圖形直觀引導下函數問題的分析與解決

周裕燕

數學是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科，它本身具備“形”的因素.圖形能很好地直觀呈現數學信息，能讓一些比較隱蔽的數學結論和數學思想顯現出來.很多數學問題可以通過挖掘其中的“形”，把復雜的數學問題變得簡明、形象，使學生能簡單、清晰地找到解決問題的思路并預測結果，避免復雜的計算和推理.

函數問題是高考重要的考查題型，不僅類型豐富，而且方法靈活，是考查學生學科核心素養和關鍵能力的重要載體.此類問題由于解題思路不易尋得，且求解過程較為繁瑣，是學生分析與求解的難點問題. 函數具備明顯的“形”的特征，本文以函數中的切線、零點及偏移問題為例，闡述如果借助圖形，將復雜的函數問題“直觀化”，借助圖形引導解題思路，揭示問題本質，并通過邏輯論證，實現問題解決.

1.運用圖形直觀，分析和解決函數的切線問題

例1 若過點（a，b）可以作曲線y=ex的兩條切線，則（? ）.

A．eb

B．ea

C．0

D．0

分析：當x→－∞時，曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于0，當x→+∞時，曲線y=ex的切線的斜率k>0且k趨向于+∞.結合圖象（圖1）可知，兩切線的交點R（a，b）應該在x軸上方，且在曲線y=ex的下方，故0

評注：若切點為（x0，ex0），求出切線方程y－ex0=ex0（x－x0），由過點（a，b）得，b－ex0=ex0（a－x0），轉化為關于x0的方程b－ex0=ex0（a－x0）有兩解進行判斷，運算較為繁瑣.利用圖形直觀分析問題，只需判斷兩條切線的交點（a，b）在x軸上方且在曲線y=ex下方即可解決問題.既體現了借助函數的圖形分析和解決問題的優越性，又有助于提高直觀想象素養.

2.運用圖形直觀，分析和解決函數的零點（方程的根）問題

例2 設函數f（x）是定義在R 上的單調函數，且x∈R，f（f（x）－ex）=e+1.若函數g（x）=f（x）－k（x+2）有兩個零點，則k的取值范圍是（? ）.

A．（e，+∞） B．（1，e］ C．（1，+∞） D．（0，1）

析解：由題意得f（x）－ex為常數，設f（x）－ex=t，f（x）=ex+t，由函數y=f（x）為增函數，及f（t）=et+t=e+1，得t=1，故f（x）=ex+1.函數y=g（x）有兩個零點等價于函數y=f（x）與y=k（x+2）的圖象有兩個不同的交點，畫出圖象（圖2），由圖形可直觀看出，直線y=k（x+2）與曲線y=f（x）相切時的位置是關鍵.可求得經過（－2，0）的曲線y=f（x）的切線的斜率k=1.由圖象可知，要使y=f（x）與y=k（x+2）的圖象有兩個不同的交點，k的取值范圍為（1，+∞）.故選C.

評注：本題求得函數y=f（x）的解析式，把y=g（x）有兩個零點轉化為函數y=f（x）與y=k（x+2）的圖象有兩個不同的交點，函數y=f（x）的圖象是常見、確定的，而直線y=k（x+2）過定點（－2，0）.因此，通過圖象分析，確定關鍵（相切）位置，通過適當計算即可解決問題，從而避免繁瑣的數學運算，提高解題效率.

（2）要證f（x）=sinx－ln（1+x）有兩個零點，可以轉圖3化為證明y=sinx與y=ln（1+x）的圖象有兩個公共點，畫出兩個函數的圖象（圖3），可以直觀判斷兩個函數的圖象有兩個交點P1（x1，y1），P2（x2，y2），不妨設x1

評注：求解（2）問，先通過畫圖分析，可以確定函數f（x）有且僅有兩個零點，及零點所在的大致區域，這是突破分類難點的關鍵，也是解決本題的關鍵.明確分類后，進而分區域逐一證明，在證明的過程中還需要在圖形的直觀引導下進行邏輯推理論證.用圖形直觀的方法可以更加簡單清晰地找到解決思路及預測結果，并引導解題的推理過程.

3.運用圖形直觀，分析和解決函數的偏移問題

例4 已知函數f（x）=x（1－lnx）.

（1）討論f（x）的單調性；

析解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞）．f′x=－lnx，當x=1時，f′（x）=0；當x∈（0，1）時f′（x）>0；當x∈（1，+∞）時，f′（x）<0．故f（x）在區間（0，1］上為增函數，在區間［1，+∞）上為減函數.

已知條件轉化為m（1－lnm）=n（1－lnn），圖4即f（m）=f（n）.將要證不等式轉換為22．借助f（x）的大致圖象（圖4）可知，極值點偏向m.要證m+n>2，只需證n>2－m，由于n>2－m>1，由f（x）在區間［1，+∞）內為減函數，只需證f（n）2．接著再證m+n

評注：本題（2）小題通過畫圖，可以直觀發現m，nm2，確定極值點偏向m，進而發現極值點的左右兩側，圖象變化趨勢.結合函數圖象特征，引導解題思路，并通過構造相關函數推理論證，較為簡便地解決問題.本題是極值點偏移問題，實質上是函數中非軸對稱的問題，由于其圖象的特殊性，可以把m（或n）通過直線x=1對稱，再通過函數的單調性解決此類問題.

大致圖象（圖5）.欲證x1+x2>2，只需證x2>2－x1.由于x2>2－x1>1，因為f（x）在（0，+∞）上單調遞減，所以只需證f（x2）

反映了x=1更偏向x1的圖形特征.因此，本題通過數形結合分析問題，把問題歸為函數偏移問題，可采用例4的解題方法較為簡便地解決本題.

由上述實例分析可見，圖形可以為分析和解決函數問題提供重要的直觀基礎和視覺支撐.在數學解題教學中，常?？梢越柚鷪D形直觀，將復雜問題簡單化、抽象問題具體化.利用圖形描述分析問題的思維活動，是課堂開展思維活動、培養學生思維品質的重要形式之一．在數學問題解題教學過程中，教師應注重滲透數形結合的思想方法，利用好圖形直觀的手段與方法，幫助學生直觀地尋找解決問題的思路，培養學生識圖、畫圖與析圖的能力，提高用圖意識，促進解題能力的提升和直觀想象的生成.