基于聲壓系數變換的分布式球陣方位估計

范子璇，魏明洋

（1.南京理工大學電子工程與光電技術學院，江蘇 南京 210094；2.中國科學院聲學研究所，北京 100190）

0 引 言

傳聲器陣列通過傳感器陣元將聲音振動信號轉換成聲音電信號對信號進行時域、頻域、空域的處理，估計振動聲源的空間方位。其中平面陣列應用最廣泛，在時域利用到達時間差（time difference of arrival，TDOA）進行定位是常見的做法［1］。而在室外場景（如路口）的目標聲源方位估計中，算法需要較好的全空間指向能力和方位分辨力。球面傳聲器陣列具有三維對稱結構，對空間任意方向有相同指向性，并能通過球諧波分解實現高分辨的方位估計。因而，相比于平面陣列，球面陣更適用于室外場景。

在基于球面陣列的方位估計算法中，Meyer J等人［2］基于聲場分解提出了球面陣列的波束形成算法，可以在不改變波束形狀的前提下掃描三維空間中任意方向。Sun H等人［3］針對球面聲場提出了陣列響應優化算法，將陣列加權向量設計問題轉化為約束問題。同時，他提出了基于球諧波域的分布式聲學傳感器（distributed acoustic sensor，DAS）、最小方差無失真響應（minimum variance distortionless response，MVDR）和多重信號分類（multiple signal classification，MUSIC）算法對房間內的直達聲和早期反射聲進行方位估計［4］。Jorgen H［5］提出濾波求和算法，對有限脈沖響應濾波器施加約束條件，以擴大球面陣波束形成的動態范圍。

單個球面傳聲器陣列雖然具有良好的方位性能，但在室外的遠場中十分受限。首先，單個球陣列只能還原局部聲場，當聲源距離陣列較遠時，接收信號的信噪比低，聲場還原難度大；其次，聲場的空間分辨率和估計精度都與傳感器數量成正比，而在半徑約束情況下的單個球面上能布放的傳聲器數量存在上限。為了準確還原更大的聲場來估計聲源方位，分布式陣列因大尺寸和靈活的布放成為新選擇。多節點定位的研究方向眾多［6］，但有關分布式的球陣列，目前的探索較少。其中，Wang F等人［7］通過分布式球陣列對寬帶聲源定位，分析了分布式傳聲器陣列的子陣數和子陣半徑對聲源識別的影響。Pan X等人［8］提出一種基于多個開球陣列的寬帶聲源方位估計算法，采取同心球陣列裝置，增大了工作頻率范圍，降低了計算復雜度。

有鑒于此，本文針對分布式球面傳聲器陣列的布放和方位估計問題展開相關研究。提出了一種基于加法定理的方位估計算法，分析了模態截斷階數以及子球陣的分布位置對算法的影響。最后在低頻相干平面波聲源場景下進行了仿真驗證。

1 分布式球陣理論模型

1.1 聲場的球諧波域表達

基于單位球的函數可以用加權的球諧波函數（θ，φ）來表達，n階m次的球諧波函數定義為

式中θ為俯仰角，φ為方位角，Pmn（）為連帶勒讓德函數。假設聲源是單位幅度的遠場平面波，入射角為（θk，φk），令r＝（r，θr，φr）表示球心位于坐標原點的球形有界區域內的任一觀測點，則r處的聲壓可以表示［9］為

式中jn（kr）為球貝塞爾函數，k＝（k，θk，φk）為來波的波數向量，k為波數。

1.2 聲壓系數變換

聲壓的表達式與球心位置有關，假設空間Z中某一點Q相對于原點o的位置為R＝（R，θR，φR），相對于q點Rq（Rq，θq，φq）的位置為r＝（r，θr，φr），具體位置表示如圖1所示。

圖1 聲場轉移示意

聲壓以原點為中心在球諧域展開和以q為中心在球諧域展開的表達式分別如下

其中，（k）和（k）為基于o和q參考點的聲壓系數，展開表達式如下

定義jv（kr）Yvμ（θr，φr）和jn（kR）Ynm（θR，φR）為聲壓的基函數。

根據加法定理［10］，原點處的基函數表達式可以通過不在原點處的基函數乘以轉移矩陣T得到。將各子陣處的基函數轉移到全局原點處的表達式為

T矩陣的維度由轉移前后的截斷階數共同決定，聲場轉移前在q處的階數為V，聲場轉移后在o處的階數為N。T矩陣中每一個元素表達式如下

其中，G（n，m；v，-μ，l）為Gaunt系數，截斷階數l＝n＋v＋1。最終，聲壓系數的轉移關系為

1.3 聲壓系數的N階估計

圖1所示的Q點處聲壓不僅受聲源影響，還包含了高斯白噪聲n的干擾，因此將Q點的實際聲壓表達如下

將上述頻域的聲壓轉換到球諧波域，取截斷階數N，可得到下式

在與他人溝通的角色上，69.60%的大學生持有積極情感，以強調人際交往中的主動性、指引他人為價值取向；30.40%的大學生持消極情感，以強調人際交往中的被動性為價值取向。

其中，-n≤m≤n，0≤n≤N，xnm∈C（N＋1）2。因為T矩陣具有正交性，nnm依然服從高斯分布。等式（11）兩邊同時除以jn（kR）可得

設?∈NC（0，Σ），Σ∈C（N＋1）2×（N＋1）2，令S為T-1，則

根據貝葉斯估計準則［11］可得：條件概率服從NC（，Σ）。假定q處的聲壓系數的先驗概率服從NC（0，），設Ψ為SHS，則可得：后驗概率的均值為：S（Ψ＋）-1x，協方差矩陣為［I-S（Ψ＋）-1SH］。而o處的聲壓系數的先驗概率服從NC（0，I），后驗概率分布的均值為Ψ（Ψ＋）-1x，因此，通過T矩陣轉移得到的原點處的聲壓系數估計為

2 分布式球陣的方位估計

2.1 方位譜估計

本文希望從聲壓系數所示的球諧波系數中提取信號的方位信息。定義濾波器h（θ，φ），根據球諧波函數的正交性，令濾波器系數為

在實際應用中，通過估計得到的聲壓系數＾α（o）k獲取聲源方位。通過濾波器后的方位譜輸出表達為

式中（k）為聲壓系數的樣本協方差矩陣，L為估計樣本協方差矩陣（k）所用的快拍數。方位譜的峰值所在即為估計得到的聲源方向。

2.2 分布半徑優化

圖2所示的陣形設計采用4 個由32 只傳聲器均勻排布的子球陣，分別放置在正四面體的頂點位置，即令4 個子陣也在以分布半徑Rq為半徑的球面上均勻放置。

圖2 4 個子陣球心位于正四面體頂點

對于任一子球，在球貝塞爾函數jl（kRq）的取值近似0點的情況下，該子球轉移到原點處的球諧聲壓系數即無法分辨多個聲源。而假若jl（kRq）的取值在任意階數l上都不接近于0，則能夠分辨多個聲源。本節提出一種優化方案，即對有貝塞爾零點問題的子球的波束輸出賦予小權重，對沒有貝塞爾病態零點問題的子球的波束輸出賦予大權重。具體權重取值為各子球貝塞爾函數的最小值

為避免在選取4 個不同分布半徑的時候，4 個子球都遭遇貝塞爾零點的情況，下面對各子陣分布半徑，（p＝1，2，3，4）的選取進行優化。設＝ap，a1＝1，1 ＜a2，a3，a4＜2，優化對象a＝［a2，a3，a4］，優化目標為

通過上述準則，找到弱化貝塞爾零點影響的最優半徑比例aopt。

3 仿真實驗

3.1 截斷階數對聲場重放精度影響分析

假定一個單位振幅的聲源來波方向（θk，φk）為（45°，15°），波數k為10，分布式陣列的最大半徑范圍R為1 m，即需要重放的聲場的半徑范圍為1 m。聲場還原情況隨系數轉移到原點后的截斷階數N的變化如圖3所示。由圖3（a）可見，能夠還原的聲場范圍半徑R超出1 m。而圖3（b）中還原的聲場范圍正好為1 m的圓，在圓圈之外的范圍內，正弦波的線條扭曲，說明1 m以外的聲場無法準確重放。圖3（c）中還原的聲場不能覆蓋半徑1 m 的圓?？芍晥鲞€原的條件為截斷階數N≥kR。

圖3 不同階數下聲場重放示意

3.2 相干聲源方位估計與分布半徑選取

采用對于位于（35°，15°）和位于（-35°，-15°）方位上的500 Hz相干聲源進行測向。其中，子陣的半徑設定為0.15 m，陣列中心位于坐標原點，陣列接收功率為20 dB 的高斯白噪聲，時域快拍數L為100。為對比分布式陣列與單球陣列測向性能的差別，并觀察分布半徑Rq對相干聲源測向性能的影響，采用2.1節的方法對多種情況分別輸出方位譜圖。單球陣列和選取不同分布半徑的分布式陣列測向圖如圖4所示。

圖4 相干聲源測向圖

由圖4（a）可見，單球陣列無法在500 Hz的頻率上分辨位于（35°，15°）和（-35°，-15°）的相干聲源。圖4（b）～圖4（h）則顯示隨分布半徑的增大，陣列對聲源的分辨力提高。然而，圖4（e）～圖4（h）表明，在分布半徑進一步增大時，并沒有隨著前面的規律持續提高分辨力，反而在Rq為1.5 m和2 m時急劇下降?？傊?，在部分分布半徑下，多球陣列能夠分辨該聲源，在另外的分布半徑下則不能。分析認為，在半徑增大的過程中，截斷階數隨之增高，因此貝塞爾函數擁有更多零點頻率，導致在Rq為1.5 m和2 m時無法分辨該聲源。

如果采用2.2節中的分布方式，即陣列各子陣選擇不同的分布半徑，按式（18）計算子陣加權系數。分析取最優值時陣列總的貝塞爾零點情況。因為設計的應用場景為室外低頻信號，因此仿真設定波數k∈［7，12］，取∈［0，2］，考慮到a的選擇與的離散精度μ有關，μ取0.1。仿真顯示最優半徑比為aopt＝［1.2，1.5，1.6］。當aopt是μ為0.1時，J（α）取得最大值時的4 個子球半徑比例。探究J（α）隨半徑比例a的變化趨勢，為了便于作圖觀察，將a從三維降至一維，先研究在僅考慮2 個子球的情況下，J（α）受分布半徑比例變化的影響，即測試在2 個子球的分布半徑差異化時，貝塞爾零點問題是否有所緩解。對分別再取離散精度μ為0.01、0.001，觀察aopt是否隨著離散精度的提高在［1，2］范圍內趨近于最優點。結果如圖5所示。

圖5 雙球分布半徑比例取不同離散精度對比

由圖5可見，J（α）隨半徑比例的變化曲線并不因為離散精度的變高而越來越平滑或不斷趨近局部最優點，反而發生更加陡峭的變化。這表明，離散精度對該問題的最優取值影響很大，無法找到一個最優的半徑比例取值使陣列避免或削弱貝塞爾函數零點帶來的影響。因此，該仿真實驗證明分布半徑之間的相對取值優化不能直接規避貝塞爾零點。本文在實際應用中只能選擇限定分布半徑的絕對取值，例如規定部分子陣的分布半徑必須小于1 m，然后再采用對這部分子陣的方位譜輸出賦予大的權重，其余子陣的方位譜輸出賦予小的權重的方式進行最終的聲源測向。

4 結 論

針對分布式球面傳聲器陣列的布放和方位估計問題，本文提出了一種基于聲壓系數變換的分布式方位估計算法，利用球諧波函數軸對稱加法定理將分布式子球的球心聲壓系數變換到坐標原點，再利用球諧波函數正交性估計來波方位。為降低球貝塞爾函數零點對方位估計的影響，提出了一種基于子陣分布半徑優化的聲壓系數加權變換算法。仿真表明，基于聲壓系數變換的方位估計算法能有效提升低頻信號的方位估計分辨率，對于路口異常聲檢測場景下的方位估計有顯著意義。