

圖11 不同曲率半徑圓弧情況下形狀重構結果Fig.11 Shape reconstruction results in the case of circular arcs with different curvature radii

PSO-RBF 神經網絡算法對誤差補償后的重構效果有了很大的改善，均方根誤差減小了90%，最大誤差減小了70%，最大相對百分比誤差僅為5%。實驗結果表明采用PSO-RBF 神經網絡算法擬合模態法誤差可以實現高精度三維形狀傳感，對結構形狀監測具有重要意義。

5 結論

本文提出了基于NSGA-II 算法的結構重構方法，通過設計目標函數實現應變點測量位置的優化，在鎳鈦合金板彎曲不同曲率情況下，通過測量應變實現結構形狀重構，相比于單目標優化算法均方根誤差減小30%，最大誤差減小15%。利用PSO-RBF 神經網絡算法擬合誤差及重構位移的關系，補償重構結果，相比于無補償時均方根誤差減小90%，最大誤差減小70%，最大相對百分比誤差為5%。通過優化傳感位置點，合理配置傳感點資源，可以在較低成本內實現高精度測量。此外，由于仿真建模與實際結構的物理參數有所差別，導致重構算法存在固有誤差，可通過優化仿真模型進一步減小誤差。該方法有望對模態法實現結構高精度監測提供理論依據和設計參考。本算法沒有考慮溫度影響，不能實現溫度與應變的解耦，后續研究可將溫度作為一個變量分析其對重構結果的影響。