周期性多層排樁低頻隔振及衰減域拓寬研究

高赟杰 姚文山 王子立 李泰灃 王業順

1.中建交通建設集團有限公司， 北京 100071； 2.中國鐵道科學研究院集團有限公司 鐵道建筑研究所， 北京 100081；3.中南大學 土木工程學院， 長沙 410083

軌道交通在給人民帶來便利的同時，引起的環境振動問題也日趨嚴重，尤其是10 Hz以下的低頻軌道交通振動，因傳播距離長、衰減慢，危害性更大［1-2］。在眾多隔振手段中，周期性排樁作為非連續隔振屏障因施工方便、成本較低、適應性強，具有較好的應用前景［3］，如圖1所示。

圖1 周期性排樁隔振

針對周期性排樁隔振問題，國內外學者開展了大量研究。在數值研究方面，文獻［4］通過數值研究，發現擴大樁基直徑可以拓寬帶隙頻率。文獻［5］模擬了不同填充材料下周期性填充排樁隔振效果，研究發現填充軟體材料時排樁隔振效果更好，且擴大樁徑可以獲得20 Hz以內的低頻帶隙。文獻［6-7］提出了一種周期排樁隔振時表面波識別新方法，并研究了周期排樁在層狀土中表面波隔振性能。文獻［8］提出可用COMSOL PDE模塊計算周期排樁的頻域和時域。為獲取更低頻率帶隙，文獻［9］研究發現在飽和土中，周期性管樁可獲得15～20 Hz低頻衰減域。文獻［10］通過數值模擬，研究了周期排樁對低頻瑞利波的隔振性，探索了不同樁截面的隔振效率，發現十字形截面隔振效果最好，并可以產生9.64 ～ 13.92 Hz的低頻帶隙。文獻［11］提出了大型尺寸隔振樁基，當樁基直徑為8 m，排間距為10 m時可獲得10 Hz以下的帶隙。在試驗方面，文獻［12］開展周期性PVC管樁表面波隔振室內試驗，并將試驗結果與數值模擬復頻散計算結果對比，驗證了周期排樁隔振性能。文獻［13］開展原理性試驗，研究周期性空心樁和填土樁隔振性，發現實測振動衰減達50% ～ 98%，其中水平衰減優于豎向衰減，且填土樁對振動波衰減作用更好。文獻［14］通過現場試驗，研究了周期性空心孔的隔振性能，研究結果與數值模擬一致，驗證了周期性超材料在土壤材料中的適用性。為獲得更低的隔振帶隙，基于局域共振機理設計樁基形式，文獻［15］提出了一種多層樁基結構，通過復頻散研究發現，該樁基可以獲得低頻隔振帶隙。進一步，文獻［16］研究了多層樁中管樁對隔振性能的影響，發現管樁可以增大樁-土彈性模量，提升隔振性能。

已有研究肯定了周期排樁的隔振性能，也提出了多種低頻隔振結構，然而，只關注低頻帶隙，極少關注低頻帶隙寬度。通常帶隙頻率越低，帶隙寬度越窄。由于實際環境振動主頻是一個范圍，而非某一固定值，極窄的帶隙很難覆蓋全部振動主頻，不利于實際隔振應用。因此，本文基于局域共振機理，首先在多層樁中引入一種截面帶孔軟體層，通過減小軟體層填充率來獲取更低頻帶隙；其次，針對不同低頻帶隙的多層樁，創新性提出“中心頻段連續”的排樁組合隔振方式，并通過頻域和時域模型深入分析其隔振機理。

1 周期結構隔振

1.1 基本理論

假設土體為彈性體，在不考慮體積力影響下，彈性單元振動形式可以表示為［17］

式中：?為哈密頓算子；r為位置矢量，r= （x，y，z）；u為位移矢量，u =（ux，uy，uz）T；ρ（r）為材料密度；λ（r）和μ（r）為拉梅常數。

以平面波為例，單元體位移［u(r，t)］為

式中：ω為圓頻率；U(r)為振幅。

把式（2）代入式（1）中，化簡得到

在周期結構中，根據bloch理論，有

式中：uk(r)為調幅函數；k為波矢。

在周期矢量為R的周期結構中，調幅函數為周期函數，即

將式（5）代入式（4）中，可得周期性結構中單胞邊界條件，即

將式（6）代入式（3），可得到關于k，ω和uk(r)的方程組，進一步可獲得ω與k的特征方程。

以多層樁正方形排布為例，如圖2所示，晶格常數為a，不可約布里淵區是三角形區域ΓΧМ。只需將波矢（k）掃掠不可約布里淵區邊界，即可獲得ω與k之間的頻散曲線。本文利用COMSOL Multiphysics有限元軟件求解特征方程，并求得ω與k之間的頻散曲線。

圖2 多層樁正方形排布

1.2 典型頻散曲線

當晶格常數a= 2 m，管樁外徑r2= 0.76 m，管樁厚度D= 0.02 m，樁芯半徑r1= 0.65 m時，材料力學參數取自文獻［11］，見表1，計算頻散曲線如圖3所示。在11.086 ～ 14.910 Hz內形成了一條完全帶隙，意味著這個區間內的彈性波將被周期結構隔斷。帶隙下邊界出現了較長的平直帶，表明帶隙機理為局域共振機理，該機理也是獲得低頻表面波帶隙的重要途徑。

表1 材料參數

圖3 頻散曲線

1.3 研究內容及方案

局域共振帶隙頻率雖然較低，但其帶隙寬度也較窄，從而限制了局域共振結構隔振的實用性。本文主要針對周期性多層樁局域共振帶隙，通過優化軟體層結構及排樁組合形式，來獲取低頻寬衰減域。

降低軟體層填充率可以獲取更低頻率共振帶隙［18］。如圖4所示，本文提出一種截面帶孔型軟體層結構，保持圓孔半徑恒定，通過控制圓孔數量來調節軟體層填充率。

圖4 截面帶孔型軟體層

本文包括三項研究內容：①研究軟體層填充率對周期性多層填充樁帶隙的影響。對截面帶孔型軟體層展開研究，計算軟體層填充率（W）為35% ～ 100%時周期性多層填充樁的頻散曲線，分析軟體層填充率與帶隙的關系。②開展頻域分析，研究有限數量排樁組合隔振特征，探索低頻寬帶的排樁組合方法。③通過時域分析，深入研究組合排樁隔振機理。研究技術路線如圖5所示。

圖5 技術路線

2 軟體層填充率對帶隙的影響

軌道交通振動主要有高頻（100～400 Hz）、中頻（30～60 Hz）和低頻（0.5～10 Hz），其中低頻隔振難度最大。本節主要通過降低軟體層填充率來獲取周期性多層填充樁10 Hz以下的低頻帶隙。以截面帶孔軟體層結構（參見圖4）為例，圓孔半徑設為0.04 m，通過調整圓孔數量來改變軟體層填充率。

具體分析前，定義帶隙的3個特征參量，即帶隙上邊界頻率（fUBF），帶隙下邊界頻率（fLBF）和帶隙寬度（fWBG）。

帶隙邊界頻率及寬度隨軟體層填充率變化曲線見圖6?？芍?，隨著軟體層填充率（W）的減小，帶隙邊界頻率及寬度先快速下降，在W= 80%時突變成緩慢下降。以帶隙寬度為例，當W＞ 80%時，擬合直線斜率為0.081 6；當W＜ 80%時，擬合直線斜率為0.033 5，前者斜率約為后者的2.5倍。這說明填充率越低越容易實現對帶隙頻率的精確控制，同時說明“低頻”與“寬帶”不可兼得，開展低頻衰減域拓寬研究極為必要。

圖6 帶隙邊界及寬度隨軟體層填充率變化曲線

如圖6所示，當頻率f= 10 Hz時，W約為84%。因此，為滿足10 Hz以下的低頻隔振，該結構軟體層填充率必須小于84%。不同軟體層填充率下帶隙邊界頻率及寬度見表2?？芍?，W在35% ～ 85%時，帶隙頻率范圍為1.953 ～ 10.312 Hz，約占0 ～ 10 Hz頻域的80%。因此，理論上，只要合理配置不同填充率下的多層填充樁，即可滿足大部分低頻軌道交通隔振需求。

表2 不同軟體層填充率下帶隙邊界及寬度

3 頻域分析

6排樁基隔振計算模型見圖7，模型上下邊界為周期性邊界，模型右邊界為低反射邊界。振源設立于模型左邊界，周期排樁設立于振源與被保護區中間。用參照線B和A分別監測有無排樁時的振動位移，通過定義頻率響應函數（FFRF）來衡量振動衰減大小，單位：dB。即

圖7 有限排樁頻率響應計算模型

3.1 樁基排數N影響

以截面帶孔型軟體層結構為例，在軟體層填充率W= 80%時，研究樁基不同排數（N）下的隔振效果，見圖8。圖中Ω表示衰減域。

圖8 不同排數下頻率響應曲線

由圖8可知，當排樁數量N= 1 ～ 6時，相對于純土，有排樁的情況都產生了衰減域，且排樁數量越多，衰減域越寬，振動衰減效果越好。以響應函數FFRF=-20 dB作為振動衰減限值，則當N≥ 3時，衰減域為6.75 Hz ＜ Ω ＜ 9.10 Hz。這與表2中周期排樁計算的帶隙范圍6.885～9.115 Hz基本吻合，相互驗證了求解的正確性，同時說明如果想獲得較好的隔振效果，至少要布置3排樁基，這與既有研究結論一致［8，12-13，19］。

3.2 衰減域平穩拓寬方法

如圖8所示，當N≥ 3時，隨著排樁數量增加，頻率響應曲線向下移動，呈溝槽形，其中衰減域中心區域，約占總衰減域的1/3范圍，即f≈ 7.4～8.2 Hz，下降最明顯。定義衰減域中心1/3頻率范圍為中心頻段。中心頻段外的衰減域亦有衰減性，但衰減效果受排樁數量影響非常大，尤其是靠近衰減域邊界的區域，幾乎只有無限排樁（N→+∞）才有明顯衰減效果。由于中心頻段范圍振動衰減最為明顯，因此推測當采用有限排樁組合隔振時，只需滿足各類排樁中心頻段連續，即可平穩拓寬衰減域。

軟體層填充率60% ≤W≤ 80%時中心頻段見表3。其中f′UBF和f′LBF分別是中心頻段的上下邊界頻率?？芍?，當W以5%的增長速率從60%增至80%時，上一樁基的上邊界頻率f′UBF與下一樁基的下邊界頻率f′LBF接近。因此以W= 5%為增長梯度時，60% ≤W≤80%區間相鄰兩樁基中心頻段連續。

表3 不同軟體層填充率下衰減域中心頻段

排樁組合方案見表4。在排樁數量N= 6時，設置8種研究方案。其中方案1為對照組，只包含一類樁，方案2—方案5為二類樁組合，方案6—方案8為三類樁組合。根據連續性假設可知，方案1、方案5、方案8中心頻段連續，其余方案不連續。以x和xˉ分別代表二類樁和三類樁中心頻段不連續程度，x或xˉ數量越多表示越不連續。

表4 排樁組合方案

不同方案下頻率響應曲線見圖9。

圖9 不同排樁組合方案下頻率響應曲線

由圖9（a）可知，當中心頻段不連續時（方案2—方案4），衰減域中心段出現大幅度鋸齒回彈或隆起現象，且該現象隨中心頻段不連續性增加而愈加明顯，說明此時衰減域不能平穩過渡，樁基組合效果較差。當中心頻率連續時（方案5），衰減域中心段只有小幅度鋸齒回彈，外形與單類排樁情況相似（參見圖8），整體呈溝槽形，說明此時衰減域能平穩過渡，樁基組合效果較好。

由圖9（b）可知：當中心頻段連續時（方案8），相比不連續情況（方案6—方案7）衰減域過渡性更好，此結論和二類樁情況一致，進一步證明基于中心頻段連續性評價衰減域過渡效果的合理性。相比二類樁組合的情況，三類樁組合時衰減域整體過渡效果更好。以方案2和方案6為例，方案2衰減域中心出現了大范圍的隆起和鋸齒回彈區，而方案6衰減域中心只出現兩個相對較小的鋸齒回彈區。雖然方案2和方案6排樁數量相同，且組合排樁填充率W均介于60% ～ 80%，但方案6增加了W= 70%的兩根過渡樁基，使得中心頻段過渡性更好，因而衰減域過渡更平穩。

由圖9（c）可知：隨著樁基種類增多，響應函數FFRF增大，衰減域向低頻移動且跨度越來越寬。表5為不同方案下各FFRF限值對應衰減域寬度?？芍?，當FFRF=-20 dB和-40 dB時，方案8衰減域最寬，方案1最窄；當FFRF= -60 dB時，方案5衰減域最寬，方案1最窄。說明相比單類樁（方案1），組合排樁的形式可以拓寬衰減域，且組合排樁類型越多衰減域越寬。

表5 不同方案下各FFRF限值對應衰減域寬度

4 時域分析

根據文獻［20］，當列車以380 km/h速度行駛時，距離路基30 m之外的地面，其振動頻率主要分布在5～9 Hz。本文以6.0、6.5、7.0、7.5、8.0、8.5 Hz為例，通過構建多頻率振動函數［Y（t）］來研究組合排樁隔振性［4］，即

根據3.2節研究，當選擇方案8進行排樁組合時，在5.5～9.0 Hz內形成衰減域。因此以方案8包含本次隔振的所有頻率，選擇對應的排樁組合方式開展隔振時域分析。不同時刻振動位移見圖10。

圖10 不同時刻振動位移

由圖10可知：隨著時間增長，入射波從模型左側激發，并傳至排樁隔振區域。在排樁共振作用下，產生了反射波和透射波。從不同時刻振動位移分布可知，當入射波進入排樁區域時，前3排樁發生了強烈共振現象，從而阻斷了振動波傳播，再次表明前3排樁基是共振隔振的關鍵。入射波被阻隔后產生了較多反射波，只有少部分振動穿過排樁區域，這是產生隔振效果的根本原因，同時說明組合隔振方式可以對寬頻振動產生較好的隔振效果。

5 結論

1）降低軟體層填充率可使周期性多層填充樁產生10 Hz以下的低頻帶隙，且隨著軟體層填充率降低，帶隙頻率先快速下降，在軟體層填充率為80%左右時改為緩慢下降。

2）當多類排樁中心頻段連續時，組合排樁頻率響應曲線和單類排樁情況相似，呈溝槽形，衰減域可以平穩拓寬，且組合排樁種類越多衰減域越寬。

3）采用組合排樁隔振時，前3排樁基共振現象最明顯。入射波與排樁相互作用后產生了較多反射波，是排樁隔振的根本原因。