基于度量的統一性 深度理解面積意義

李國良

“面積的認識”是“圖形與幾何”領域一個重要的教學內容，它作為“面積”單元的起始內容，為學生學習平面圖形的面積計算奠定了知識基礎。教學這一內容，教師需要從學生身邊熟悉的情境入手，引導學生借助身邊的事物、圖形等直觀感知“面”的概念和“面”的大小，形成面積概念。同時，要讓學生經歷從定性認識（直觀比較“面”的大?。┑蕉空J識（度量）的過程，逐步學會用度量的方法刻畫“面”的大小，從而促進其空間觀念從一維的線的長度（周長）發展到二維的面的大?。娣e）。本文嘗試通過對現行不同版本教材的比較分析和學生前概念的認知調查，探索一條基于度量的統一性來深度理解面積意義的學習路徑。

一、分析教材，把握教學關鍵

《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱“2022 年版課標”）指出：“圖形的面積教學要讓學生在熟悉的情境中，直觀感知面積的概念，經歷選擇面積單位進行測量的過程，理解面積的意義，形成量感?！睘楦玫匕盐彰娣e概念，筆者對人教版、北師大版和蘇教版三個版本教材進行了比較，發現它們均將“面積的認識”這一內容安排在三年級下冊，但在面積概念呈現、度量素材、比較方法和度量對象上存在一定差異（如表1）。

表1 人教版、北師大版、蘇教版教材對面積意義的編排比較

首先，在面積概念的表述上，人教版和蘇教版教材均使用具體物體表面（如黑板面、數學書封面）的大小進行定義，北師大版教材則采用抽象的數學定義。三個版本教材都是以直觀形象的事物為基礎，引導學生通過觀察、實驗、操作、想象等活動，描述物體（圖形）的面積，做到操作活動與語言表達相結合，從而建立面積概念。

其次，三個版本教材均由比較兩個長方形的面積大小引入，激發學生認識面積單位的需求。但在選取度量素材時，人教版教材采用3種圖形（圓、正三角形、正方形）作為面積單位進行測量，以使學生理解引入面積單位的必要性，包括為什么要有單位和用什么圖形作面積單位兩方面。北師大版和蘇教版教材則直接使用擺方塊或數方格的方法進行度量。

再次，在比較方法的選擇上，三個版本教材都采用了觀察法、重疊法和度量法來比較兩個長方形的面積大小，以幫助學生從不同角度、不同層次把握面積的含義。

最后，在度量對象上，北師大版教材（4×4與3×5）與蘇教版教材（3×5與2×8）提供的兩個長方形的面積相差1 個單位面積，與人教版教材（2×5 與3×4）提供的兩個長方形的面積相差2個單位面積，學生用觀察法和重疊法都較難判斷出面積的大小，所以需要引導學生“選用一種圖形作單位來測量”，體現了學生對面積單位的需求。

綜上所述，要讓學生理解面積意義，教師需要引導學生基于生活經驗，強化對物體、圖形等表面（包括正面、側面、曲面等）的理解，經歷多個圖形表面的認知過程，深化對面積的認識，抽象出面積意義；采用多種方法比較圖形的面積大小，感受采用面積單位的必要性；在選用不同單位面積進行度量的過程中，進一步理解面積意義，形成豐富表象。

二、探知學情，確定教學基調

為全面準確地了解學生對面積意義的認知水平，筆者對學生進行了一次前概念的調查與分析。

（一）調查對象及方法

筆者在兩所城鎮小學各選取兩個三年級班級的學生為調查對象，以書面前測卷的形式展開調查，要求學生在15 分鐘內獨立完成。本次調查共發放并回收前測卷156份。

（二）調查內容與剖析

本調查根據教學內容的重難點擬定了三個層次的題目，旨在了解學生目前對面積概念的認知水平及對“量”的感知程度。

前測題1：你聽說過面積嗎？在哪里聽說過？請舉一些例子。

本題旨在調查學生對“面積”一詞的了解情況，考查學生對“面積”一詞的認識來源，初步了解學生的認知基礎。調查結果如表2所示。

表2 學生對“面積”一詞的了解情況

從表2中可以看出，近90%的學生在不同場合聽說過“面積”一詞。進一步分析學生的答題情況，發現他們大多是略聞其詞、不解其意（如圖1）。

圖1

因此，教師教學時要引導學生通過觀察、觸摸、比較等方法，感知身邊物體的表面的大小，幫助學生理解面積的含義，感受面積與生活的緊密聯系，發展形象思維。

前測題2：請用自己的話說一說什么是面積。

本題通過引導學生用自己的話描述“面積”，調查他們對面積意義的表征情況，進而了解他們對面積意義的理解程度。調查結果如表3所示。

表3 學生對面積意義的理解程度

從表3中可以看出，能較為準確地定義面積意義，或用大小、面來描述面積的學生約占58.3%。而在學生存在的錯誤認知中，有25%的學生是把面積當成了周長。

因此，教師在教學時須注意引導學生將動作表征與語言表征結合起來，一邊用手比畫，一邊用語言描述物體表面的面積，通過多樣化的動手實踐活動，增強對面積的直觀感知，避免與周長概念產生混淆。

前測題3：用涂一涂的方法畫3個不同的圖形，使它們的大小均為6個小方格。

本題旨在調查學生對統一面積單位的表征能力，了解學生是否具備用多種方式表征大小為6個小方格的圖形的能力。調查結果顯示，大多數學生能表示大小為6個小方格的長方形，只有少數學生能表示大小為6個小方格的其他圖形（如圖2）。

圖2

因此，教師教學時要充分借助度量的方法，讓學生在經歷測量圖形面積的過程中感悟面的大小，學會用數值來刻畫面積的大小，體會面積單位的價值，感悟面積與面積單位之間的關系。

基于上述對教材和學情的分析可知，“面積的認識”的學習須處理好三方面的問題：一是量什么？即度量的對象（黑板面、課桌面、書本封面等）。二是用什么量？即對面積單位的選擇要經歷從非標準單位到標準單位的過程。三是怎么量？即面積單位要鋪滿所度量的對象。

三、教學實踐，彰顯度量價值

2022 年版課標指出，發展量感要明確度量的意義，能夠理解統一度量單位的必要性，會針對真實情境選擇合適的度量單位進行度量。本內容的教學應著重體現以下目標：通過實踐操作理解面積的意義，從多元視角全面感知度量方法，在親身體驗中感受統一度量標準的必要性，從而全面提升量感素養。

（一）直觀感知，初步理解面積意義

教師出示兩本不同的數學書（如圖3），提問：“仔細觀察這兩本不同時期的數學書，你有什么發現？”學生通過觀察，發現這兩本書的封面有大小。接著，組織學生尋找生活中的面（黑板表面、課桌表面、文具盒表面、長方形紙片和正方形紙片，如圖4），引導他們通過觀察、觸摸、互相介紹等方法充分感知什么是面，并比較這些面的大小。在上述活動的基礎上，揭示“物體的表面或封閉圖形的大小就是它們的面積”這一面積的含義。

圖3

圖4

在上述教學過程中，學生在已有知識經驗和現有認知水平的基礎上，利用直觀感知明確了兩本數學書的封面，懂得了什么是面，知道了面是有大小之分的。同時，通過看、摸、比生活中的面等活動，初步建立面積概念，形成一定的量感。

（二）多重比較，深入研究面積意義

教師組織學生討論圖4中哪個面的面積最大，哪個面的面積最小。學生發現，當物體表面差異較大時，可以通過觀察直接得出誰的面積大、誰的面積小。接著，引導學生重點比較長方形（5×3）與正方形（4×4）的面積大小。

【教學片段1】

生1：長方形與正方形的面積大小不能通過觀察直接比較出來。

生2：可以把這兩個圖形疊起來進行比較，看看哪個圖形的面積大。

師：現在請大家拿出學具，按生2 的方法進行比較，看看是否能比較出大小。

（讓學生借助學具，用重疊的方法進行操作活動）

生3：我重疊這兩個圖形后，發現每個圖形都多出了一部分，還是不能比較出它們的面積大小。

生4：如果把多出來的部分剪下來繼續比較，是不是就能比較出它們的面積大小了？

最后，教師組織學生采用剪拼的方法比較兩個圖形的大小，引導學生發現：通過兩次剪拼，可以得出正方形的面積比長方形的面積大（如圖5）。

圖5

通過這一教學過程，學生認識到在比較兩個面積相近的圖形時，可以采用觀察法、重疊法和剪拼法，但這些方法都存在一定的局限性。這激發了學生認識面積單位的需求，也促使學生采用間接比較的方法，理解引入面積單位的必要性。

（三）基于統一，科學刻畫面積意義

上述教學環節，學生通過采用多種方法進行比較，發現它們存在局限性，這促使他們尋找一個更好的方法來比較面積的大小。經過全班討論，學生提出可以借助其他圖形進行度量，根據單位面積的多少來比較面積的大小。

教師組織學生以小組為單位，分別用樹葉、圓片、正三角形、小正方形對長方形和正方形的面積進行度量。

【教學片段2】

生：我們組采用相同大小的樹葉來擺放這兩個圖形，發現擺滿正方形用了16片樹葉，擺滿長方形用了15 片樹葉，可以得出正方形的面積比長方形的面積大的結論。

生：我們組采用圓片進行測量，發現擺滿正方形、長方形分別需要16個和15個圓片，可以得出正方形的面積比長方形的面積大的結論。

生：我們組用正三角形來擺放，發現擺滿正方形用了28 個正三角形，擺滿長方形用了27 個正三角形，也得出正方形的面積比長方形的面積大的結論，但操作的時候很麻煩。

師：你們在用樹葉、圓片、正三角形擺放時發現了什么問題？

生：用這三種圖形進行測量均會出現空白部分，所以在比較兩個圖形的大小時，不僅要比較鋪的個數，還要考慮空白部分。

……

生：我們組采用小正方形來鋪這兩個圖形，鋪滿正方形、長方形分別用了16個和15個小正方形，得出正方形的面積比長方形的面積大了1 個小正方形的結論。

（教師出示圖6 中的四幅度量圖，引導學生討論：用小正方形作為單位面積進行度量的合理性和用其他單位面積進行度量的可行性）

圖6

生：我發現當用圓片去鋪這兩個圖形時，正方形的面積比長方形的面積多了中間的1 個空白部分。

生：如果在前三幅圖中都畫上小正方形，就會發現每一個用來測量的圖形用小正方形鋪滿的樣子都是一樣的，它們都可以用于測量圖形，只是會麻煩一點。

師：是啊，用小正方形去鋪圖形就不會有縫隙，這樣的方法在數學上叫作密鋪，它能更直觀、方便地比較出兩個圖形的面積大小。

這一教學過程，教師為學生提供豐富的素材（樹葉、圓片、正三角形、小正方形）作為“面積尺”，讓學生通過用不同的單位面積進行度量，感受度量對象的面積是由單位面積累加而成的；同時，在度量的過程中理解確定的相同材料都可以作為度量單位，但在實際度量時需要對度量單位進行統一，從而深度刻畫面積的意義。

（四）回歸本源，統一面積單位的必要性

眾所周知，不同物體（圖形）表面的度量最終均統一采用“1 平方厘米、1 平方分米、1 平方米”等面積單位。教師組織學生以小正方形（面積為1×1）為度量單位測量長方形和正方形的面積，可以讓學生認識到，為了獲得統一的度量結果，需采用相同的度量工具和統一的面積單位。以小正方形作為單位面積，有助于學生體驗面積單位的創造過程，理解“方出于矩”的道理，從而感悟面積單位的本質意義，提升對“單位1”的認知水平。

總之，一個概念的形成需要經歷感知、理解、深化三個階段。筆者通過對教材內容結構的深入剖析，結合對面積意義本質的深入思考，充分考慮學生的認知規律和思維特征，以度量的統一性為核心，合理架構教學框架，將面積的意義貫穿教學全過程，逐步培養學生運用定量方法解決問題的能力，形成抽象能力和應用意識，并引導學生用“數”面積單位個數的方法定量刻畫圖形面積的大小，不斷提升學生的量感。