作業講評多“不妨”，生本評價促提升

洪麗敏

《普通高中數學課程標準（2017年版）》指出“高中數學教學以發展學生數學學科核心素養為導向”，同時指出“教學評價是數學教學活動的重要組成部分，評價應以課程目標、課程內容和學業質量標準為基本依據，日常教學活動評價，要以教學目標的達成為依據.”

數學作業是學生獲取數學知識、發展數學思維能力的一項重要的活動形式，同時也是師生之間知識交流互動的一個基本載體．數學老師對課后作業進行恰當的評價，能給學生們帶來一種滿足感，并能提高他們學習數學的自信心.因此，教師在數學作業批改時，需要通過判斷解決問題方法的合理性、創新程度、答案的準確性、寫作模式和作業的整潔度等全面評估數學課后作業的質量．當然，在數學作業講評時，教師要調整傳統“你聽我講”的形式，結合作業的反饋情況，多些“不妨……””、合理評價、激勵學生.

1 不妨在“糾錯辨析”中促“生成”

“對與錯”是學生學習效果在作業完成中的直觀呈現，“對”固然是好的，但“錯”也不失是一面教學診斷的鏡子．面對作業中存在的錯誤，教師不妨珍視錯題暴露出來的問題，合理利用，“變廢為寶”．

例1 已知函數f（x）是（－∞，+∞）上的偶函數，若對于x≥0，都有f（x+2）=－f（x），且當x∈［0，2）時，f（x）=log2（x+1），則f（－2011）+f（2012）＝（? ）.

A．1+log23? B．－1+log23? C．－1? D．1

學生的答案只有C或D兩種結果，且兩種答案幾乎是旗鼓相當．為什么？帶著疑問，作業講評時，筆者各自請一代表說出解題思路．

1.1 各顯身手

生1：x≥0時，由f（x+2）=－f（x）可知函數f（x）是周期為4的周期函數，又f（x）是偶函數，可推知f（x）是（－∞，+∞）上周期為4的周期函數，所以f（2012）=f（0）=0，f（－2011）=f（1）=1，故選D．

生2：由生1知f（2012）=f（0）=0，f（－2011）=f（－3）=f（3），根據條件f（3）=f（1+2）=－f（1）=－1，故選C．

聽了學生1，2的解法后，大部分同學一下子都蒙了，兩種解法都那樣“無懈可擊”.那么問題究竟出錯在哪里呢？此時，有相當一部分同學認為題目錯了.該如何判決呢？筆者并不急于作出判斷，而是把“球”踢給學生．

評注：對于作業中存在的較大面積錯誤，講評時，教師不僅要關注正確的解法，更要關注錯誤的原因（大面積的錯誤絕非偶然），此時應讓“不同聲音”得以完整呈現，以便學生在解析之后辨明是非．

1.2 辨明是非

學生通過思考討論，一部分學生建議畫圖試試.

若x∈［2，4），則x－2∈［0，2），f（x－2）=log2（x－1）=－f（x），故f（x）=－log2（x－1），故函數f（x）的圖象如圖1，由圖1可知，正確答案為C．

評注：查究錯誤之源是糾錯的重點，此時貴在引導學生領悟“如何找？”，而非“直接給”.本題“糾錯”關鍵在于讓學生學會思考――數形結合是解決函數問題的重要方法，既然“數”計算不能辨真偽，那么只能求助于“形”了.

1.3 錯因解剖

筆者抓住機會，讓學生說說解法1錯誤的原因．最后形成共識：對于偶函數f（x），f（x）在［0，+∞）上的周期為4，可以推出f（x）在（－∞，0）的周期為4，但f（x）在R上并不是周期函數．（）

評注：讓學生學會對錯誤的原因進行辨析說理，在說理中有所思、有所得、有所悟．

1.4 因勢利導

若函數f（x）是（－∞，+∞）上的奇函數，情況又如何？如圖2，我們發現上述結論（）對奇函數f（x）仍成立．

評注：“因勢利導、乘勝追擊”是糾錯后的“強化”環節，一方面可以檢測診斷學生對錯誤的辯證認識，另一方面可以對比、遷移知識．

生本評價：教師對學生作業完成情況的多元評價，將使得作業的強化、反饋效果更上一層樓.“落紅不是無情物，化作春泥更護花.”作業中存在的錯誤，雖沒有正確答案那樣賞心悅目，但卻是教學效果的晴雨表．教師在作業講評時要善于開發利用錯誤資源，鼓勵學生暴露解題歷程，引導學生進行“糾錯辨析”，不僅明白“錯在哪里？”，更要弄清楚“為什么錯？”，最終實現“變廢為寶”.

2 不妨在“百花齊放”中促“提煉”

對于同一個題目，不同的學生由于不同的學習體驗，常出現不同的解法，形成不同的解題策略．在作業的講評中，不僅要鼓勵學生尋求不同的解法，“百花齊放”，更要善于引導學生注重提煉解題策略．

方法二：如圖3，可知∠CDA+∠ADB=π，則有cos∠CDA=－cos∠ADB．

不妨設CD=DB=x（x>0），則BC=2x．在ΔADC與ΔADB及其ΔABC中結合余弦定理可解得b=6．（下同方法一，略）

評注：作業呈現的方法主要是方法一、二（課堂曾解決過三角形中線的問題），學生的作業反饋在筆者的意料之中，筆者欣慰之余又有所期待…

2.2 百花齊放

受生1啟發，生2認為可以把三角形補成平行四邊形．

ΔABE中，由余弦定理解得BE=6，所以b=AC=BE=6．（下同方法一，略）

方法五：受方法1影響，生3認為解決向量問題

評注：對于學生的多樣解法，筆者甚感欣慰，尤其方法三，課后筆者曾與該學生交流，“為什么這么想？”，學生說“老師您不是常說‘中點，再找中點，構造中位線嗎？”（有的解題策略的確可以深入人心），讓筆者倍感欣慰！

2.3 提煉策略

在欣賞學生的多樣解法之余，筆者趁熱打鐵，引導學生歸納三角形中線問題的常見解題策略：

策略一：利用互補關系（如方法二），此策略可解決一般“爪形結構”情形，屬通法；

策略二：構造平行關系（如方法三、四），此策略也可解決非中點情形，屬通法；

策略三：利用中點向量形式（如方法一），屬最佳解法，也可推廣到非中點情形；

策略四：建立坐標系（如方法五），關鍵在于合理建系，也是解決三角形問題的常見策略.

評注：“提煉策略”是最容易被師生忽視的環節，也常常因為該環節的缺失，學生易陷入“雖有多種想法，但不知如何入手”、缺乏“策略性解決問題”、“只見樹木不見森林”的困境．

生本評價：教師對學生作業“百花齊放”解法的及時肯定與贊賞，可以進一步激發學生的學習熱情和探究欲望.作業講評時，教師若能引導學生對多種解法進行反思總結、甄別對比，再加以提煉，辨別通性通法和最佳解法，將使得講評的效果更佳.

3 不妨在“總結反思”促“提升”

荷蘭數學教育家弗萊登塔爾指出：反思是數學思維活動的核心和動力．反思是數學解題過程的最后階段，也是提高學生解題能力最有意義的階段．然而，這個階段常常被忽略．數學作業離不開解題，為此，教師在講評之余能否引導學生進行解題反思，在某種程度上決定了學生解題的高度．

例3 如圖7，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB⊥AC，A1A=AB=AC，D是AB的中點．記平面B1C1D∩平面A1C1CA=l，在圖中作出l，并說明畫法.

在講評之余，筆者引導學生總結反思兩平面交線的作圖策略：

一是找兩平面的兩個交點，則可確定交線（如圖8）．其作圖要點在于：先直觀找一個公共點（如點C1）；再通過同一平面內的兩相交直線確定另一公共點（如本例中的直線B1D和直線AA1相交于點F）．

二是構造兩平行直線（兩平行直線可確定一個平面，如圖9），其作圖要點在于構造平行關系（常見中位線形式，如本例中C1B1∥ED），需要考生較強的觀察能力．

同時要引導學生注意以上兩種方法的合理選擇．比如圖10，四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，求作平面PAD與平面PBC的交線時，可直接過點P作直線l//AD，則有l//AD//BC，則l為所求直線（此時就不宜用方法一，AD//BC，不相交?。﹫D11

進而類比思考線面平行的作圖策略：比如問題“在平面A1C1CA內過A作一直線m//平面B1C1D”．此時，學生不難把問題化歸，如圖11，先作出兩平面交線l，再作AG與交線l平行．

通過這樣的反思，學生不再“就題論題”，而是能“由例及類”，其“解題能力”得以在反思中提升．

生本評價：對于“學習解題”而言，學生完成了解題過程，并不意味一次“解題學習”的完成，對解題的真正學習是“回顧解題”.這如同知識獲得的保持階段一樣，它是解題學習的“保持階段”.“工欲善其事，先利其器.”“回顧解題”就是磨利解題武器的過程，可取得舉一反三的作用.因此，無論是解題教學還是作業講評，教師一定要留出時間，讓學生回顧解題，在解題反思中提升.

總之，數學作業講評中，教師不僅要合理評價學生的不同想法，還要學會適當放手，不妨多多創造機會讓學生“生成知識”、“提煉策略”，進而“提升能力”，最終實現“教學雙贏”.

參考文獻

［1］胡秀．基于生本理念的高中數學前置性作業研究［J］．數學教學通訊，2023（03）.