考慮波形腹板剪切的端部固支組合梁撓度分析

王啟飛 劉應該 王志宇 向思杰 彭志強 曾維唯

摘要：波形鋼腹板組合梁因其優良性能得到廣泛應用，其撓度問題是研究的重點之一，近年來我國對波形鋼腹板組合梁撓度計算方法的研究雖有長足的進步，但多集中于靜定結構，并且端部固支的超靜定結構體系在橋梁工程中應用廣泛。為了探討不同支承下波形鋼腹板組合梁滑移附加撓度變化的規律，并為波形鋼腹板組合梁的后續研究提供理論基礎和參考，在足夠剛度的前提下將端部固支波形鋼腹板梁簡化為兩端固支和一端固支一端活動鉸支的端部約束條件，推導了其考慮滑移和腹板剪切變形影響時的跨中撓度計算公式，找到適用于實際橋型的撓度計算方法;基于試驗梁和有限元模型對本文公式進行了驗證，結果表明：端部固支波形鋼腹板組合梁的滑移附加撓度占比隨剪切剛度的變化趨勢顯著區別于一端固定鉸支一端活動鉸支的拋物線型而呈線性變化;不對稱約束放大了波形鋼腹板組合梁腹板的剪切變形和滑移效應。

關鍵詞：波形鋼腹板組合梁；界面滑移效應；剪切變形；撓度

中圖分類號：U448.21文獻標志碼：A文獻標識碼

Analysis on the deflection of fixed composite beam with corrugated steel webs considering the effect of shear deformation

WANG? Qifei1，LIU? Yinggai2，WANG? Zhiyu1*，XIANG? Sijie3，PENG? Zhiqiang2，ZENG? Weiwei2

（1 Department of Civil Engineering，College of Architecture and Environment，Sichuan University，Chengdu，Sichuan 610065，China;

2 CREGC Architectural & Construction Engineering Co.Ltd.，Chengdu，Sichuan 610031，China;

3 State Key Laboratory of Mountain Bridge and Tunnel Engineering Co-built by Provincial and Ministry，Chongqing Jiaotong

University，Chongqing 400074，China）

Abstract： Composite beam with corrugated steel webs are widely used because of their excellent properties.Although the research on deflection calculation of composite beam with corrugated steel webs which is one of the focuses of its research in China has made great progress in recent years，but only statically determinate structures are considered，and the widely use of statically indeterminate structures with fixed ends in bridge engineering.In order to discuss the deflection of fixed composite beam with corrugated steel webs and provide theoretical basis and guidance for follow-up study，this paper assumes that joint stiffness is large enough，the composite beam with corrugated steel webs will be simplified as two fixed ends or one end fixed and the other hinged，considering the influence of slip and web shear deformation，the corresponding formula of midspan deflection is derived.It is hoped that the deflection calculation method suitable for the actual bridge type will be found step by step.Based on test beam and finite element model，the formula in this paper is verified.The results show that：the proportion of additional slip deflection of composite beams with corrugated steel webs fixed at the ends varies linearly with shear stiffness，which is significantly different from that of parabolic pattern of beams with simply supported ends.The asymmetrical support magnifies the shear deformation and slip effect of composite beams with corrugated steel webs.

Key words： composite beam with corrugated steel webs;interface slip effect;shear deformation;deflection

采用波形鋼腹板取代平腹板的波形鋼腹板組合梁具有降低自重、提高預應力施加效率、避免腹板開裂等優點，近年在國內外發展迅速［1-2］。腹板厚度及形狀的變化同時帶來了褶皺效應［3］，致使抗剪剛度明顯降低，腹板的剪切變形相較于普通組合梁不可忽略。上部結構在行車荷載下產生的下撓是不可避免的，過大的撓度不僅影響正常行車，還會令混凝土結構開裂，降低截面承載力，帶來安全隱患。

國內外學者對波形鋼腹板組合梁橋的變形進行了大量的試驗和理論研究，其中：李宏江等［4］以Timoshenko理論為基礎，推導出集中力下簡支梁跨中撓度的計算公式，依托試驗和有限元模型證明了考慮腹板剪切變形的必要性;賀君等［5］根據腹板轉角、頂底板轉角與撓度關系得到了對稱荷載下簡支梁的跨中撓度計算方法及其適用范圍，其后續的研究［6］表明設置內襯混凝土對撓度的影響較小;聶建國等［7］將波形鋼腹板梁的變形分解為桁架作用和彎曲作用，建立了考慮腹板剪切變形的理論模型，并按結果等效的原理提出了簡支梁和懸臂梁撓度計算的有效剛度法［8］;葉華文等［9］對波形鋼腹板梁的撓曲線進行擬合，基于最小勢能原理提出了簡支梁和懸臂梁跨中撓度的三角級數解，并給出了考慮剪切變形的高跨比界限;陳夏春等［10］提出了波形鋼腹板梁的“夾層梁理論模型”，之后以撓度為自變量推導了Timoshenko理論下考慮耦合作用的控制微分方程［11］;馮建祥等［12］將變形分解為主彎曲和次彎曲，以腹板額外剪切變形來代替滑移，推導了考慮波形鋼腹板剪切變形及界面滑移的彈性彎曲微分方程，得出“橫隔板對梁體變形影響很小”的結論;Zhang等［13］結合zig-zag變形假設［14］，利用變分原理得到了控制方程和特定邊界條件下的撓度函數。然而，這些文獻中的簡化公式都僅考慮了簡支和懸臂兩種邊界條件，其他端部約束下只給出了統一的控制方程，未言明求解所需的邊界條件和具體參數，因此存在難以推廣到實際工程的問題。

我國CECS 291—2011《波紋腹板鋼結構技術規程》針對房建工程給出了波形鋼腹板梁在兩端固支約束下的撓度計算公式，DB14/T 1552—2017《公路波形鋼腹板組合箱梁橋設計規范》則要求“波形鋼腹板預應力混凝土箱梁的變形驗算按JTG D62—2004中的6.5條規定進行”并采用沿腹板波形進行積分運算的方法計入腹板的剪切變形?？梢?，現有規范雖對腹板剪切變形進行了考慮，但分別由于針對性和不便于準確計算最大撓度值而限制了其應用。在工程實踐中，梁端常采用的邊界條件有鉸接、固定和自由［13］，因此有必要在對靜定波形鋼腹板組合梁撓度研究較充分的現狀下，填補端部固支的超靜定波形鋼腹板組合梁撓度問題研究上的欠缺，為新一輪規范修訂提供參考。本文以變形協調為基礎，在考慮剪切變形及滑移影響的前提下推導了跨中集中力下兩端固支及一端固支一端活動鉸支的波形鋼腹板組合梁跨中撓度計算公式，再通過靜載受彎試驗研究不同邊界條件下的彎曲行為，并利用有限元進行參數分析。

1 波形鋼腹板梁撓度的理論分析

1.1 計算假定

（1）梁體豎向不可壓縮，頂底板和波形腹板均為理想線彈性材料，各隔離體的曲率相等［7］。

（2）忽略頂底板的剪切變形，忽略腹板彎曲變形而考慮其剪切變形［8］。

（3）界面剪應力與滑移呈線性關系［12］。

（4）僅考慮荷載平面內的變形和支座約束情況。

1.2 波形鋼腹板梁撓度表達式

波形鋼腹板組合梁中混凝土頂底板和波形鋼腹板由剪力連接件組合在一起共同工作。不考慮滑移效應時，撓度主要由頂底板彎曲變形和腹板剪切變形2項組成。組合梁參數、微段受力模式及變形如圖1所示，其中：Nu和NL分別為頂板和底板軸力;hu和hL分別為頂板和底板自身與全截面的形心距;Mu和ML分別為頂板和底板彎矩;Φ為頂底板轉角;ω為組合梁撓度;Vu、Vw和VL分別為頂板、腹板和底板剪力;hw、tw分別為腹板高度和厚度;huL=hu+hL;γw為腹板的剪切變形;aw為波形腹板的直板段長度、bw為斜板段水平投影長度、cw為斜板段長度。

對文獻［8］依據軸力與腹板剪力的關系得到以撓度ω和頂底板轉角Φ為變量的控制方程，在對控制方程推演后可得到撓度ω（x）和頂底板轉角Φ（x）解的表達式：

ω（x）=BgCα-1α3［C1cosh（αx）+C2sinh（αx）］-12C3x2-C4x+C5+Cv，（1）

Φ（x）=C1sinh（αx）α2+C2cosh（αx）α2+C3x+C4+V（x）（Bg+Bf）dxdx，（2）

以上公式中C=GefftwhuL，其中Geff為腹板等效剪切模量，由波形腹板的剪切模量Gs按公式Geff=Gs（aw+bw）/（aw+cw）計算;α=（C（Bg+Bf）/BgBf）0.5;Bg=EcAuhu2+EcALhL2;Ec為混凝土彈性模量;Au和AL分別為頂板和底板面積;Bf=EcIu+EcIL;Iu和IL分別為頂板和底板對自身的慣性矩;P為跨中集中荷載;L為組合梁的計算跨度;C1到C5為未知系數，由不同約束所對應的邊界條件求解;Cv為控制方程的特解，與不同約束條件下的剪力分布有關。

本文涉及的與約束有關的梁端支座類型參照文獻［15］共有以下3種：

（1） 固定鉸支：約束梁沿軸向和豎向位移的結構部位。

（2） 活動鉸支：約束梁沿豎向位移的結構部位。

（3） 固支：約束梁沿軸向和豎向位移及荷載平面內轉動的結構部位。

1.3 波形鋼腹板梁撓度解

1.3.1 一端固定鉸支一端活動鉸支

針對一端固定鉸支一端活動鉸支的端部約束條件，文獻［8］給出了該條件下波形鋼腹板梁承受跨中集中荷載時跨中撓度計算公式。

1.3.2 兩端固支波形鋼腹板梁撓度解

針對兩端固支的端部約束條件，波形鋼腹板梁承受跨中集中荷載時，梁的剪力分布和邊界條件為：

V（x）=P2，0≤x

-P2，L2≤x

ω（0）=0;（L2）=0;M（0）=-PL8

ω′（0）=0;（0）=0;M（L2）=PL8，（4）

按截面剪力分布（3）和邊界條件式（4），結合表達式（1）和（2）可求得：

C1=［P（1-cosh（αL/2））］/［2（Bg+Bf）sinh（αL/2）;

C2=P/［2（Bg+Bf）］;

C3=PL/［8（Bg+Bf）］;

C4=-P/［2α2（Bg+Bf）］;

C5=［P（1-α2Bg）（1-cosh（αL/2））］/［2α3（Bg+Bf）sinh（αL/2）］;

Cv=Px3/［12（Bg+Bf）］-BgPx/［2C（Bg+Bf）］。

將以上系數代入式（1）便得到兩端固支波形鋼腹板梁在集中荷載下跨中撓度：

wL2=PL3192（Bg+Bf）+PL（Bgα2-C）4Cα2（Bg+Bf）+P（C-Bgα2）coshαL2-1（Bg+Bf）Cα3sinhαL2。（5）

1.3.3 一端固支一端活動鉸支波形鋼腹板梁撓度解

針對一端固支一端活動鉸支的端部約束條件，其約束能力居于前兩種之間，且具有不對稱性，令跨中頂底板轉角為θ，梁的剪力分布和邊界條件可表示為：

V（x）=11P16，0≤x

-5P16，L2≤x

ω（0）=0;L2=θ;M（0）=-3PL16

ω′（0）=0;（0）=0;ML2=5PL32，（7）

重復1.4節的步驟，得該邊界條件各系數如下所示：C1=［α（θ+PL2/128（Bg+Bf））+C2（1-cosh（αL/2））］/sinh（αL/2）;C2=11P/［16（Bg+Bf）］;C3=3PL/［16（Bg+Bf）］;C4=-11P/［16α2（Bg+Bf）］;C5=C1［（1-α2Bg）/α3（Bg+Bf）］;Cv=11Px3/［96（Bg+Bf）］-11BgPx/［16C（Bg+Bf）］。由于ɑ［θ+PL2/128（Bg+Bf）］遠小于sinh（ɑL/2），簡化后將各系數代入式（1）可得一端固支一端活動鉸支波形鋼腹板梁在集中荷載下跨中撓度：

wL2=7PL3768（Bg+Bf）+11PL（Bgα2-C）32Cα2（Bg+Bf）+11P（C-Bgα2）coshαL2-116（Bg+Bf）Cα3sinhαL2。（8）

由式（5）、（8）可知：不考慮滑移效應時，不同端部約束下的波形鋼腹板組合梁跨中撓度表達式均由3項組成，第1項為頂底板彎曲變形，其系數與Euler理論相同，第2項為波形腹板剪切變形，相同荷載下兩端固支和一端固定鉸支一端活動鉸支梁的數值相等，與CECS 291—2011《波紋腹板鋼結構技術規程》相吻合;第3項為頂底板與腹板變形的耦合作用，對撓度的貢獻為負值。

1.4 考慮滑移效應的波形鋼腹板梁撓度

本文基于文獻［12］中滑移與腹板剪應變的關系研究滑移效應對撓度的影響，腹板受力情況及剪切變形如圖2所示，其中Su和SL分別為上滑移面和下滑移面的滑移，бu和бL分別為腹板上界面和下界面正應力，qu和qL分別為上界面和下界面剪力流。文獻［12］令腹板的剪應力由剪力件連續化后的上滑移面剪力流qu和下滑移面剪力流qL的表達形式與腹板剪切變形表達式形式一致得到折減系數Ks。

Ks取值在0～1之間，Ks越大，連接剛度越強。在得到折減系數Ks后，只需將式（5）、（8）中的腹板折減剛度C替換為KsC便可得到對應條件下考慮滑移效應的跨中撓度表達式。

1.5 規范公式

CECS 291—2011《波紋腹板鋼結構技術規程》將撓度分為兩部分-翼緣板彎曲變形（認為翼緣承擔全部彎矩），以及波形鋼腹板剪切變形（認為腹板承擔全部剪力），給出了一端固定鉸支一端活動鉸支和兩端固支波形鋼腹板梁在集中力下不考慮滑移效應的跨中撓度計算公式。

2 波形鋼腹板組合梁三點彎曲試驗

2.1 試件尺寸與參數

為研究波形鋼腹板組合梁在不同邊界條件下的彎曲性能，對1根波形鋼腹板組合梁試件進行三點彎曲試驗。試驗梁全長1 765mm，計算跨度1 735mm，試件幾何尺寸如圖3所示?；炷另?、底板內部各配有4根直徑6mm的螺紋鋼筋，支座和跨中部位設置混凝土墩臺以防止腹板屈曲，各材料力學性能如表1所示。

2.2 試驗加載與量測

試驗采用Servotest多功能伺服動靜力加載試驗系統在跨中施加集中荷載，加載過程采用力控制，荷載分級為2 kN，加載速率為0.4 kN/min，在達到20 kN后以相同方式卸載。試件兩端分別采用輥軸和固定鉸支座來模擬一端固定鉸支一端活動鉸支梁，采用夾支支座來模擬兩端固支梁，試驗梁布置如圖4所示。試驗中采用恒量帶鉆千分表測量跨中下方的位移，千分表布置見圖5，量測結果由JM3812系統采集。

2.3 試驗結果與分析

采用CECS 291—2011《波紋腹板鋼結構技術規程》中公式（簡稱為規范公式）和本文1.3～1.5節公式（簡稱為本文公式）計算試驗梁在不同端部約束下的撓度，對比試驗結果和驗證本文公式的計算精度和實用性。計算時不計波形鋼腹板翼緣抗彎能力并考慮波形腹板0.5mm的銹蝕厚度，由計算結果（表2）可見：一端固定鉸支一端活動鉸支的端部約束下，規范公式和本文公式理論解與試驗結果的誤差相近，均在10%以內;兩端固支的端部約束下，本文公式與實驗值的吻合度優于規范公式。其原因分析如下：試驗梁的剪力連接剛度較小，由此引起的一端固定鉸支一端活動鉸支的端部約束下較大的滑移附加撓度對規范公式中簡化的計算條件進行了補償，而固支下相對較小的滑移附加撓度令規范公式的精確度進一步下降。

綜上所述，在計算采用剪力件連接的波形鋼腹板組合梁的撓度時，若忽略界面滑移效應的影響而直接按規范公式計算會產生較大的誤差，相對于規范公式而言，本文公式更適用于考慮界面滑移效應時波形鋼腹板組合梁撓度的計算。

3 有限元分析

3.1 有限元模型建立

為驗證本文得出的撓度計算公式，采用Midas FEA NX軟件進行有限元分析，按表1材料參數建立的波形鋼腹板組合梁有限元模型如圖6所示，鋼材與混凝土均為三維實體單元，以自動網格方式進行網格劃分，單元整體網格尺寸為30mm。在試驗荷載下材料始終處于線彈性狀態，故有限元模型分析的類型選用“線性靜力分析”，且通過一次分析就能求得撓度結果。

3.2 邊界條件模擬

根據試驗梁邊界條件類型，對圖6模型的對應位置施加表3中的約束，其中ux、uy和uz分別對應沿x、y和z軸的位移，θx、θy和θz為繞相應軸的轉角。

3.3 滑移效應模擬

模型分為考慮滑移效應和不考慮滑移效應2種工況。不考慮滑移效應時，鋼腹板與混凝土“面面接觸”部分定義為完全剛性的共節點連接，考慮滑移效應時，對腹板及頂底板剪力件對應位置采用“點印刻”功能布置接觸點位，網格劃分后以彈性連接對剪力件進行模擬。計算模型中只考慮剪力件的剪切變形，并忽略頂底板與腹板之間的掀起，故取彈性連接x方向剛度為剪力連接件剛度ku（kL），其余方向均按剛接處理。與不考慮滑移效應的模型相比，考慮滑移效應時鋼腹板與混凝土僅在剪力件對應節點處設置彈簧單元，“面面接觸”的其他部位不設連接。

3.4 有限元模型驗證

對文獻［4］和本文中模型試驗梁的結果進行對比，驗證所建立的波形鋼腹板組合梁有限元模型的準確性。試驗對象分別是一端固定鉸支一端活動鉸支和兩端固支的端部約束下的波形鋼腹板組合梁，對組合梁跨中單點加載下的撓度研究。按上述方案建立有限元分析模型，提取梁在20 kN集中荷載下的跨中撓度，結果（表4）顯示有限元結果與試驗結果吻合良好，表明本文建立有限元模型的方法準確、有效。

3.5 參數分析

為研究采用本文公式計算波形鋼腹板組合梁撓度的可行性，并給出高跨比對規范公式和本文公式精度的影響，在截面高度不變下，跨度分別取1 150、1 725、2 300、2 875、3 450、4 025、4 600mm，P=20 kN。根據幾何尺寸建立有限元模型，端部約束類型按一端固定鉸支一端活動鉸支、兩端固支和一端固支一端活動鉸支考慮，按規范公式、本文公式及有限元法得到的不同跨高比下不考慮滑移效應（Ks=1）和考慮滑移效應（Ks=0.7）下的撓度見表5。

由表5可知：

（1）不考慮滑移效應時，規范公式的理論值與有限元值的誤差隨跨高比的增大而逐漸減小，在L/H=20時，規范公式的理論值與有限元結果的誤差在一端固定鉸支一端活動鉸支時為7%，兩端固支時為11%。本文公式的理論值與有限元值的誤差始終在10%以內，其中：在一端固定鉸支一端活動鉸支的端部約束下，本文公式的理論值與有限元值的誤差隨跨高比的增加而逐漸增加，最終穩定在4%左右;在兩端固支的端部約束下，本文公式的理論值與有限元值的誤差隨跨高比的增大呈先增大后減小的趨勢，在L/H=7.5時誤差取得最大值5%;在一端固支一端活動鉸支的端部約束下，本文公式的理論值與有限元值的誤差隨跨高比的增大呈先增大后減小之后再增大的趨勢，在L/H=10時誤差取得最大值10%。

（2）以系數Ks對腹板剛度C進行折減來考慮滑移效應時，3種端部約束下的滑移附加撓度都隨跨高比的增加而增加，且跨高比每增加2.5，一端固定鉸支一端活動鉸支和兩端固支端部約束下的滑移附加撓度增加0.05mm左右，一端固支一端活動鉸支端部約束下的滑移附加撓度增加0.08mm左右。

在一端固定鉸支一端活動鉸支的端部約束下，總撓度的理論值與有限元值的誤差隨跨高比的增大呈先減小后增大的趨勢，在L/H=5時總撓度的誤差取得最大值5%，滑移附加撓度的理論值與有限元值的誤差隨跨高比的增大呈先增大后減小的趨勢，在L/H=10時滑移附加撓度的誤差取得最大值0.085mm。

在兩端固支的端部約束下，總撓度的理論值與有限元值的誤差在L/H=5時取得最大值8%，之后隨跨高比的增加均保持在2%左右，滑移附加撓度的理論值與有限元值的誤差在L/H=15時取得最大值0.041mm，其他跨高比下均保持在0.02mm左右。

在一端固支一端活動鉸支的端部約束下，總撓度的理論值與有限元值的誤差隨跨高比的增大呈先減小后增大的趨勢，在L/H=5時誤差取得最大值8%，滑移附加撓度的理論值與有限元值的誤差在5＜L/H＜10和10＜L/H＜20時均隨跨高比的增大逐漸增大，并在L/H=20時誤差取得最大值0.099mm。

按本文公式計算得到不同Ks取值下滑移附加撓度占總撓度的比例，由結果（圖7）可知：3種端部約束下的滑移附加撓度占總撓度的比例都隨Ks的增大而減小，滑移附加撓度占比由大到小為一端固支一端活動鉸支、兩端固支和一端固定鉸支一端活動鉸支。兩端固支和一端固支一端活動鉸支端部約束下的滑移附加撓度隨Ks的變化基本一致，且滑移附加撓度所占比例均大于一端固定鉸支一端活動鉸支;兩端固支和一端固支一端活動鉸支端部約束下的滑移附加撓度在Ks＞0.8時占總撓度比值大于10%，一端固定鉸支一端活動鉸支端部約束下的滑移附加撓度占總撓度比值在Ks＞0.7時大于10%。

4 結論

為建立考慮界面滑移效應的超靜定波形鋼腹板組合梁撓度實用計算方法，首先在CECS 291—2011《波紋腹板鋼結構技術規程》的基礎上考慮截面剪力分配，通過推導得出了兩端固支和一端固支一端活動鉸支的端部約束下波形鋼腹板組合梁跨中撓度計算公式（5）和（8），之后由系數Ks對腹板剛度C進行折減來考慮滑移效應的影響，再通過試驗和有限元方法對比論證了計算公式有效性和準確性，得到以下主要結論：

（1）具有固支端部約束的不對稱支座布置放大了波形鋼腹板組合梁腹板的剪切變形和滑移效應，一端固支一端活動鉸支端部約束下的波形鋼腹板組合梁由腹板剪切變形引起的跨中附加撓度值為兩端固支和一端固定鉸支一端活動鉸支端部約束下的1.3倍左右;隨跨高比的增加，兩端固支與一端固定鉸支一端活動鉸支端部約束下組合梁跨中滑移附加撓度增量基本相同，約為一端固支一端活動鉸支端部約束下的跨中滑移附加撓度增量的60%。

（2）隨界面剪切剛度的減弱，端部固支波形鋼腹板組合梁的滑移附加撓度占比偏線性增加，而一端固定鉸支一端活動鉸支波形鋼腹板組合梁的滑移附加撓度占比基本呈拋物線型增加;支座由“一端固支一端活動鉸支”到“兩端固支”的變化對減小滑移附加撓度占比提升不大。

（3）具有固支端部約束且采用不對稱支座的大跨度波形鋼腹板組合梁，可通過考慮增加剪切連接剛度以達到與對稱時一致的抗滑移性能和抗彎性能。

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（責任編輯：編輯張忠）