數學教學問題情境創設個案問診與重建*

揚州大學數學科學學院(225009) 王瑩 陳算榮

1 引言

數學問題情境是數學知識傳播的載體,也是學生從事數學教學活動的環境.《義務教育數學課程標準(2022 年版)》強調教師應幫助學生在探索真實問題情境所蘊含的關系中發現和提出問題,運用學科的知識與方法分析和解決問題[1].可見問題與情境是發展學生核心素養的重要載體,影響著學生的知識建構和思維發展.問題情境教學最早可追溯到古希臘蘇格拉底的問題教學法,后來也有許多教育家主張問題情境教學,如杜威提出問題情境教學模式:“設置問題情境—確定問題—擬定解決方案—執行計劃—總結與評價”[2].創設合理的問題情境能夠激發學生的學習動機,使學生快速進入學習狀態,形成高度集中的注意力,有助于教學目標的實現[3].目前,許多中學數學教師致力于問題情境教學的探索,嘗試把學生感興趣的和可以主動探究的學習內容融入到情境創設的相關環節中,為數學教學營造更加輕松愉悅、具有活力的課堂氛圍.然而,在教學實踐中,發現問題情境創設存在不少問題,下面將借助案例診斷分析的方式闡明問題情境創設的問題所在以及如何改進,以期給一線教師提供教學參考.

2 問題情境創設個案問診與重建

2.1 問題情境脫離實際背景

荷蘭數學教育家弗萊登塔爾認為:“數學來源于現實,必須扎根于現實,并且應用于現實”.與生活實際緊密聯系的情境可以較好地激發學生的學習興趣和熱情[4].反之,無實際背景的問題情境則比較枯燥乏味,由于缺乏實際意義,學生無法從中獲得積極的情感體驗.

案例如在“二分法求方程近似解”的課堂上,某位教師創設如下情境:問題1:你會求方程lgx=3-x的根嗎? 問題2:請根據已學的零點定理求出上述方程根的大致范圍;問題3:通過閱讀教材,你能否進一步縮小零點所在的范圍?

分析“問題1”學生能夠發現無法利用已有的解方程知識求解,“問題2”教師提出運用零點定理找到根的大致區間,在教師的明示下學生大多能達成要求,但是“問題3”中二分法的引入方式過于直接,采用了強加的方式讓學生采用書中介紹的“二分法”,這樣的新知導入無法讓學生產生積極的學習體驗.應設置具體的實際情境,使學生體驗和感悟該方法在實際問題解決中的意義.

重建情境1:某商場舉辦有獎競猜活動:商家給出洗衣機的價格區間(200-1000 元),在三次內猜中價格的人可獲得獎品.某獲獎顧客首次猜測600 元,商家回應“高了”,接著猜測400 元,商家回應“低了”,最后猜測500 元,答對并獲得了獎品.該顧客是采取怎樣的方式實現目的的?

情境2:“觀看實驗(視頻):60 枚金幣中有一枚假幣,質量較輕,只有一個無砝碼的天平,如何用天平測量出假幣? 測量方法:①將金幣平均分成兩份放在天平的兩端,每份30枚,假幣會在天平較高的那一端;②再把這30 枚金幣平均分成兩份,每份15 枚,放在天平兩端,假幣仍會在天平較高的那一端;③照此方法不斷重復,假幣就能找到,你能解釋這個方法的原理嗎? 兩個情境中的方法有何共同點?

問題3:用我們現在所學的解方程知識,無法求出lgx=3-x的根,你能用已有知識獲得其根所在的區間嗎? 當我們知道根所在區間,能否借鑒上面案例中的方法獲得根的近似值呢?

設計意圖通過這兩個情境,讓學生從生活問題的解決中獲得二分法,并感受其應用價值.接著再給出“問題3”,學生在已學零點定理的基礎上能夠求出方程lgx=3-x的根所在區間(1,3),借鑒前面兩個情境中的解決方法,利用二分法去縮小根的區間就水到渠成.

2.2 問題情境與新知學習關聯牽強

激發學生的學習興趣是問題情境設計和選擇的策略和目標[5].而許多問題情境沒有激起學生對新知的渴望,學生學習的動機不強烈.

案例如在“弧度制”的課堂上,某教師創設如下情境:中國上海到日本長崎大約850 公里,兩國之間隔著東海,也可以說中國到日本長崎大約460 海里(1 海里=1.852 公里).所采用的度量制不同,一個是公里制,一個是海里制.我們已經學習了角度制,思考是否還有其他關于角的度量制度呢?

分析《普通高中數學課程標準(2017 版)》在教學與評價案例部分明確要求讓學生體會引入弧度制的必要性:弧度制的本質是用線段長度度量角的大小,從函數定義的要求上,只有統一了三角函數自變量和函數值的單位,之后才能進行基本初等函數的運算,從而使三角函數具有更廣泛的應用性.用海里、公里這兩種不同的距離度量制來類比到角的度量制度上,學生會納悶:距離有多種度量制,角度就必須得有不同的度量制嗎? 這樣的情境引入實際上沒有體現引入弧度制的必要性.

重建觀察下列算式,它們在計算上有何差別? (1)75.12+22.51=;(2)369.23-26.45=;(3)75°12′+22°51′=;(4)359°23′-26°45′=;同桌一人計算(1)、(2)兩小題,另一人計算(3)、(4)兩小題,比一比,誰完成得快,準確率高?

設計意圖由于角度采用六十進制,與實數的和差運算相比學生體驗到要麻煩些,且容易出錯.在這樣的體驗下,教師順勢引導:刻畫角度的大小能否采用十進制的實數呢? 如果能,角度這個量在生產生活中的應用是不是更加方便? 這樣的設問會激發學生的極大熱情,增強學生的學習動機.

2.3 問題情境中的問題表述過于抽象

實際課堂中常常存在這樣的現象:教師創設的問題情境過于抽象,難度較大.

案例如在“導數的概念”課堂上,設置如下問題情境:“某跳水運動員的運動軌跡為:H(t)=-4.9t2+6.5t+10,問:(1)求t0時刻的瞬時速度;(2)求(t0,t0+Δt)的平均速度;(3)什么情況下瞬時速度等于平均速度? ”

分析該情境中的幾個問題比較抽象,學生理解比較困難.對于難度較大且較為復雜的數學問題,應該考慮為之設置更具層次性的問題情境[6].

重建情境1:在一起汽車肇事案中,車輛經過事發路口時,警方測得該車車速達195.2km/h.交警是怎么鑒定這個速度的? 從一份鑒定報告書中,監控視頻的兩次抓拍過程中,汽車移動的距離是3.615m,時間間隔為通過計算,發現交警鑒定的速度是用位移除以時間.問:交警的這種用平均速度來計算瞬時速度的方法合理嗎?

情境2:跳水運動員從10m 跳臺騰空到入水的過程中,不同時刻的速度是不同的.假設ts 后運動員相對于水面的高度為H(t)=-4.9t2+6.5t+10,試求:(1)t在[2,2.1]內的平均速度;(2)t在[2,2.01]內的平均速度;(3)t在[2,2.001]內的平均速度;(4)有何發現?

設計意圖通過“交警用平均速度來計算瞬時速度”的實際案例讓學生先思考其合理性,再利用“跳水運動員”案例引導學生通過計算來檢驗自己的想法,這樣創設的問題情境具有層次性,由淺入深地提出問題,促進學生思考,學生能夠自主發現當Δt→0 時,平均速度→瞬時速度,達成教學目標的同時,提升學生對知識的理解與掌握.

2.4 問題情境脫離學生的“最近發展區”

“最近發展區”是指學生已達到的知識水平和將要達到的知識水平之間所形成的最小差異區域.從新舊知識聯系的角度設計問題情境,有利于學生知識的結構化與系統化,新舊知識過渡自然合理[7].而實際教學中許多問題情境的創設忽視學生已有經驗知識基礎.

案例如在高中“函數的概念”課堂上,某教師創設如下情境:問題1:下表是1950-1959 年我國的人口(單位:萬人)的數據資料,年份y與人數x之間的關系.

表1 人口統計

問題2:如圖是某市2019 年某天自零點至24 點氣溫變化情況,溫度與時間點的關系

圖1 氣溫變化

問題3:某趟高鐵列車以350km/h 的時速勻速行駛,行駛的路程y(單位:千米)與其行駛時間x(單位:小時)之間的關系.

分析教師想通過列舉幾個例子來直接引入函數的概念,學生存在疑惑:這與初中學習的一次函數、二次函數以及反比例函數有何區別? 如此設計不利于學生系統地掌握函數知識.應基于學生的已有水平與能力,創設一系列問題或活動來激起學生的已有認知,為新知的學習以及問題的解決作鋪墊.

重建情境1:某列車加速到350km/h 后保持勻速運行半小時.這段時間內,列車行進的路程S(單位:km)與運行時間t(單位:h)的關系可以表示為S=350t;(1)請將自變量t和因變量S的取值范圍分別用集合A和B表示出來;(2)對于集合A中的每一個t,在集合B中是否有唯一的S值與之對應?

情境2:某公司要求員工每周工作至少1 天,至多6 天.工資標準是每人每天350 元,且每周付一次工資.(1)該怎樣確定一個員工每周的工資? 一個人的工資w(單位:元)是他的工作天數d的函數嗎? (2)請將自變量d和因變量w的取值范圍分別用集合A和B表示出來.對于集合A中的每一個d,在集合B中是否有唯一的w值與之對應?

問題3:情境1 和情境2 中的函數對應關系相同,它們是同一個函數嗎? 為什么?

設計意圖“情境1”與“情境2”涉及學生已經學過的熟悉的一次函數,可以幫助學生回顧初中所學的“變量說”;再利用情境中的小問引導學生從已學的集合角度重新解讀函數的概念,為之后講解函數概念的“對應說”做準備;“問題3”引導學生意識到解析式和自變量的取值范圍都是確定函數的要素.如此設計更有利于學生系統地掌握函數知識.

3 小結

問題導致學生產生認知障礙,而情境激發了學生的認知需求,因此在教學中創設問題情境能夠幫助學生產生解決問題的動機,促進學生積極主動地從事問題解決活動.在創設問題情境時,所選的現實生活情境的素材必須有利于學生用數學眼光觀察世界、用數學思維思考世界、用數學語言表達世界;在創設問題情境時,要緊密聯系數學知識的核心內涵,引導學生了解知識是如何產生的,是用來解決什么問題的,讓學生真正體會學習該知識的必要性;在創設數學問題情境時,要注意問題間的邏輯層次,讓學生在數學學習中真正感受到數學的嚴謹性.新課標背景下的高中數學情境創設,要求教師立足實際學情,創設符合當前階段學生身心發展規律的情境.最后,希望教師能夠創設滿足上述條件的問題情境,使學生獲得源源不斷的學習動力,不斷提升數學綜合能力.