單排彈性實心樁對SH波的散射求解問題

劉晶磊 吳浩 張沖沖 曹晉源 李秀欣

摘要：采用波函數展開法結合格拉夫加法定理分析單排實心彈性樁的SH波散射問題，通過改變單一變量，分析樁土剪切模量之比、樁體個數等因素對排樁隔振的影響效果，得到如下結論：當無量綱頻率為低頻和中頻時，排樁后無量綱位移曲線在無限遠處趨于0，隨著樁體根數的增加隔振效果逐漸提高；在排樁后0～70a（a為樁徑）范圍內無量綱位移之比變化幅度較大，且不穩定，隔振效果較差；當樁土剪切模量之比小于500時，在250a～380a范圍內減隔振效果較好；當樁土剪切模量之比大于或等于500時，隔振效果并不會隨著其增加而大幅增加，即此時可將樁體認為是剛性樁體。當無量綱頻率為中頻時，在100a～120a范圍內隔振效果較好，之后此范圍內無量綱位移之比先驟升后逐漸下降，但當無量綱頻率上升為高頻時，各樁體根數下排樁隔振效果相差不大，且會在距離排樁更近處就已經達到很好的隔振效果。

關鍵詞：波函數展開法; 格拉夫加法定理; 隔振效果

中圖分類號： TU435????? 文獻標志碼：A?? 文章編號： 1000-0844（2024）01-0059-07

DOI：10.20000/j.1000-0844.20220704001

An approach for solving the scattering of SH waves by elastic solid piles in one row

Abstract：?The scattering issue of shear horizontal （SH） waves from solid elastic piles in a single row was analyzed using the wave function expansion technique and Graf's addition theorem. By changing a single variable， we analyzed the effects of the pile-soil shear modulus ratio and the number of piles on the vibration isolation capabilities of row piles. Our results show that when dimensionless frequency is low to medium， the dimensionless displacement curve beyond the row piles tends to zero at infinity. As the number of piles increases， the vibration isolation effect also gradually improves. However， the ratio of dimensionless displacement changes greatly in the range of 0-70a following the piles， leading to unstable and poor vibration isolation performance. When the pile-soil shear modulus ratio is less than 500， the vibration isolation effect within the range of 250a-380a proves to be satisfactory. Conversely， when the pile-soil shear modulus ratio is equal to or exceeds 500， there is no substantial increase in the vibration isolation effect. This suggests that the pile can be regarded as a rigid pile at this time. In instances of medium dimensionless frequency， the vibration isolation effect performs well within the 100a-120a range. The ratio of dimensionless displacement in this range experiences a sudden increase before gradually decreasing. However， as the dimensionless frequency escalates to high frequencies， the vibration isolation effect shows minor variation with different numbers and exhibits good performance close to the row piles.

Keywords：wave function expansion method; Graf's addition theorem; vibration isolation effect

0 引言

列車運行引起振動造成的危害不僅會給社會發展造成嚴重的經濟損失，還會使人產生一系列心理和生理的健康問題。因此，減弱或者消除振動造成的影響成為亟待解決的問題。目前，被動隔振領域具有較多的研究成果，其中連續型隔振屏障，例如空溝、填充溝、地下連續墻等隔振措施在實際工程中應用較廣泛。非連續型隔振屏障，例如單排樁、多排樁等隔振措施因為施工成本較高，導致其應用發展受到了限制。但由于非連續型隔振屏障具有簡便、維護成本較低，且能夠應用于地質條件較差的地區，在加強地基承載力的同時能夠保持自身強度，因此非連續型隔振屏障仍有其研究價值。

振動波的散射作用在非連續型隔振屏障的隔振機理中起著決定性作用，國內外學者對其展開了多方面的研究。Avilés等［1］采用波動理論，得出了均質彈性土體中單排彈性實心樁屏障對平面SV波的阻隔效果，以及單排剛性實心樁屏障對平面SV波、P波和SH波阻隔效果的精確解。徐平等［2］采用波函數展開法，得到了非連續彈性圓柱實心樁屏障對入射平面P波和SH波散射系數的理論解。夏唐代等［3］和孫苗苗［4］運用多重散射理論，分析任意布置的排樁屏障對彈性波的散射問題并進行了解析求解。Pu等［5］采用畢奧特理論和Floquet-Bloch理論簡化分析樁-土系統，發現瑞利波衰減的頻率范圍和屏蔽能力分別與理論衰減區和衰減系數相吻合。蔡袁強等［6］基于飽和土彈性波動方程，考慮土體和水耦合作用的影響，分析了全空間均質飽和土中彈性排樁對入射平面S波的散射問題。侯鍵等［7］對于平面SH波入射下剛性樁隔振屏障的散射問題提出多重散射求解法，求得了SH波入射下任意排列、任意半徑固定剛性樁多重散射的精確解。Ren等［8］基于Bornitz方程，提出了層狀均質介質的衰減模型，并用其估算軟土區域高等級公路的典型路基和地基中不同深度的垂直振動水平。章敏等［9］研究了雙層非飽和地基中Rayleigh波的傳播特性問題，發現Rayleigh波波速隨著飽和度的增加呈線性下降趨勢，對于上軟下硬地層，上覆層厚度的增加會導致波速減小，并逐漸趨向于上覆土本身的Rayleigh波速。時剛等［10］以薄層法（TLM）基本解作為動力Green函數的飽和土半解析邊界元法，有效地分析了飽和半空間的土-結構動力相互作用問題。陳煒昀等［11］分析了非飽和地基表面不透水（氣）和透水（氣）兩類條件下Rayleigh波的彌散特性。劉中憲等［12］運用一種高精度的間接邊界積分方程法，對P波、SV波下二維排樁的隔振效果進行了寬頻帶計算分析。

上述研究多采用單重散射求解排樁散射問題，而實際散射作用是經過無限重散射綜合得出的結果。本文采用波函數展開法結合格拉夫（Graf）加法定理分析單排實心彈性樁的SH波散射問題，將三維矢量波問題簡化為二維標量波問題，將波函數按Fourier-Bessel級數展開，依據邊界條件求解出級數展開式中的系數，最終得到平面直角坐標系下的總波場位移公式;通過改變單一變量，研究樁土剪切模量之比、樁體個數兩因素對排樁隔振的影響效果，并給出實際工程的參考數值。

1 公式模型

假設單排圓柱彈性實心樁位于各向同性半無限均質彈性地基中，入射SH波的偏振方向與樁軸一致，因此不會與其他體波（P波、SV波等）中的波傳播和散射問題產生耦合效應；同時假定樁身長度遠大于直徑，將繁瑣的三維數學散射求解問題簡化為較為簡單的二維平面問題。

設入射SH波入射角為Ψ，整體直角坐標系（x，y）對應的極坐標系為（r，θ），排樁沿x軸橫向布置，y軸為樁體排列的法線方向，樁體標號記為j（1≤j≤N），任意樁體j都有獨立的直角坐標系（xj，yj）和極坐標系（rj，θj），以樁體圓心為坐標原點Oj，半徑為a，沿x軸等間距排列，樁間距為b。土體材料性質由其拉梅常數λ1、μ1及質量密度ρ1確定;樁體材料性質由其拉梅常數λ2、μ2及質量密度ρ2確定;土體中相應的波速為c1，樁體中相應的波速為c2。

如圖1所示，選取一個樁體單元為研究對象，設該樁體為l號樁體，采用波函數展開法設立該樁體在（rl，θl）坐標系下的散射波場，并應用Graf加法定理將其余樁體的散射波場在（rl，θl）坐標系下表示，疊加入射波場和所有樁體在土體區域中的散射波場后，結合樁體域中的透射波場，根據樁土位移邊界條件和應力求解待定系數，從而得到單排分布樁體模型的解析結果。

入射平面SH簡諧體波應當滿足Helmholtz方程［13］：

利用樁體的分布特性，l號樁體的散射波場與1號樁體的散射波場相位差為exp（ik1d1lcosΨ），滿足上述方程的入射SH波在坐標系（xl，yl）下可表示為：

ωinc1（xl，yl）=ω0exp（ik1d1lcosΨ）exp［ik1（xlcosΨ+ylsinΨ）］（2）

式中：ωinc1為土體中入射波場位移;ω0為入射平面SH波的位移幅值;k1為土體中SH波的波數;i表示虛數單位;d1l為l號樁距l號樁的間距。為簡化書寫，式中的時間因子exp（-iωt）已略去。

根據波函數展開法，入射平面SH波的位移在極坐標系（rl，θl）下的Fourier-Bessel級數形式為：

式中：Jm（·）為第一類Bessel函數;εm為Neumamm因子，εm=1（m=0），εm=2（m≠0）;m為入射波展開式級數截斷項。

土體中由于樁體的存在，任意j號樁體都會對入射平面SH波產生散射作用而形成散射波，同時由于散射位移場不是關于x軸對稱的，散射波場sin（nθj）的系數不為0，結合波函數展開法可將散射位移場表達為：

式中：上標sc表示散射;H（1）n（·）為第一類Hankel函數;Ajn、Bjn均為散射待定系數;n為散射波展開時級數截斷項。

首先為實現所有樁體散射波場的疊加，應用Graf加法定理［14］，將所有非“l”號樁體的散射波場統一轉換為極坐標系（rl，θl）下的表示，即：

其中：

然后，將入射波場式（3）和樁體的散射波場式（4）疊加，可得土體中在（rl，θl）坐標系下的總波場位移ω1（rl，θl）：

同理根據式（4），l號樁體內的透射波場位移ω2（rl，θl）可表示為：

式中：Cln、Dln為樁體中透射波場的待定系數;k2為樁體中SH波的波數。

根據樁體-土邊界的應力和位移連續條件，在rl=a處，有：

將式（3）～（6）代入式（7）可得到（rl，θl）坐標系下的總波場位移：

將式（7）和式（8）代入式（9）可得到：

將Aln、Bln的系數解代入到式（10），即可得到在（rl，θl）坐標系下的總波場ω1。

對位移場的頻率進行歸一化處理，設土體中的無量綱頻率η為：

式中：λ1為土體中SH波的波長;c1為土體中平面SH波波速。

2 有效性驗證

模擬試驗地基選在室內，尺寸為4 m（長）×4 m（寬）×1.4 m（高），上層為深0.4 m的勻質黏土層，下層為深1 m的勻質砂層，如圖2所示。土體參數列于表1，試驗所用混凝土樁強度等級為C30，密度ρ=2 374 kg/m3，剪切模量G=12.78×103 MPa，樁徑為10 cm（長）×10 cm（寬）的實心方樁，以單倍樁距沿中線橫向布置，如圖3所示。

試驗采用WS-Z30振動臺控制系統，主要包括激振器、信號發生器和核心部件三部分，其中核心部件包括電荷放大器、功率放大器、數據采集控制器、加速度計放大器及加速度傳感器等。各部分及其連接詳見圖3。

理論分析模型與模型試驗變量參數均取7根樁，樁徑a取10 cm，樁間距b取2倍的樁徑，均用ω/ω0表示歸一化后的無量綱位移，其中ω為平面SH波入射下自由場和散射場的總位移，ω0為平面SH波入射下位移幅值，通過比較兩種結果（表2），并得出曲線圖（圖4）。結果表明，本算例與模擬試驗結果變化趨勢一致，從而驗證了本算例的正確性。

3 結果分析

3.1 樁土剪切模量對排樁隔振效果的影響

樁間距是影響入射波、散射波與透射波在同一介質點合相位大小的重要因素。為了分析樁土剪切模量對排樁隔振效果的影響，樁徑a取1，樁間距b分別取1a、2a、3a、5a，其余變量參數取值與有效性驗證部分一致，繪制出不同樁土剪切模量之比下排樁后的無量綱位移曲線（圖5）。由圖5可知，隨著樁間距b的增加，排樁隔振效果逐漸變好，但當樁間距b由3a增加至5a時，排樁隔振效果明顯變差；在排樁后0～70a范圍內，無量綱位移之比變化幅度較大，且尚不穩定，隔振效果較差；之后無量綱位移之比逐漸下降至穩定值。當樁土剪切模量之比小于500時，排樁后無量綱位移曲線在250a～380a范圍內出現最低點，后又呈現上升趨勢；當樁土剪切模量之比大于或等于500時，排樁后無量綱位移無最低點且幾乎無變化，此時可將樁體認為是剛性樁體。

3.2 樁體根數對排樁隔振效果的影響

為了分析樁體根數對排樁隔振效果的影響，樁間距b取3a，樁土剪切模量之比取500，其余變量參數取值與2.1節一致，繪制出不用樁體根數下排樁后的無量綱位移曲線（圖6）。由圖6可以看出，當無量綱頻率為0.4時，排樁后無量綱位移曲線與以上規律一致，在無限遠處趨于0，同時隨著樁體根數的增加無量綱位移之比降低。當無量綱頻率為1.5時，0～90a范圍內無量綱位移之比變化較大，且在100a～120a范圍內隔振效果較好，之后該范圍內無量綱位移之比先驟升后逐漸下降至1。當無量綱頻率為3.0時，各樁體根數下排樁隔振效果相差不大，排樁后無量綱位移在20a處下降至1以下，與之前兩個無量綱頻率相比，排樁在更靠前的位置達到更好的隔振效果。

4 結論

本文采用波函數展開法結合格拉夫加法定理分析單排實心彈性樁的SH波散射問題，通過改變單一變量，研究樁土剪切模量之比、樁體個數因素對排樁隔振的影響效果，并結合實際工程的參考數值，得到如下結論：

（1） 在排樁后0～70a范圍內，無量綱位移之比變化幅度較大，且不穩定，隔振效果較差。當樁土剪切模量之比小于500時，在250a～380a范圍內隔振效果較好;當樁土剪切模量之比大于等于500時，隨著樁土剪切模量之比增加，隔振效果并不會大幅增加，即此時可將樁體認為是剛性樁體。

（2） 當無量綱頻率為0.4時，排樁后無量綱位移曲線在無限遠處趨于0，隨著樁體根數的增加，隔振效果逐漸提高。當無量綱頻率為1.5時，0～90a范圍內無量綱位移之比變化較大，在100a～120a范圍內隔振效果較好，之后此范圍內無量綱位移之比先驟升后逐漸下降至1。當無量綱頻率為3.0時，各樁體根數下排樁隔振效果相差較小，排樁后無量綱位移在20a處就已經下降至1以下，與之前兩個無量綱頻率相比，可在更靠前的位置達到良好隔振效果。

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