整體分析教材，體會運算一致
——人教版教材四年級下冊“小數的加法和減法”單元整體設計與實踐

葉 蓓

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》在第二學段“數與代數”領域的教學提示中指出，要將小數的加減運算與整數的加減運算進行比較，引導學生初步了解運算的一致性。小數加減法與整數加減法之間存在緊密的聯系，既有一致的核心概念（相同的計數單位相加減），又有各自獨特的計算特征（數位對齊及小數點對齊）。

一、整體分析，把握運算一致性

整體分析人教版教材四年級下冊“小數的加法和減法”單元，發現教材在本單元編排了小數加減法、小數加減混合運算和整數加法運算律推廣到小數三個課時內容。單元學習內容既建立在整數加減法學習的基礎上，又體現了小數加減法的內在發展順序。

（一）整體視角，確定單元核心概念

1.教材梳理，厘清編排序列

基于知識的前后序列整體分析教材內容。學生在本單元之前已經學習了整數加減法的計算、一位小數的加減法計算、整數的四則混合運算以及相關運算律等內容，這些都是學生順利進行本單元學習的已有經驗。同時，本單元的學習內容也是學生后續學習小數乘除法和小數四則混合運算等知識的重要基礎。

2.主題分析，提取核心概念

立足數的運算主題視角分析相關核心概念。數的認識和運算是一個統一整體，數認識的核心概念是“計數單位”，數運算的核心概念則是“相同計數單位的累加和遞減”。因此，在教學本單元內容時，要讓學生進一步理解計數單位，逐漸感受到不同數的運算都存在著算理、算法和運算律的一致性，如會用計數單位和運算性質解釋算理，會基于相同計數單位的相加減形成算法，會基于相似的運算法則觀察數據特征，正確使用運算律。

（二）單元視角，梳理課時序列

1.從差異到一致，突出算理算法

分析教材中的例1到例3（如表1）可以發現，各例題的形式雖然有差異，但內涵是一致的。通過例1，學生很容易就能體會到小數部分位數相同的小數加減法和整數的算理、算法十分相似，從而感悟低位算起、滿十進一等運算法則。通過例2和例3，學生對小數部分位數不同的小數加減法進行討論，感悟整數加減法和小數加減法算理一致，都是用相同計數單位進行累加或遞減的，從而理解小數加減法中“小數點要對齊”的原理。在單元視角下體會算理一致，不僅是形成小數加減法的算法基礎，也是在后續例4的教學中理解“為什么整數運算律可以推廣到小數加減法中”的意義基礎。

2.從特殊到一般，著眼算律遷移

例4 的編排遵循“現象觀察—計算驗證”的思路，其教學內容是讓學生感悟整數運算律在小數加減法中同樣適用，且根據數據的特點選擇合適的運算律合理運算（如圖1）。教材例題通過舉例驗證的方式建立算律遷移，但從數運算一致性和運算能力提升的視角來分析，發現這不能提高學生對運算律一致的認同度。因此在教學例4 時，要把“運算律為什么一致”作為核心話題，讓學生理解小數加減法也可以根據其數據特點用以前學過的運算律進行巧算，在對比中真實地感受整數運算律和運算性質可以在小數加減法中得到合理推廣，從而感悟算律一致。

3.從會算到算用，缺乏應用教學

算用結合強調要關注實際應用價值，體現數運算的活而有度。然而，人教版教材在編排的時候，僅在例4的練習部分編排了簡單的解決問題，而沒有涉及其他類型的解決問題，如沒有關注需要進行策略設計、分析和優化的解決問題的教學?；仡櫿麛导訙p法的解決問題，用精算和估算等不同方式解決問題是重要的教學內容，且存在難學又難教的現象，學生思維方式多樣，在策略形成時存在諸多不確定因素，因此本單元的教學也亟須加入該方面的解決問題。

根據上述分析，教師在教學本單元時要充分關注與整數加減法的聯系，以數運算一致性為單元教學主線，以感悟算理一致、算律一致和算用一致為課時序列，著力在關聯、遷移、重組和深化中建立單元結構，讓學生真實地體會學習內容間的整體性和一致性，切實地體會算理一致是正確運算的理解重心，算律一致是簡便運算的遷移重心，算用一致是解決問題的運用重心。

二、課時架設，推進一致性的縱深理解

本單元的教學如何推進學生對運算一致性的理解？對此，教師需要提供有價值的學習材料，創設有意義的問題情境，引導學生生發有聯系的學習思考。

（一）課時1：小數加減法的正確運算——學材助力理解，感悟算理一致

1.例題整合，難易分層

將原教材中的例1、例2 和例3 的學習內容整合成課時1。課始，引導學生回顧整數加減法的算理、算法，自然地思考“小數加減法應該怎么算”。繼而組織編題大賽，發布任務“用一位小數、兩位小數或三位小數，編出小數加法的算式”，并讓學生按照計算的難易程度將這些算式分為天使級、風暴級和魔鬼級。課中，教師選擇不同難易程度的算式，讓學生對它們進行分類并分析（如圖2）。

圖2 編題大賽的設計環節

2.工具支持，理解算理

學生在分類討論中，感受到簡單的小數加法（即天使級）可以直接遷移原有的學習經驗進行計算。如：小數部分位數相同的小數加法很簡單，和整數的計算方式一樣；整數加小數的時候，很少出現數位對錯的情況；運算時沒有產生進位的話，不需要列豎式就能解決。而風暴級的小數加法就屬于較復雜的計算，學生需要對末尾對齊還是小數點對齊兩種算法進行充分討論，是有別于整數加減法的計算形式。在本環節，學生可以借助大量具象學習素材，如人民幣、數位順序表、計數器及方格圖等輔助工具解釋各算式的運算意義，明白加法運算的核心概念就是相同計數單位的累加，即小數加減法和整數加減法雖然運算形式不同，但算理和算法都是一致的。

3.溝通對比，深化理解

教師接著布置小數減法的編題任務（同小數加法），學生便能在小數加法的運算經驗上明確小數減法的算理，再次感悟“小數點為什么要對齊”的算理。課末，教師通過微課梳理本課內容，再次聯系和對比整數加減法與小數加減法，讓學生充分理解“相同計數單位的累加和遞減”即數的運算中算理一致的內涵，并提出后續思考題“分數加減法也是這么算嗎”。如此，課時1 的教學設計將生搬硬套地掌握“怎么算”，變成主動探究“為什么這么算、以后怎么算”，尊重學情，打通了知識間的壁壘。

（二）課時2：小數加減法的簡便運算——變式聚焦核心，感悟算律一致

1.復習回顧，算理為本

課時2 編排了小數加減法簡便運算的內容。課始，教師通過“算式2.4+0.23 及2.4-0.23 怎么算”導入，引導學生回顧和對比小數加減法與整數加減法算理、算法的異同點，再次明確小數加減法的算理也是相同的計數單位相加減，為接下來解釋算律遷移的原因和正確巧算奠定運算基礎。

2.添數巧算，遷移算律

教師出示添數巧算的任務：給算式2.4+0.23和2.4-0.23各添一個數，設計一個能簡便運算的綜合算式。

任務流程如下：

想一想：準備添什么數，怎么添？

2） 對3個城市的飛灰的采樣分析實驗結果表明，PDTC在低投加量（質量比2%～3%） 的條件下就能滿足現行國家標準要求的限值，是一種可靠的穩定化藥劑。

算一算：生成一個綜合算式，并簡便運算。

比一比：還能怎么添？看看誰設計的簡便運算類型更多。

說一說：借助元角分、方格圖、計數器等工具，向同桌介紹為什么可以這么簡算。

3.聚焦核心，感悟一致

教師可以組織學生沿著“添了什么？為什么這樣添？用上了什么方法？”的問題鏈對他們的作品進行討論。如圖3所示，學生設計的算式包含了整數加減法中的絕大多數運算類型，體現了加法交換律、加法結合律、連減的性質等多種運算律和運算性質。這種即時生成的課堂資源豐富了學生的學習素材，使學生在對比分析中聚焦數據特點和符號含義，在分步解讀中加深對整數運算律得以在小數加減法中推廣和適用的理解，從而感受到巧算方式的多樣，并建立小數加減法與整數運算律的聯系。如此，課時2 的教學設計突出核心“整數的運算律在小數加減法中為什么同樣適用”，引導學生在理解意義不變和結果不變的基礎上感受算律一致，不僅提高了學生對算律一致的認同度，更促進了學生對運算內涵的理解。

圖3 學生作品舉例

（三）課時3：小數加減法的解決問題——數據催生策略，感悟算用一致

1.巧設數據，感悟需求

課時3 編排的是用小數加減法解決問題的內容。如圖4所示，教師創設真實情境，提出問題：購買下列商品各一份，選哪一張優惠券更合適呢？在解決本問題的過程中，學生憑借數感，很容易就排除了“滿50減3”的優惠券，繼而關注商品價格的數據特點，提出初步的猜想：“三份商品的總價是否在90 元和100 元之間？”如此，借助數據的巧妙設置，使學生在解決問題時聚焦數學信息，形成初步解決問題的需求。

圖4 課時3的問題情境

2.充分對比，形成意識

教師引導學生通過想一想、寫一寫和說一說，主動思考、提出方案并進行交流反思。如表2 所示，學生在解決問題時可能會采用以下策略：直接精算解決、巧算解決、估算解決和錯誤的解決策略。在討論策略是否合理的過程中，學生發現小數加減法的解決策略和整數的解決策略相似，從而鞏固了小數加減法的運算技能，體會到運算律能讓原本較復雜數據的解決問題過程變得簡便，同時增強了估算意識，在精算和估算的對比中感受到解決問題策略的多樣性，提升了優化意識和應用意識。

表2 學生可能會出現的若干種解決問題策略

3.突破瓶頸，算用自然

在練習設計部分，教師承接真實情境設計更開放的問題，讓學生在四樣商品中選擇三樣，用優惠券購買（如圖5）。這一練習更加關注學生在解決問題過程中對數學信息的處理、對數據特點的把握和對問題形式的理解。學生通過對數據的選擇，體會精算、巧算和估算等解決問題的策略在不同數據特點下的應用價值。如此，課時3的教學設計不僅喚起了學生原有的解決問題的策略意識，還滲透了怎樣用數學眼光觀察、數學語言表達和數學思維思考現實問題的解決問題意識，豐富了學生的學習經驗。

圖5 課時3的練習設計

三、教后反思

筆者在嘗試對本單元教學內容進行整體設計時，緊緊圍繞整數加減法和小數加減法的聯系以及小數加減法的內在結構，推進單元課時，架設教學環節，從而促進學生對知識的主動遷移、對核心內容的理解和對關鍵能力的運用。

（一）遷移：生發運算的思考

基于整數運算和小數運算內涵的一致性，學生能進行知識的主動遷移，將習得的經驗進行系統的概括和升級，生發對“怎么算？這么算對嗎？還可以怎么算？”的運算思考，對運算中的問題和解決方式的思考變得更加深入。

（二）理解：清晰運算的內涵

基于算理、算法的一致和算律使用的一致，學生對算理、算法、算律之間的關系更加清晰，能用算理、算法解釋算律的適用性，也能在數和符號帶來的運算變化中理解算律是確定算理和算法的重要依據，從而提升正確運用運算法則和運算律進行運算的技能。

（三）運用：積累運算的經驗

基于算用策略的一致，學生能夠在對解決問題策略的合理優化中積累運算經驗，能關注到數據特點，能在解決問題的過程中對比和聯系不同的運算方法與解決策略，能理解運算在實際解決問題中體現出的本質，從而在充分的交流表達中發展運算能力。