數學“微探究”活動的設計與實施

吳國文 黃暉明

【摘 要】數學探究活動在提高學生發現、提出、分析、解決數學問題的能力，孕育自主探究精神，培養創新人才中發揮著重要作用?！拔⑻骄俊笔菙祵W探究活動的“袖珍體”，重心置于探究方法的梳理和探究過程的開展上，有效解決了數學探究活動中活動時間長、思維跨度大、學生參與度低等問題。本文通過對微探究活動中探究問題的育人價值體現（為什么要探究）、探究內容的合理重組（探究什么）、探究過程的自然開展（怎么探究）等要素進行分析，嘗試設計并開展微探究活動。微探究活動過程中積累的探究經驗和方法，可以為數學探究活動的有序開展提供參考。

【關鍵詞】中學數學；微探究；探究活動

數學探究活動是高中課程主題之一，它是運用數學知識解決數學問題的一類綜合實踐活動，在必修課程和選擇性必修課程中都有涉及。受課堂容量、教學進度、是否為高考要求的內容等因素影響，不同教師在引導學生完成數學探究活動時的安排各不相同。在實際教學中，教師若缺乏指導經驗，則容易出現過度干預，探究問題不能啟迪學生深度思考，探究過程流于形式等問題，學生無法從活動中汲取經驗。對數學探究活動內涵、活動設計要素與活動開展過程進行研究，可以幫助教師深入理解這一活動的意義，體會它的核心要義進而指導教學，實現教育價值。

一、數學探究活動的內涵及分類

數學探究活動是圍繞某個具體的數學問題，開展自主探究、合作研究并最終解決問題的過程，具體表現為：發現和提出有意義的數學問題，猜測合理的數學結論，提出解決問題的思路和方案，通過自主探索、合作研究論證數學結論。［1］數學探究活動主要包括提出探究問題、制訂探究方案、開展探究過程、得出探究結果、形成探究反思等五個要素，各要素相互關聯構成探究鏈，可具體劃分為初始期（弄清問題）、規劃期（制訂方案）、困難期（解決問題）、突破期（得出結論）、創新期（驗證結論）、反思期（交流評價）。［2］學生經歷探究過程中的調查研究、實驗確認、分析研討、表達交流并論證等學習活動，數學知識得以延伸與拓展，在領悟數學知識、掌握研究方法的同時，自主探索、合作交流和動手實踐的能力得以提升。

人教A版高中數學教科書中數學探究活動內容包含知識發現與拓展、數學實驗、數學史、知識應用、思想方法等，根據探究方法的不同，主要可分為推理型探究（注重邏輯推理）、應用型探究（注重知識應用）和實驗型探究（注重數學實驗）。筆者以教材中的“探究與發現”內容為例，將數學探究活動進行整理及歸類（見表1，標注“*”的內容為非高考內容），便于教師把握探究主題、識別探究內容、靈活選擇探究方法來開展數學探究活動。

二、“微探究”的內涵及意義

仔細研讀表1所述數學探究活動案例可以發現，它們大多略去了發現問題、制訂方案的過程（即已經給出探究問題，甚至設計好了探究思路），且探究重心置于探究方法的梳理和探究過程的開展上，探究結果更多指向的是數學微觀結論。在探究問題的引領下（或教師的指導下），學生自主或合作進行有序探究活動，最終完成探究任務，本文將這樣的探究定義為“微探究”。

微探究屬于數學探究活動的“袖珍體”，是數學探究活動的類型之一。微探究既保留了數學探究活動的核心環節、優勢與功能，又克服了數學探究活動中活動時間長、思維跨度大、學生參與度低等問題，具有“小而精”的特征，即時間跨度小、探究任務少、探究目標精準聚焦。微探究在實踐中具有操作靈活、問題容易解決、探究過程用時短、見效快等特征，更能適應高中數學學習進程及契合高中生的認知特征。在微探究的過程中積累的探究經驗和探究方法，可以幫助學生順利實施數學探究活動。

三、“微探究”活動設計與案例分析

如何有效利用教材中的探究素材，引領學生深度參與數學探究活動，對提高學生的問題意識，熟悉數學研究方法，發展數學探究能力至關重要。本文以“輔助角公式”為例對微探究活動的設計與開展進行研究，以期為數學探究活動教學提供參考，實現以微探究撬動數學探究活動。

（一）“微探究”活動設計要素

微探究活動注重內容探究性、活動自主性、思維深刻性。要達成上述三性，活動設計時需要重點考慮以下三個問題：一是探究問題的育人價值體現（為什么要探究）；二是探究內容的合理重組（探究什么）；三是探究過程的自然開展（怎么探究）。

1.育人價值分析（為什么要探究）

微探究的目標設計不能僅僅指向知識點的獲得，應著重考慮知識形成背后蘊含的思想方法等隱性內容，學生在探究過程中的感受與收獲，活動結束后積累的探究經驗等育人價值。

輔助角公式是重要的三角恒等變換公式，主要作用是將同角的正、余弦線性結構式子轉化為f（x）=Asin（[ωx+φ]）的結構式，用以有效解決三角函數類問題。輔助角公式本質上是一個處理三角函數式的工具，蘊含著模型化、轉化與化歸的思想，具備豐富的科學價值、應用價值、文化價值。

首先，可以通過公式的推導與應用，讓學生體會數學化繁為簡、化難為易的應用價值，數學的工具性、實用性得到進一步凸顯。其次，在實際教學中發現，很多學生對于輔助角公式的推導，[φ]的由來、取值不清楚（教材中未給出輔助角公式的推導過程，受課時影響有的教師直接告知學生公式），導致在使用過程中頻頻受阻。因此，教師要引導學生善于用數學的眼光發現身邊的問題（輔助角公式的由來），嘗試分析問題、解決問題，在問題的解決過程中提升邏輯推理、數學運算等核心素養，體現數學的科學價值。最后，以輔助角公式為知識探究背景滲透數學史（我國數學家李善蘭總結提出的輔助角公式推演過程），對學生實施思政教育，感受數學家積淀下來的數學成就，從而提升文化自信。

2.探究材料再加工（探究什么）

首先，教材中的微探究素材往往兼具綜合性和研究性，需要學生具有一定的探究方法、充足的知識儲備、較強的邏輯推理能力才能支撐探究活動的完成。其次，由于篇幅限制，教材的探究材料中內容往往比較精簡，難以達成豐富的育人目標?；谏鲜隹紤]，教師應圍繞育人價值對探究材料進行重新加工，整合形成新的探究素材。

探究輔助角公式的由來，體會輔助角公式在解決三角函數問題過程中的簡便性，感受我國的數學成就，提升文化自信等是本次探究活動的內容，也是教學難點所在?；谥R發生發展和學生認知過程合理性的考慮，筆者將教材中的內容進行補充及再加工，設計如下探究任務及過程：一是求y=sin x+cos x的最大值；二是制訂探究方案；三是求y=a sin x+b cos x的最大值（輔助角公式的推導）；四是公式來源介紹（數學家李善蘭的推導過程）。通過重構探究素材，分解育人目標。

3.驅動探究進程（怎么探究）

總體而言，微探究的驅動過程可概括為大概念引路、問題鏈鋪路。

大概念可以被界定為反映專家思維方式的概念、觀念或論題，具有生活價值［3］，是對事物的性質、特征以及事物間的內在關系及規律的高度概括，具備抽象性、概括性、統攝性和廣泛遷移價值。按照大概念所在層級可以分為課程大概念、單元大概念、課時大概念，根據教學功能的不同，還可以將不同層級的大概念分為“是什么”“怎么學”“數學基本思想”等三類。［4］本節內容可以提煉出如下大概念：輔助角公式是一種式子轉換模型，特殊到一般再到特殊是研究數學對象的常用方法，轉化與化歸是三角恒等變換的基本思想。從教學功能看，大概念具備知識技能和研究方法的雙重屬性，能將離散的知識結構化、方法系統化，能統領課堂教學的有序展開。

問題鏈是幫助學生完成探究任務的腳手架，它是根據教學內容及其蘊含的思維脈絡，立足學生認知水平而設計的具有系統性、層次性、結構化的問題序列，由橫向的主干問題及縱向的追問組成。［5］探究性問題鏈是相對問題鏈的教學功能而言的，是教師為學生自主、獨立地發現問題，培養學生的探索精神和創新能力而設計的富有思考性的問題鏈。探究性問題鏈為學生開展探究活動提供脈絡化探索路徑，是探究活動教學的核心，也是培養學生科學探究能力的有效途徑。

探究性問題鏈的設計要遵循適切性、聯系性、層次性。適切性一是指問題的設計要適切活動主題，二是要針對班級學生，考量“兩個過程”（知識的發生發展過程及學生的認知過程）的合理性。聯系性是指問題鏈中主干問題間具備知識（思想方法）的橫向關聯，主干問題與追問間具備思維的縱向關聯。層次性指問題由簡單到復雜逐步遞進，形成組織嚴密、問問相扣、連貫一致的問題序列，促使學生有序思考，幫助學生體驗由具體到抽象、由低向高進階的思維認知過程。

基于以上分析，微探究的具體實施路徑可設計如下：先確定內容大概念，在大概念的引導下融合學習任務及所蘊含的思維主線來設置主干問題，搭建問題鏈整體框架，構建思維層次；隨后細化局部，設計追問，延展思維深度。不難發現，探究性問題鏈中主干問題是驅動數學知識發生發展過程中的核心問題，追問是遵循學生認知過程、聯結主干問題間的思維跨度、指引學生深入思考的重要問題。

（二）“微探究”活動案例分析

1.環節一：提出探究問題

【主干問題1】求函數y=sin x+cos x的最大值。

學生嘗試代入特殊值求解，得出[2]為最大值。

【追問1】特殊值法能窮盡x的所有取值嗎？

學生思考，并對最大值為[2]產生懷疑，尋求嚴謹的證明。

【追問2】對于一般情形即y=a sin x+b cos x的式子，又該如何求最大值？

【設計意圖】基于學生思維的最近發展區，從簡單且熟悉的函數式入手求最值，提出新的矛盾與問題來引發學生的探究欲望。

2.環節二：制訂探究方案

【主干問題2】對于開展數學對象的研究，我們一般需要先做好哪些準備？

學生先自行思考，在教師適當引導后得出：開展數學研究需要有必要知識儲備和研究方法（可以先從特殊情況入手尋找解決問題的突破口，再將從特殊案例總結出的方式方法應用于一般情形當中）。

【追問】本次探究具體如何開展？

師生共同制訂探究方案：知識、方法梳理—尋找是否有類似題型或經驗—開展特殊情形下的推理研究—開展一般情形下的推理—得出結論—總結反思。

【設計意圖】設計問題，引導學生對“如何研究”“如何開展”等一般性問題進行深入思考，幫助學生形成探究方法（大概念）。

3.環節三：開展探究過程

根據制訂的探究方案開展探究：梳理相關知識、方法、經驗，選擇特殊情形，教師可根據學生尋找（選?。┑奶乩M行適當指引、展示。教師可以展示以下特例：

化簡：（1）[12cos x]-[32sin x]；（2）[3sinx]+cosx；（3）[2（sinx-cosx）。]

【主干問題3】這三道題是基于什么樣的方式化簡得來？

學生歸納出基于兩角和（差）的正弦、余弦公式的逆用（需保證兩個系數的平方和為1，不為1的情形需先配湊再進行轉化），將線性式子化簡為形如f（x）=Asin（[ωx+φ]）或f（x）=Acos（[ωx+φ]）的結構式，本質為公式逆用，化簡技巧為將兩個系數分別配湊為同一個角的正弦值和余弦值。

【追問1】可以借鑒上述方法求y=a sin x+b cos x的最大值嗎？

學生思考并歸納思路，將線性式子化簡為形如y=Asin（[ωx+φ]）的結構式即可求出最大值。學生對式子進行配湊，得到y=[a2+b2]（[aa2+b2]sin x+[ba2+b2]cos x）=[a2+b2]sin（x+[φ]），其中sin[φ]=[ba2+b2]，cos[φ]=[aa2+b2]，tan[φ]=[ba]。

【追問2】根據公式化簡①y=sin x+cos x，②y=sin x-cos x。

【追問3】[φ]為何取和-？取和可以嗎？

對于①式，教師引導學生分析tan[φ]=[ba]=1，[φ]=+[k]，[sinφ]=[ba2+b2]=[12]，[cosφ]=[aa2+b2]=[12]，角[φ]的終邊在第一象限；對于②式，[sinφ]=[ba2+b2]=-[12]，[cosφ]=[aa2+b2]=[12]，角[φ]的終邊在第四象限，得出結論[φ]的取值與點（a，b）同象限，特別當a＞0時，[φ]可以在（-，）取值。

【設計意圖】輔助角公式的推導與應用難點在于化簡思路的由來及[φ]的取值。通過探究方法的提前指引和化簡經驗的梳理，可以突破“思路難”的問題；結合特例設計追問深入探究[φ]的取值，從公式逆用的角度學生容易明白為何選取第一、第四象限角，通過問題鏈化解學生“行路難”問題。

4.環節四：得出探究結果

學生整理探究結果，教師展示我國數學家李善蘭對輔助角公式的推演過程。

【設計意圖】滲透數學史，展示我國的數學積淀與成就，提升文化自信。

5.環節五：形成探究反思

【主干問題4】能說說你是如何推導出輔助角公式的嗎？

學生自主回顧公式推導過程，提煉出特殊到一般的探究方法，積累探究經驗。

【追問】本節課我們基于兩角和與差的正弦公式逆用推導出了輔助角公式，你能用兩角和與差的余弦公式逆用來推導出另一種公式形式嗎？請大家課后完成。

【設計意圖】歸納總結出知識背后的隱性價值（探究方法、探究經驗等）是進行探究反思的重點之一，配以具體案例的回顧，學生再次回顧探究經歷，對探究過程和方法進行深入思考，從而積累探究經驗。本環節的追問為課堂留白，可以促進學生對本節課探究方法的持續思考，再次鞏固本節內容的大概念。

四、“微探究”活動教學建議

1.做真實、完整的探究活動

微探究活動需要學生儲備扎實的基礎知識和科學的探究方法。一開始學生是畏難的，要扭轉這樣的局面，關鍵在于探究活動的吸引力。這種吸引力是建立在探究問題的真實性和探究過程的完整性之上?！罢鎸崱币恢盖榫车恼鎸?，即創設展示知識發展的真實脈絡的情境；二指問題的真實，即在情境中提出符合學生真實思維水平的問題。學生要經歷探究活動的完整過程，在解決真實問題的過程中習得探究經驗和探究方法。完整的數學探究過程可以讓學生經歷遭受挫折、吸取經驗教訓、克服困難、尋找解決辦法等，從而收獲深刻的成就感與實踐體驗，體會到數學探究活動的樂趣所在，進而激發學生開展下一次探究的興趣和勇氣。

2.大概念引領，問題鏈驅動，促進探究過程有的放矢

大概念是數學探究活動設計及開展的“靈魂”，問題鏈為大概念的滲透和理解提供脈絡化探索路徑，為學生的數學探究引路。微探究活動的問題設計在“何種探究方法”“形成何種探究策略”等方面加強指導并給出明確提示，幫助學生梳理出科學探究方法等數學探究活動中的大概念?！爸鞲蓡栴}+追問”的問題鏈形式使探究主題明確，思維層次分明，從而驅動探究活動的自然進行。大概念引領、問題鏈驅動能使學生有序地進行探究活動，引發與大概念相關的持續性思考，逐步引領學生經歷大概念的建構過程，達成知識的深度理解，收獲探究經驗。

3.強化探究反思，提升探究素養

探究反思包括對探究問題、探究方法、探究過程及探究結果等內容的反思。探究者借助高階思維與批判性眼光對探究活動的各個要素與環節進行重新審視，運用逆向思維，經歷“結果—過程—方法—問題”的反思步驟，對問題的價值性、方法的科學性、過程的合理性、結果的準確性進行診斷和分析。學生能在反思的過程中積累微探究活動的經驗，提高探究數學問題的積極性，掌握科學探究方法，從而提升探究素養。

數學探究活動較之微探究更具廣泛性和系統性，而微探究活動可以為其提供探究經驗和方法，眾多的微探究可以匯聚整合成為數學探究活動的指導手冊，撬動數學探究活動的有效開展，助力數學探究活動在高中數學教學中常態化應用。

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部. 普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020：35.

［2］張定強，裴陽.“數學探究活動”的機制性分析［J］. 中學數學教學參考，2022（6）：15-18.

［3］劉徽.“大概念”視角下的單元整體教學構型：兼論素養導向的課堂變革［J］. 教育研究，2020（6）：64-77.

［4］黃暉明. 大概念引領下高中數學單元教學設計：以“數列求和”為例［J］. 教學月刊·中學版（教學參考），2023（6）：30-33.

［5］黃暉明. 數學問題鏈：讓課堂煥發思維活力：例析“兩個過程合理性”下的探究性問題鏈設計［J］. 中小學數學（高中版），2022（9）：39-42.

（責任編輯：潘安）

【作者簡介】吳國文，高級教師，廈門市骨干教師；黃暉明，一級教師，廈門市骨干教師。

【基金項目】中國教育學會2021年度教育科研一般規劃課題“深度學習下的高中數學原理課教學情境與問題創設的實踐探究”（202135020304B）