認知負荷理論下初中數學教材中勾股定理內容的比較研究
——以人教版、北師大版和青島版為例

濟南大學數學科學學院(250001) 李麗 尹麗子

濟南大學圖書館(250001) 于冰

1 教材比較研究綜述

近年來,伴隨著新一輪基礎教育改革與“雙減政策”的有效推進,減輕學生學習負擔,推進高素質教育已成為共識.而教材作為知識文化的重要載體,不僅是教師在實踐教育工作中的重要依據,更是學生學習的第一手資料,其編排的內容或形式都將直接或間接地影響學習者的認知過程.因此,如何合理安排教材內容是十分值得被探討和研究的問題.

自新課標頒布以來,國內義務教育階段數學教科書呈現“一標多本”的局面,目前在我國共推行12 套不同版本的初中數學教材,各有特色與優勢.不同教材之間的比較研究是非常有必要的,其成果也是非常豐富的.

從比較類型上看,教材比較大致分兩種情況:其一是不同國家和地區間的比較.例如,張曉東在文獻[1]中探究人教版與東京版初中數學教科書的異同點,并為教材的修訂與編寫提出精選豐富素材等建議.其二是同一國家不同版本的比較.例如,李欣姝在文獻[2]中研究發現人教A 版數學建模內容主要以融入其他主線的方式展開,而北師大版中則主要以專題形式呈現,并對兩版本教材在數學建模內容的編寫上提出建議.

從比較內容上看,教材比較主要涉及內容結構、例習題、數學史及數學文化等方面,同時也涉及圖形與幾何、概率與統計、函數等章節的比較.例如,計雙燕、劉云在文獻[3]中采用鮑建生綜合難度模型進行例習題難度的比較研究,發現滬教版例習題難度整體高于人教版.

勾股定理處于初中數學知識的交匯處和融合點,是初等幾何中重要的定理之一,同時也是中考試題中的高頻考點與重要解題工具.因此,許多學者也將其作為教材比較的切入點進行比較分析.例如,學者尹力在文獻[4]中聚焦習題比較,從習題數量等五個維度比較分析,并建議習題設計應適度淡化數值計算的訓練,保持習題層次性.盡管關于勾股定理內容的教材比較研究較為豐富,但多是從整合不同版本優勢的角度出發來提出教材編寫的建議,從減負視角進行教材比較研究者較少.尤其是在現行“雙減”政策的背景下,探究勾股定理教材內容的減負優化是十分有必要的.

不同版本教材中某一領域或內容的比較一直是中小學教師關注的重點,在本文我們從認知負荷理論視角比較不同版本教材勾股定理內容,并提出自己的一些見解,希望能為以后教材的建設提供一些建議.

2 認知負荷理論

在人腦的認知結構中,短時記憶對信息進行加工處理,形成認知圖式存儲在長時記憶中,方便以后信息的快速提取.澳大利亞新南威爾士大學的認知心理學家約翰·斯威勒(John Sweller)認為:在信息加工處理過程中,短時記憶的容量是有限的,并且多種待處理的信息元素以及元素之間的交互性使得本就容量有限的短時記憶在工作時一次只能處理兩到三條信息.他在此基礎上于1988 年首次提出“認知負荷理論(Cognitive Load Theory)[5]”.該理論認為,問題解決與學習過程等認知活動均需消耗認知資源,會產生一定的認知負荷.而當所需要消耗的認知資源超過了工作記憶的容量時,則會導致資源分配不足,從而降低學習或問題解決的效率.

認知負荷會受到多種因素的影響,根據其影響因素來源和是否有助于圖式建構,將認知負荷分為:(1)內在認知負荷,主要受學習內容本身復雜水平的影響;(2)外在認知負荷,主要受到學習材料的組織、呈現方式等的影響;(3)關聯認知負荷,這是學習者在充分利用認知資源促進圖式建構時產生的一種有效負荷,適當增加關聯認知負荷可促進學習者心理努力,從而降低總認知負荷.其中,三種認知負荷的相加構成了總的認知負荷.由此出發,為降低認知負荷提供了三種途徑:控制內在認知負荷、降低外在認知負荷和提高相關認知負荷.

在認知負荷理論提出之后,許多學者將研究的目光聚焦在如何降低認知負荷,提高工作記憶效率等方面,因此該理論也成為教育工作者研究的熱點之一.蔣榮清認為,學習者在數學認知過程中,過高或過低的認知負荷都會降低學習效率,并提出簡約化教學、加強自動化學習等教學策略[6].連四清、伍春蘭等人認為,在具有較高內在認知負荷的幾何領域,更要注意降低外在認知負荷,特別是做好文字和圖形的有效整合工作[7].目前,認知負荷理論主要應用于教學策略的優化,本文我們將該理論應用于教材中勾股定理等內容的建設,以期降低學生負荷,提高學習效率.

3 三個版本教材勾股定理內容的比較

本文選取全國大部分地區使用的“人教版”教材,北京、天津等地區使用的具有代表性的“北師大版”教材,以及青島、煙臺等山東省內部分地區使用的具有地方特色的“青島版”教材,在編排順序、內容篇幅、例習題等方面比較了勾股定理的教材內容,并基于認知負荷理論進行分析.

3.1 編排順序的比較

人教版中“勾股定理”內容位于八年級下冊,學習本節內容之前學生已經學習過全等三角形、軸對稱、二次根式等知識,初步掌握了幾何圖形的觀察和證明方法,學生學習起來會游刃有余.

在北師大版教材中,勾股定理一節內容則被安排在實數和二次根式內容之前,由于學生此前并未接觸過開方等基礎知識,因此在處理“求解斜邊長度是無理數的直角三角形”等問題時會比較棘手,同時也對教師教學能力以及學生的問題解決能力提出了新的要求,增加了師生的認知負荷.

青島版中“勾股定理”內容并未單列一章而是以分知識點的形式安排在八年級下冊“實數”章中的三小節,整章內容采用“實數”與“勾股定理”雙螺旋式的編排方式,將二者當作一個整體知識進行融合,數形結合的設計意圖明顯,但卻使本章內容知識點含量過大,導致綜合難度加大,給學生帶來較高的內在認知負荷,實踐起來不易達到理想效果.

由以上分析可知,人教版教科書在內容編排時更加強調知識之間的遷移,注重學生已有的經驗水平,也更符合大多數初中數學教師在實際教學中對教材的要求.

3.2 內容篇幅的比較

三個版本勾股定理內容都包含定理的探索、驗證、逆定理及其應用,符合2022 年版《義務教育數學課程標準》(以下簡稱《標準》)的規定[8].人教版該部分內容共計19 頁,其中探索勾股定理內容達8 頁之多,鋪墊過多,使原本簡明的定理復雜化,增添記憶負擔;北師大版該部分內容共計15 頁,將定理的應用列為單獨一節,重視學生問題解決能力的培養,并且十分關注情境創設,貼近生活實際,降低學生知識理解與應用的難度,更符合學生的認知水平;青島版因融合開方運算、實數等內容的需要,故將該部分內容整體精簡化,共計12 頁,但篇幅過小加之內容綜合性強,反而帶來較大的工作記憶負擔.

此外,除課程標準明確規定的內容之外,三大版本均設計閱讀材料模塊,拓展視野,挖掘數學歷史文化,增加關聯性認知負荷,有助于收獲更好的學習效果.

3.3 例習題的比較

當學習者面臨待處理的信息源越多時,其注意力被分散的可能性越大,甚至會對學習者的學習行為帶來抑制作用,產生認知負擔.因此不管是例題還是習題的設置,精而典型是教材編寫所努力的一個方向.本小節主要從教材例習題認知水平和難度兩個方面進行比較分析.

3.3.1 例習題認知水平的比較

本節采用國內學者顧泠沅構建的數學習題認知水平的四個層次[9]對三個版本教材勾股定理的例習題進行比較分析,其中這四個層次包括:計算操作水平、概念記憶水平、領會理解水平和分析探究水平.

首先,我們統計了三個版本教材四個層次的例習題的數量,如表1.

表1 三個版本教材例習題認知水平匯總表

由表1 可以看出,三個版本教材例習題總量相當;人教版教材在例習題上注重學生計算操作水平和概念記憶水平的培養;北師大版和青島版教材在例習題上注重學生認知水平四個層次的綜合培養,但北師大版教材在概念記憶水平、青島版教材在領會理解水平上有所偏倚.

然后,我們對三個版本教材例習題進行更深入分析.經研究發現北師大版教材的例習題設計種類均衡,考察全面,教材編寫例習題時進行了認知水平四個層次的分類,題目設置上按照認知水平逐次遞進,有效降低外在認知負荷,減輕了學生的工作記憶負擔,同時對學生綜合素質進行了培養.人教版注重學生基礎知識的培養,降低了外在認知負荷,但因在領會理解、分析探究等綜合類題目設置量不足,限制了學生高素質能力的提升.青島版教材更加注重培養學生的分析探究能力,但習題難度提升跨度過大反而給學生帶來較高的外在認知負荷,學生實踐起來負擔較重.

3.3.2 例習題難度的比較

我們統計了三個版本教材例習題的知識點含量,如表2.

表2 三個版本教材例習題知識點含量匯總表

由表2 可以看出,三個版本教材單個知識點例習題最多,兩到三個知識點居中,四個及以上知識點最少;跟其他版本相比,青島版教材單個知識點題目最少,多知識點的題目最多.

經過進一步比對發現,三個版本單個知識點例習題偏重于基礎知識的理解和應用,強化學生對基本定理的掌握,學生的認知過程比較輕松;兩個知識點或三個知識點的例習題主要是勾股定理和其他定理相結合,形成較為綜合的題目,要求學生多方位思考問題;多個知識點的題目,一般為綜合性或開放性較強的解答題,要求學生靈活運用所學知識.從題目知識點含有的數量來看,人教版最為均衡,逐步深入,認知負荷適中;北師大版過于注重代數計算類題目,缺乏對于綜合類題目考察,不利于培養學生的知識遷移能力,認知負荷太低;青島版因綜合類題目占比多,整體難度最大,給學生帶來更大的認知負荷.

4 建議

簡單的對比并不能揭示出一個特定內容的數學本質及其深層次關聯,關鍵是從中探索其概念化、結構化的特征[10].基于上述研究結論,結合認知負荷理論,對勾股定理部分內容的修訂與編寫提出自己的一些見解.

在編排順序方面,有以下兩點建議:(1)將勾股定理內容放在全等三角形、開方運算之后學習更符合學生認知發展水平;(2)在內容編排上,按照“勾股定理”、“勾股定理的逆定理”和“定理簡單應用”的順序依次展開,這樣既保留知識系統性的同時又讓學習過程更具連貫性,減少其他冗余信息對于注意力的干擾.

在內容篇幅方面,依據《標準》具體要求“探索勾股定理及其逆定理,并能運用它們解決一些簡單的實際問題”編寫教學內容.教材的設計應突出定理探索與驗證的過程以及實際應用,可適當增加閱讀材料,提高關聯性認知負荷.另外,重點內容采取精簡的設計編排方式,排除冗余信息,降低學生的外在認知負荷.

在例習題設置上,將題目進行分層設計,循序漸進,尊重學生認知規律,同時降低習題的無意義重復.適當增加考察概念應用與知識領會水平的題目,添加一些開放性或綜合性強的題目幫助學生提高思維水平,培養學生的數學建模意識和知識遷移能力.

5 總結

本文基于認知負荷理論從內容編排順序、篇幅及例習題三個方面對三個版本數學教材中“勾股定理”內容進行分析,并提出了該部分內容教材編寫的個人見解,以期為初中數學教材建設做出一點貢獻.