光學參量放大器輔助的復合腔磁系統中磁力誘導透明及快慢光效應

廖慶洪，宋夢林，孫建，邱海燕

（南昌大學 電子信息工程系，南昌 330031）

0 引言

腔磁系統是由三維微波腔和鐵磁材料釔鐵石榴石（Y3Fe5O12， YIG）球體耦合組成的，可以用來研究腔場與磁子之間的強耦合性和量子相干性。在腔磁系統中，YIG 材料自身具有低阻尼率、高可調節性和高自旋密度等優勢，一直以來被視為完美的機械振子。磁振子與微波腔光子之間的耦合強度可以達到強耦合態甚至超強耦合狀態，這為量子信息科學的研究打下了堅實的基礎［1］。此外，在強耦合狀態下，高品質的微波光子和磁振子可以導致腔磁振子發生自旋極化［2-7］。磁子還可以與彈性波［8］和光子［9］耦合，它們為介導微波光子、光學光子和聲學聲子之間相互轉換的信息傳感器的制備提供了可能。

隨著對腔磁系統不斷深入的研究，已有實驗證明了腔磁系統中的磁力誘導透明（Magnomechanically Induced Transparency， MMIT）和吸收［10］是磁子與聲子耦合產生的量子邊帶干涉效應。磁力誘導透明與電磁誘導透明（Electromagnetically Induced Transparency， EIT）［11］類似，是一種相干現象。XIONG Hao 等［12］從理論上討論了基于非線性磁振子-聲子相互作用的磁力誘導透明和慢光。文獻［13］實現了YIG 球和原子系綜復合腔磁系統中磁力誘導透明現象和可調快慢光效應?？烧{諧多窗口磁力誘導透明［14］已在耦合單個微波腔模式的兩個YIG 球組成的系統中提出。對磁力誘導透明的研究促進了基于磁致伸縮力的可控慢光研究［15］。此外，快慢光效應為壓縮空間中的光能量和光信號傳輸提供了可能性，快慢光效應有利于加強光與物質的相互作用，減少設施占用的空間［16-17］。根據快慢光的群延遲特性，能夠進行光緩沖、光信號、光開關的時間速度控制［18］。

腔磁系統中還出現許多有趣的現象，例如基于克爾效應的非互易性［19］、高階奇異點［20］、磁振子阻塞［21］、相干光傳輸［22］和高階邊帶［23-24］。同樣，人們對宏觀系統中量子效應的產生給予了足夠的關注。例如，LI Jie等利用帶通約瑟夫遜參量放大器的非線性［25］和磁致伸縮相互作用［26］為實現微腔光子、磁振子和聲子模式之間的三體糾纏提供了一個簡單可行的理論框架。此外，通過利用微波腔［27］、克爾非線性［28］和磁致伸縮非線性［29］研究了兩個宏觀YIG 球的糾纏特性。在最近的一項研究［30］中發現，與沒有光學參量放大器（Optical Parametric Amplifier， OPA）的系統相比，腔磁系統中OPA 的存在可以改善微腔光子、磁子和聲子之間的糾纏。其中OPA 用于產生強機械壓縮［31］、兩個光學模式之間的糾纏［32］以及光學模式和機械模式之間的糾纏［33］。

基于以上研究，本文提出了一個由非線性介質OPA 輔助的復合腔磁力系統。在復合腔磁力系統存在磁振子-聲子有效耦合時，輸出場吸收譜出現兩個透明窗口，透明窗口的特性可以通過調節磁振子-聲子之間的耦合強度改變。進一步討論系統加入OPA 后，腔磁耦合強度對系統探測場吸收和色散的影響。腔磁系統中非線性介質OPA 的加入也可以增加系統的傳輸速率，同時可以增強腔磁系統的快慢光傳播。與之前的工作［12］相比，引入了非線性OPA 介質后，磁力誘導透明和快慢光效應更加靈活可調。實驗上已經實現了YIG 小球與三維微波腔的耦合［34］，其中YIG 小球放置在三維微波腔中，通過磁偶極相互作用與微波腔耦合。磁振子通過磁致伸縮相互作用與聲子耦合［10］。因此，該系統在實驗上可行。

1 模型與系統哈密頓量

1.1 模型

如圖1 所示，復合腔磁系統由內置YIG 球體的微波腔和OPA 組成。YIG 球體被放置在腔模中，接近腔場的最大磁場，并處于一個均勻的偏置場中，該場負責磁振子-光子耦合。通過施加微波場以增強磁振子-聲子耦合。在YIG 球體位置，腔模的磁場（沿x軸）、驅動磁場（沿y方向）和偏置磁場（沿z方向）相互垂直。該系統支持三種不同類型的激發，即光子、磁子和聲子。磁振子模是由于鐵磁系統中大量自旋的集體運動，例如典型直徑為250 μm 的YIG 球體［35］。將均勻偏置場（z方向）施加到YIG 球上，激發磁偶極子與通過腔場耦合的磁振子模式之間的相互作用。球體內部磁振子模的激發會導致磁化，引起球體的晶格結構發生形變，聲子模式的形成是由這種幾何形變產生的。磁致伸縮力導致YIG 振動，從而在球體中建立磁振子-聲子相互作用。

圖1 OPA 輔助的腔磁系統模型Fig.1 Schematic diagram of the hybrid cavity magnetic system assisted by an OPA

1.2 系統哈密頓量

考慮高質量的YIG 球體，直徑為250 μm，由密度為ρ=4.22×1027m-3的Fe+3鐵離子組成，會產生S=5 2ρVm的總自旋，其中Vm表示YIG 球體的體積，S滿足對易關系。系統的哈密頓量(?=1)可以表示為

式中，ωaa?a、ωmm?m和ωbb?b分別表示腔場、磁子和聲子的自由哈密頓量；gma(a?m+eiΦam?)、gmbm?m(b+b?)和iG(eiθa?2e-2iω0t-e-iθa2e2iω0t)分別表示腔場與磁子耦合、磁子和聲子耦合、腔場與OPA 之間相互作用的哈密頓量；i(Ede-iω0tm?-H.c.)和i(Epe-iωpta?-H.c.)表示驅動場和探測場的哈密頓量；ωa、ωm和ωb分別表示腔場、磁子和聲子的頻率；a(a?)、m(m?)和b(b?)分別表示腔場、磁子和聲子的湮滅（產生）算符；gma表示腔磁的耦合強度；磁子和聲子之間的相互作用通常以較小的磁力耦合強度gmb來表示，然而，在強大的微波場驅動下，微波場提高了這個耦合強度；Φ表示耦合相位［36-37］；G表示OPA 的非線性增益；θ表示驅動OPA 的激光相位；ω0表示頻率表示驅動強度，γ表示旋磁比，N表示YIG 球的總自旋數，B0表示驅動場振幅；Ep為弱探測場振幅；ωp表示探測場的頻率。此外，忽略磁子模進行強驅動而產生的非線性項κm?m?mm（κ是克爾系數），必須使κ|m|3＜＜Ed［32］。

在以驅動場頻率為ω0旋轉的框架中，系統哈密頓量可以整理為

式中，Δa=ωa-ω0，Δm=ωm-ω0和δ=ωp-ω0分別表示腔場、磁子、探測場與驅動場之間的失諧量。

2 系統量子動力學和光學漲落譜

2.1 系統量子動力學

基于系統總哈密頓量方程式（2），忽略耗散項，系統的量子動力學可由海森堡-朗之萬方程描述為

式中，κa和κm分別表示腔模和磁子的耗散率；γb表示聲子的耗散速率；δ表示探測場與驅動場之間的失諧量。

假設朗之萬噪聲項的平均值為零。為了求解非線性方程，使用平均場近似方法AB=A B［11］，其中A和B代表兩個任意算符。如果使用強泵浦場驅動復合腔磁系統，使得|m|?1，可以使系統的動力學線性化。類似地，強腔磁相互作用產生較大的腔場振幅(|a|?1)?？紤]到探測場的擾動，每個算符可以分解為穩態和漲落項之和，O=OS+δO(O=a，m，b)，其中OS(δO)是輸出探測場的穩態項（漲落項）。通過這些近似，可以得到算符穩態值為

式中，λ1=。根據已有的實驗參數，近似認為Δ1～Δm。由于驅動場強度遠大于探測場強度，可以安全地忽略系統的非線性項igmb(δb+δb?)δm和igmbδm?δm。只考慮系統的一階邊帶效應，得到漲落項的運動方程為

式中，K=gmbms表示磁振子-聲子有效耦合強度。為了求解系統對探測場的平均響應，圍繞穩態值對量子海森堡-朗之萬方程進行線性化，并且只取波動算子中的一階項。每個算符可以寫成

式中，A-(M-，B-)和A+(M+，B+)分別表示一階上邊帶和一階下邊帶的系數。利用式（8）的擬設，帶入式（7）可得

令F1=-iδ+iΔa+κa，F2=-iδ-iΔa+κa，F3=-iδ+iΔ1+κm，F4=-iδ-iΔ1+κm，F5=-iδ+iωb+γb，F6=-iδ-iωb+γb。最終求得一階上邊帶系數為

2.2 光學漲落譜

為了研究系統對弱探測場的響應，根據腔磁系統標準輸入-輸出關系，輸出場的振幅可以表示為

式中，μp和νp是εout的實部和虛部，分別表示輸出場的吸收和色散。另外，由于透明窗口處的變化通常伴隨著快速的相位色散，導致群延遲的急劇變化，因此，可以得到透射光的群速度延遲表達式為

式中，?(ωp)=arg[εout(ωp)]。群延遲τ＞0，系統顯示慢光效應；群延遲τ＜0，系統則顯示快光效應。

3 數值分析與結果

在復合腔磁系統中，為了研究非線性介質OPA 對于磁力誘導透明、傳輸速率和群延遲的影響，選用實驗上可行的數據［10，17］：ωa=ωm=2π×10 GHz，ωb=2π×10 MHz，κa=2π×2.1 MHz，κm=2π×0.1 MHz，γb=2π×102Hz，gma=2π×1.5 MHz，Φ=0，θ=0。

3.1 含有光學參量放大器的復合腔磁系統中的磁力誘導透明現象

首先，研究了無OPA 加入(G=0)時，磁振子-聲子有效耦合強度對探測場吸收譜和色散譜的影響。如圖2（a）所示，繪制了不同磁振子-聲子有效耦合強度K下，輸出探測場的吸收μp作為歸一化失諧δ ωb的函數，其中ωa=ωm=2π×10 GHz，ωb=2π×10 MHz，κa=2π×2.1 MHz，κm=2π×0.1 MHz，γb=2π×102Hz，gma=2π×1.5 MHz，Φ=0，G=0，θ=0。在K=0 時，系統僅存在腔場和磁振子之間的耦合，可以看出輸出探測場的吸收譜有兩個峰值（品紅色虛線），即系統存在一個磁力誘導透明窗口。然而當K≠0 時，觀察輸出探測場的吸收與色散譜曲線可以發現系統吸收譜曲線出現三個峰值（藍色點虛線和綠色實線），意味著系統出現了雙重磁力誘導透明窗口，這是由于腔磁系統中除了腔磁之間相互作用外，還存在著磁振子與聲子之間相互耦合，導致探測場在中心位置完全被吸收，透明窗口數量增加。當微波腔與磁子的相互作用保持不變時，隨著磁振子-聲子有效耦合強度的增強，透明窗口的深度加深，探測場吸收譜曲線的中心峰峰值變寬，吸收譜曲線兩側峰值之間的距離也不斷增加。上述現象是由于加入磁振子-聲子耦合，腔內會出現強耦合作用。圖2（b）為圖2（a）相對應的色散譜曲線，可以看出磁振子與聲子相互作用時，在δ ωb=1 左右兩側的對稱位置會發生猛烈的色散現象，即色散曲線在吸收譜透明窗口位置變得陡峭，這種特性在腔磁系統的快慢光傳播中有著十分重要的作用。

圖2 在不同的磁振子-聲子有效耦合強度K 下，輸出探測場的吸收μp 和色散νp 作為歸一化失諧δ ωb 的函數Fig.2 Absorption μp and dispersion νp of output detection field as a function of normalized detuning δ ωb under different magnonphonon effective coupling strengths K

為了研究OPA 對于腔磁系統磁力誘導透明的影響，繪制了圖3，在不同OPA 增益G下，輸出探測場的吸收譜μp作為歸一化失諧δ ωb的函數，其中K=2π MHz，其他參數同圖2 參數一致。由式（4）可以看出，OPA 增益G會改變腔場的穩態效應，從而改變腔磁系統內的光子數，影響系統的磁力誘導透明強度。從圖3 可以看出，在共振頻率左側黃色比共振頻率右側黃色明顯，意味著在左側的吸收比右側更明顯，吸收光譜存在不對稱現象，這是由于加入非線性介質OPA 改變了腔磁系統中的平均光子數，非線性效應得到改變，造成腔磁振子之間的相互作用發生改變。另外還發現隨著OPA 增益增加，吸收峰峰值也逐漸增加，說明調節OPA 相關參數可以調制腔磁系統磁力誘導透明特性。

圖3 不同的OPA 增益G 下，輸出探測場的吸收譜μp 作為歸一化失諧δ ωb 的函數Fig.3 The absorption spectrum μp of the output detection field as a function of normalized detuning δ ωb under different OPA gains G

為了深入探究腔磁力系統中加入OPA 后，腔磁耦合強度對輸出探測場的磁力誘導透明現象的影響，繪制了不同微波腔與磁子相互作用強度gma下系統輸出場的吸收譜和色散譜。如圖4 所示，其中K=2π MHz，G=0.5κa，其他參數同圖2 參數一致。觀察圖4 可以發現吸收譜曲線有三個峰值，在保持OPA 增益G和磁振子-聲子有效耦合強度K不變的情況下，隨著微波腔與磁子相互作用強度gma增大，在共振頻率δ ωb=1 處的吸收譜峰變得尖銳，兩側的峰逐漸變寬，峰值變化不明顯，透明窗的谷深度隨之增加，寬度也隨之變寬。這說明隨著微波腔與磁子相互作用強度增強，腔磁力系統誘導透明效果也隨之增強。一一對應的色散譜曲線變得越來越陡峭，譜范圍也隨著微波腔與磁子相互作用強度增強而變寬。因此，通過改變腔磁耦合強度gma改變吸收光譜和色散光譜的傳輸特性，并且選擇不同的相互作用強度對探測場吸收峰的影響是不同的。

圖4 在不同腔磁耦合強度gma下，輸出探測場的吸收譜μp（綠色實線）和色散譜νp（品紅色點虛線）作為歸一化失諧δ ωb 的函數Fig.4 Under different cavity-magnon coupling strength gma， the absorption spectrum μp （green solid line） and dispersion spectrum νp （magenta dotted line） of the output detection field are used as normalized detuning functions δ ωb

3.2 光學參量放大器對傳輸速率和快慢光效應的影響

進一步討論非線性介質OPA 的增益G對于探測場傳輸速率|tp|2和群延遲效應的影響。

探測場傳輸速率可以表示為

通過設置OPA 的不同增益G來研究其對腔磁系統探測場傳輸速率的影響，如圖5 所示。反斯托克斯場和探測場之間的破壞性干擾可以抑制腔內探測場的建立，并導致窄的透明窗口。在磁子與聲子有效耦合強度K=2π MHz 時，可以發現隨著OPA 增益G的增大，在δ/ωb=1 處的透明窗口深度加深。而共振頻率兩側的探測場傳輸速率谷值變化恰恰相反，左側的谷值隨OPA 增益增加而變淺，右側則隨之加深，即出現明顯的不對稱現象，這意味著OPA 的增益和磁子與聲子有效耦合強度影響腔內光子數，進而影響了傳輸速率。此外，發現在共振頻率處的傳輸速率大于1，說明通過增加OPA 的增益強度，進一步放大了傳輸速率，即透射光譜可以由OPA 的增益控制。

圖5 在不同的OPA 增益G(K=2π MHz)下，腔磁系統的探測場傳輸速率|tp|2作為歸一化失諧δ ωb 的函數Fig.5 Under different OPA gains G(K=2π MHz)， the transmission rate |tp|2 of the detection field in the cavity magnetic system as a function of normalized detuning δ ωb

最后，研究了OPA 對復合腔磁系統中群延遲的影響。圖6 繪制了在腔磁耦合強度gma=2π×1.8 MHz，K=2π MHz 下，腔磁系統的群延遲τ與歸一化失諧δ ωb和OPA 增益的函數關系。OPA 增益G的取值為G=0.5κa，G=2κa和G=5κa?？梢钥闯鰣D中三條群延遲曲線均含有正值和負值，分別對應慢光效應和快光效應。在共振頻率δ=ωb處，τ＞0，此時為慢光傳播，隨著OPA 增益增大，慢光效應增強。同時，對OPA的調控，改變了共振頻率兩側群延遲峰值的大小，并且隨著增益G的增加，兩側的正值增大，負值減小，說明系統慢光效應隨之增強，快光效應隨之減弱。這是因為加入OPA 后增加了復合腔磁系統磁振子與腔模之間的耦合強度，導致在共振頻率兩側出現快速的相位色散，影響群延遲，改變快慢光效應。此外，還可以發現群延遲為負數的位置隨OPA 增益的變化改變不明顯，快光效應依舊出現在δ=0.89ωb和δ=1.09ωb處，說明復合腔磁系統的快光效應對于OPA 增益的變化存在魯棒性。為了實現腔磁力系統中快慢光的轉換，可以選擇合適的OPA 參數控制系統的快慢光效應，為靈敏光轉換開關的研究提供參考。

圖6 在不同OPA 的增益G 下，腔磁系統的群延遲τ 作為歸一化失諧δ ωb 的函數Fig.6 Under different OPA gains G， the group delay τ of the cavity magnetic system as a function of normalized detuning δ ωb

4 結論

本文研究了光學參量放大器輔助的腔磁系統中磁力誘導透明和快慢光效應。數值模擬結果表明，存在磁振子-聲子耦合時，通過改變磁振子-聲子耦合強度實現了輸出場透明窗口數量、寬度和深度的轉換。加入OPA 之后對于腔磁系統探測場吸收和色散譜曲線的影響表明，腔場的穩態效應依賴于OPA 增益的改變，從而導致腔磁系統內聲子數的改變，吸收光譜因此存在不對稱現象，且吸收譜的峰值隨之增加。另外，腔磁耦合強度也改變了吸收光譜和色散光譜的傳輸特性。增加OPA 的增益提高了系統的傳輸速率，從而實現了對窗口透射譜的調控。最后，OPA 對系統群延遲影響的分析結果顯示選擇合適的OPA 參數實現了增強的慢光效應和快慢光的切換。