一道2023年奧林匹克競賽試題的多解及推廣

文帥 徐鳳旺 梁明端

1.試題呈現

分析：這是2023年全國中學生數學奧林匹克競賽東莞市預賽試題的一道求最值問題，其中已知條件與所求式子結構對稱，M的表達式是由4個根式的和組成，每一個根式的被開方數均為整式與分式的和，形式上具有數學的美感，本文對該題進行多解探究，并對其進行變式和推廣.

2．解法探究

+1－d=4－（a+b+c+d）=3，故M的最小值為3.

評注：此解法利用基本不等式與配湊法將每一個根式進行放縮，從而利用已知條件求得M的最小值.

評注：此解法兩次利用基本不等式的推廣將根式下的被開方數進行放縮，從而求得M的最小值.

評注：此解法利用切線的性質，將問題轉化為求函數最值問題，從而求得M的最小值.

評注：此解法利用函數的凹凸性與琴生不等式，將問題轉化為求函數最值問題，從而求得M的最小值.

評注：此解法利用柯西不等式將每一個根式進行放縮，再用基本不等式的推廣求得M的最小值.

評注：此解法利用赫爾德不等式與閔可夫斯基不等式，求得M的最小值.

3.試題推廣

分析：此推廣是將試題中的未知數個數從“4”元推廣到“5”元，推廣的形式不變.

分析：推廣2是在推廣1的基礎上，將不等式未知數個數從“5”元推廣到“n”元，條件式子的結果從“1”推廣到“t”，推廣的形式不變.

分析：推廣3是在推廣2的基礎上，將推廣2中不等式每一個根號下的系數“1”和“8”推廣到“λ”和“μ”，推廣的形式不變.

分析：推廣4是將試題條件中的條件式子結果從“1”推廣到“t”，以及改變代數式的未知數的冪及結構得到的.

分析：上述推廣1到推廣4均是推廣5的特例，下面列舉推廣5的證明過程，其他推廣的證明過程不再敘述.

推廣，對于數學學習與數學研究有著十分重要的意義.在數學學習中，推廣可以加強觀察、分析、比較、綜合、概括、歸納、類比和發現的能力，拓展不同的解題思路，提升創造性的思維.在數學研究中，推廣可以產生新問題與新方法，加深自身對問題的認識與理解.在數學競賽中，推廣可以激發學習興趣與求知欲，引領新的發現［1］.

參考文獻

［1］朱華偉，張景中.論推廣［J］.數學通報，2005（04）：55-57+28.