基于可變元胞與跟馳理論的元胞自動機模型

賀 敏,梁 鵬,2,劉玖賢,楊 凡,劉 杰

(1.長安大學 公路學院,西安 710064; 2.公路大型結構安全教育部工程研究中心(長安大學),西安 710064)

交通荷載是橋梁的重要外部荷載之一,是影響橋梁構件使用壽命的重要荷載[1-2]。由于交通荷載貫穿于橋梁前期設計和后期運營的整個過程,對橋梁的設計、評估和養護都至關重要[3-5],因此對交通荷載的模擬一直是橋梁工程的重要內容。由于交通流的隨機性,交通荷載也具有隨機特性[6-8],這種隨機性體現在車輛的組成和車輛的時空位置變化上。車輛組成的直觀表現是車輛的軸載分布不同,車輛的時空位置變化由車輛在行駛過程中的加減速和變換道等微觀交互行為確定。因此,要準確模擬橋梁上的隨機車流荷載,車輛軸載模擬和車輛的微觀交互行為模擬是兩個重要內容。

常用的隨機車流荷載模擬方法有Monte Carlo法[9-10](MC)和元胞自動機法[6-7,11](cellular automata, CA),Monte Carlo法主要基于給定的車流宏觀數理模型,通過隨機抽樣建立系列交通參數形成模擬車流,由于這種模擬方法難以模擬車輛之間的微觀動態交互行為,因此難以考慮車輛交互形成的車輛時空位置變化。CA模型能夠模擬車輛的微觀交互行為,因此也被廣泛用于隨機車流荷載模擬。隨機交通流模型最早由Wolfram提出,稱為184模型[12],隨后經過Nagel and Schreckenberg的改進,提出NS模型[13]和雙車道NS模型[14],這些模型的發展都是為了更好地模擬交通微觀特性,使模擬的交通流能更準確地反映實際交通流的微觀特性。由于使用目標的不同,這些模型不關注車軸信息,所以將所有車輛(不論大小)統一限制在一個由道路離散產生的方形格子內(叫做元胞),通過定義一定的轉換規則模擬車輛運動狀態的變化。文獻[7]首先將NS模型完整地應用到橋梁上用于車輛荷載的模擬中,并將車輛總重融入元胞,用集中力代替車輛荷載,分析了隨機車流作用下的橋梁結構響應。文獻[8,15-17]將NS模型引入車橋耦合分析。在NS模型中,車流模擬均以道路離散后的元胞為基本核心元素,將車輛幾何信息和運動信息與元胞結合,當元胞尺寸較大時,便不能準確模擬車輛尺寸和車輛間距,也不能準確模擬車輛軸載。為了模擬橋址處的隨機交通荷載,文獻[10]基于intelligent driver model(IDM)模型,采用Paramics系統分析了微觀層面擁擠交通流下的中-大跨橋梁車輛荷載效應,在其模擬中,車輛荷載仍然采用車輛總重代替。

由于CA基本原理的限制,上述研究都只能將車輛限制在一個固定尺寸的元胞內,不能準確模擬車輛尺寸,因此不能反映實際車流中真實車間距等信息[18];同時由于只能用一個元胞模擬車輛,因此車輛荷載只能采用等效的集中荷載進行分析。為了得到準確的車輛荷載信息。文獻[16-20]首先將考慮軸載的車輛荷載用于車橋耦合分析和結構評估中,但是其模擬的車流的隨機性主要體現在車輛組成的隨機性上,因此其更適用于小跨徑橋梁。文獻[21]建立了基于隨機車流的車橋耦合程序,并基于隨機車流作用下的橋梁響應并分析了沖擊系數的取值規律。為了更準確地模擬車輛荷載,文獻[22]首先對傳統NS模型進行改進,將車輛的軸載信息融入到NS模型中,車輛不再局限在一個固定長度的元胞中,而是可以跨越多個元胞,軸載信息通過一系列參數進行定義,車輛位置采用車頭所在的元胞對車輛進行定位,其運動狀態仍然采用原始NS模型的狀態更新規則進行更新,這種規則規定所有的車輛都只能采用統一的加減速值。在其后續的改進模型中[23],雖然引入了單位加速度來模擬加速,但所有車輛仍然只能采用相同的加速度,因此仍然不能反映不同車輛的不同的微觀交互特性。文獻[24]首先提出采用細化元胞的方式提高車輛荷載的精度,并推導了基于加速度的更新規則,但是該方法仍然局限在傳統NS模型框架內,當元胞劃分的較細時,模擬效率不高。

為準確模擬橋址處隨機車流荷載,本文提出基于可變元胞和跟馳理論的新型元胞自動機模型。新型元胞自動機模型以車輛為核心,采用動態變化的元胞準確模擬車輛的幾何尺寸、車間距和軸距。將軸載信息融入元胞,準確模擬車輛荷載。引入跟馳理論,推導基于加速度的車輛運動狀態演化規則,計算每一輛車的專屬加速度,準確模擬車輛之間的微觀交互行為。建立基于WIM數據的車隊生成方法,重構任意時段的實際車隊。最后通過實例證明所提模型在隨機車流荷載模擬中的可行性和準確性。

1 基于可變元胞與跟馳理論的元胞自動機模型

1.1 可變元胞定義與元胞轉換

本文提出在空間和時間上均離散的新型元胞自動機模型。與傳統元胞自動機依賴于道路離散的固定元胞不同,本文提出的新型元胞自動機以車輛為核心元素,稱為基于車輛的元胞自動機。元胞不再通過道路離散得到,而是將每輛車所在的道路空間位置都作為一個車輛元胞,沒有車的道路空間作為空元胞,空元胞是車輛元胞的邊界,是車間距的直接反映。車輛元胞狀態可以用式(1)表達:

Cs={Cm,M,W}

(1)

式中:

(2)

在車流模擬中,車輛元胞和空元胞都隨著車輛位置的移動而更新,元胞更新可用圖1表示。提出的新型元胞與傳統元胞不同,不依賴于通過道路離散產生的固定尺寸的晶格,能夠準確反映車輛尺寸、軸間距和軸載信息。同時,在編程時,提出的模型只需要記錄車輛元胞的信息即可完成對所有信息的記錄,且信息矩陣的維度只與道路上車輛的數量有關?？赵皇擒囬g距的度量,沒有運動特征?？赵木嚯x信息也以通過相鄰車輛元胞的車頭和車尾參數計算得到,因此,編程時,空元胞不參與運算,以降低程序運算量,提高模擬效率。

圖1 元胞與元胞更新

CA模型以加速度為核心指標對元胞運動狀態進行更新,在提出的CA模型中,加速度的計算考慮了元胞當前速度、當前車間距和周圍元胞的速度指標,因此,每個元胞狀態的更新都受其周邊車輛元胞的運動狀態影響,這些對目標元胞的運動狀態有影響的車輛元胞稱為目標元胞的鄰居元胞。在單車道模擬中,鄰居元胞為當前車道的前一個車輛元胞。在多車道模擬中,車輛可能換道,鄰居元胞為當前車道的前一個車輛元胞和相鄰車道的前一個和后一個車輛元胞,鄰居元胞如圖2所示。

圖2 鄰居元胞

1.2 基于跟馳理論的運動狀態演化規則

為了準確描述車輛運動狀態的不同,本文引入跟馳理論,并建立基于跟馳理論的狀態演化規則。根據車頭時距將車輛元胞的運動狀態分為自由行駛和跟馳行駛兩種狀態。處于自由行駛的車輛元胞具有較大的車頭時距,其運動狀態不受前車運動狀態影響,會以其期望的最大速度自由行駛;處于跟馳狀態的車輛元胞具有較小的車頭時距,其運動狀態受車間距和前車速度影響,當車間距或者前車速度發生變化時,后車會動態調整其速度以便與前車保持合理的車間距和車速以避免撞車。

1.2.1 參數提取

美國國家科學院交通研究委員會建議采用5 s作為判斷車輛是否處于跟馳狀態的指標閾值,為了考慮指標冗余性,同時避免固定指標引起狀態轉換時可能引發的局部震蕩問題,本文采用5 s和6 s分別作為判斷自由流和跟馳流的指標閾值,并規定當車輛元胞的車頭時距小于5 s時,其進入跟馳狀態,否則處于自由行駛狀態;當處于跟馳狀態的車輛元胞的車頭時距大于6 s時,車輛元胞進入自由流狀態。

圖3 實測車輛速度統計結果

1.2.2 演化規則

根據車輛處于自由行駛和跟馳行駛兩種不同狀態,推導車輛元胞的狀態更新加速度。首先對狀態更新規則中的相關參數進行說明,如圖4所示。道路的坐標原點為模擬道路的起點,圖中xn(t)表示車輛n在t時步的車頭位置;Ln表示第n輛車的車長;gapn(t)表示第n輛車和第n-1輛車的車間距。

圖4 基本參數解釋

運動狀態更新的基本時間單位為1 s,根據運動學基本原理,存在的基本關系有

vn(t+1)=vn(t)+an(t+1)

(3)

(4)

xn-1(t)-xn(t)=gapn(t)+Ln-1

(5)

式(3)表示速度更新,式(4)表示位置更新,式(5)表示相鄰車輛元胞的空間關系。an(t+1)表示車輛n在t+1時步的加速度。

1)自由行駛狀態時,車輛期望提高速度以節省時間,同時又不希望速度過大以保證行駛安全,應該滿足的條件為

(6)

(7)

(8)

式(6)表示自由流時,車輛期望提高速度以節省時間,同時又不希望速度過大以保證行駛安全;式(7)是速度邊界條件,表示速度不能大于期望最大自由流速度;式(8)是加速度邊界條件,表示加速度不應大于常規最大加速度。

根據式(3)～(8),并忽略an-1(t+1)以實現向量化加載提高模擬效率,則加速度應滿足:

(9)

(10)

(11)

2)跟馳行駛狀態時,跟馳行駛應該滿足兩個目標:一是保持跟馳狀態;二是在出現緊急狀況時應該避免撞車。對于保持跟馳狀態應滿足:

(12)

vn(t+1)≤vn-1(t+1)

(13)

(14)

(15)

式(12)表示跟馳車輛應該與前車保持期望車頭時距;式(13)表示跟馳行駛的后車的速度不大于前車;式(14)表示加速度邊界條件,實際加速度不大于加速度最大值;式(15)表示更新后的車輛速度應不大于自由流期望最大速度。

緊急制動考慮如下理想狀態:假設在t+1時步,前車突然緊急剎車,并在i秒后將速度減至0 m/s。由于剎車燈的作用,后車發現前車剎車后也緊急剎車,并在i+n秒后將速度減至0 m/s,緊急剎車過程可以用圖5解釋。

圖5 緊急制動模式

在穩定的跟馳流中,后車的速度最終會與前車保持基本一致,或在前車速度附近波動,當前車緊急剎車,后車發現后也會緊急剎車。由于速度相近,發生緊急制動的車輛會在幾乎相同時間內停車?？紤]一般情況,城市道路最大車速120 km/h(33.3 m/s),當車輛以最大減速度(-8 m/s2)緊急剎車時,車輛將在4.2 s停車。本文取剎車時間為4 s,則剎車過程的行駛距離可以用以下公式描述:

(16)

(17)

為了避免撞車,停車后兩車位置應該滿足:

xn-1(t+1+4)-xn(t+1+4)≥Ln-1+Ssafe

(18)

式中Ssafe表示車輛停止時希望保持的安全距離。

同時,在t+1時刻,車輛應該具有減速空間:

xn-1(t+1)-xn(t+1)≥Ln-1

(19)

根據式(3)～(5)、(12)～(15)及式(16)～(19),并忽略an-1(t+1),跟馳狀態車輛加速度應該滿足:

(20)

(21)

(22)

(23)

3)緊急制動時,對于減速車輛,當車輛以期望最大減速度減速仍然不能避免相撞且不能換道時,觸發緊急制動,即車輛運動滿足下列條件時,觸發緊急制動。

(24)

當車輛觸發緊急制動時,車輛元胞的剎車狀態指征參數b更新為1,車輛采用剎車加速度進行速度更新,直至運動狀態不滿足緊急制動條件。

4)車輛行駛中會隨機變速,當滿足以下條件時,車輛隨機變速。

(25)

5)車輛行駛過程中會根據車間距換道,換道分為非必要性換道和必要性換道,非必要性換道指車輛在前方車輛速度較慢時,為追求更快的速度而發生的換道行為,必要性換道指在一定區間內必須實施的換道行為。必要性換道一般發生在匝道的分流、合流段等,橋梁一般不存在分流和合流段,因此本文只考慮非必要性換道。當滿足以下條件時,車輛觸發非必要換道條件,進行換道:

an(t+1)≤0

(26)

(27)

(28)

(29)

上述條件中,式(26)表示車輛在當前車道不能加速;式(27)、(28)表示車輛在目標車道可以加速,并且換道后,當前車輛與目標車道的前車的車頭時距不小于跟馳狀態期望車頭時距;式(29)表示換道車輛與目標車道的后車具有足夠的車間距。當滿足上述條件時,車輛可以換道。

在目標車道上,換道車輛車頭前的第一個車輛元胞為目標車道的前車鄰居元胞,換道車輛的車頭后的第一個車輛元胞為后車鄰居元胞,換道車輛元胞與鄰居車輛元胞的空間關系如圖6所示。

圖6 換道車輛與鄰居元胞的空間關系

本文雖然沒有考慮必要性換道條件,但是可以對本文模型進行改進實現必要性換道的模擬,可以通過對車輛元胞增加更多的描述其駕駛目標的限制性變量來描述車輛的必要性換道需求,同時在換道條件中增加更多的位置限定條件和速度限定條件來準確模擬車輛的必要性換道。

1.3 基于實測WIM數據的發車規則

本文提出基于實測WIM數據的發車規則,充分利用實測交通流信息,準確重構任意時段的車隊信息,并提出基于車頭時距的發車規則,重現實際車輛通過WIM的狀態?；趯崪y數據的發車規則如下。

首先根據實測WIM數據直接生成車隊:

(30)

然后按照順序,當車輛滿足式(31)時,車輛i將從入口將進入道路。

(31)

最后當車輛進入道路時,車輛初始位置通過式(32)確定。

(32)

1.4 隨機車流荷載模擬流程

圖7 隨機車流荷載模擬流程圖

2 算例驗證

2.1 WIM數據和模擬參數

2.2 車流宏觀特性模擬驗證

圖8和圖9表示24 h兩個車道的模擬車流和WIM數據的小時車流量和小時車輛總重對比結果?？梢钥吹?模擬車流的小時車流量和小時車輛總重與WIM數據吻合較好,車流量和車輛總重均能反映實際車流的時段特性,可以準確反映車流的非平穩性,說明提出的新的基于實測數據的發車規則能準確模擬實際車流的宏觀特性。

圖8 小時流量統計對比

圖9 小時總重對比

2.3 常規行駛狀態車輛微觀交互模擬驗證

通過提取模擬車流的典型場景中車輛的運動狀態變化過程說明所提模型微觀交互模擬的合理性,常規車流中的典型場景是加減速和變換道。圖10(a)表示車道2某時段的模擬車流的時空斑圖,圖中黑框部分表示車輛換道引起的加減速變換過程,黑框的放大圖如圖10(b)?？梢钥吹?在某時步突然有車換入該車道(具體表現為某輛車的時空軌跡不連續,如圖10 (b)空心圓),導致跟隨其后面的車輛的車頭時距發生變化,后車隨即調整速度以適應這種變化,后車調整速度的具體表現為其時空軌跡改變原始路徑,路徑向右偏斜表示其單位時間內行駛的距離減小,即發生減速行為。

圖10 正常行駛時空斑圖

圖11 速度和加速度更新(本文模型)

2.4 緊急剎車狀態驗證

實際模擬車流沒有觸發緊急制動,為了驗證提出的模型模擬車輛緊急制動的可行性,人工設定觸發車輛緊急制動,車輛從開始制動至制動結束共持時15 s。圖12(a)表示緊急制動的時空斑圖,圖12(b)表示圖12(a)方框中緊急制動期間相關車輛的時空斑圖?？梢钥吹?當前車開始緊急制動后,后車隨著車頭時距的改變其運動狀態也相應發生變化,當后車進入跟馳狀態時,也開始制動。制動車輛時空斑圖表現為車輛軌跡斜率逐漸減小,當完全停止后,其斜率變為0,即車輛位置不再隨著時間產生變化。制動結束時,所有減速至速度為0 m/s的車輛都以相同加速度2 m/s2開始啟動,隨后按照狀態更新規則進行狀態更新。

圖12 時空斑圖-緊急制動過程

圖13展示了緊急制動期間,相關車輛的速度和加速度隨著車頭時距的變化過程。車輛1為開始制動車輛,車輛2為跟隨車輛。當車輛1緊急剎車后,其速度逐漸減小至0 m/s;車輛2開始階段車頭時距大于5 s,處于自由行駛狀態,當跟隨車輛進入跟馳狀態后也開始緊急剎車,直至停止。當制動結束,所有停止的車輛按照2 m/s2的加速度啟動,然后按照更新規則計算每時步的加速度,完成狀態更新。該過程完整模擬了車輛在不同行駛狀態下的緊急剎車、停止和重啟動過程,表明所提模型模擬緊急制動狀況的可行性。

圖13 緊急制動過程速度和加速度變化

2.5 車輛荷載模擬驗證

為了驗證提出的模型精確模擬車輛荷載的能力,不考慮變換道,重新模擬隨機車流,并采用影響線加載的方式計算荷載效應。同時采用本文模型、傳統NS模型和WIM數據計算荷載效應,并進行對比。為了避免不同車輛的軸載對結果的影響,采用20 m簡支梁跨中彎矩作為對比效應。20 m簡支梁的荷載效應由單輛車控制,因此通過對比20 m簡支梁的荷載效應可以準確判斷本文模型車輛荷載的模擬精度。采用WIM數據進行荷載效應計算時不考慮車輛的微觀交互,設定所有車輛都采用通過WIM時的速度勻速行駛。在實際車流中很可能存在后車速度大于前車速度的狀況,在這種情況下,勻速行駛的車輛有可能會因為車間距不斷減小而發生撞車,從而影響計算結果。為了得到準確的荷載效應,當發現車輛的車間距小于當前速度時,將后車車速強制設為前車車速。為了準確獲得極值荷載效應,將加載時步設為0.01 s,即每時步得到100個計算結果,然后選取絕對值最大的荷載效應作為每秒計算結果的代表值。

圖14～16給出基于WIM數據、本文模型和NS模型計算的24 h荷載效應的統計結果?？梢钥吹?基于本文模型和WIM數據計算的荷載效應的統計分布幾乎完全一致,基于NS模型的計算結果在最大值和分位值上均與WIM結果存在差異,這是由于NS模型只能以集中力的方式模擬車輛荷載。表1給出第4、第10和第16小時的最大荷載效應的對比結果,以WIM結果為基準計算相對誤差。第4、第10和第16小時的車流分別對應稀疏流、密集流和中等密集車流?？梢钥吹?本文模型和WIM結果幾乎完全一致,相對誤差均小于0.1%,而NS模型與WIM結果最大相對誤差接近8%。該結果說明,本文模型能準確的模擬車輛軸載。需要說明的是,荷載效應的相對誤差受車輛軸間距的影響較大,當軸間距較小時,荷載效應相對誤差較小,當軸間距較大時,相對誤差也會變大。一般重車的車間距較大,因此當實際重車較多時,該相對誤差還會更大。

表1 彎矩統計值對比

圖14 基于WIM數據計算的荷載效應小時統計箱形圖

從圖15還可以看到,統計結果的箱形圖表現出明顯的時變特性。各小時的最大荷載效應比較接近,但是不同小時的箱形圖的箱體差異較大,這說明在各時段均存在重車,不同時段的車重(車型)表現出明顯的差異性,在8:00—21:00時,車輛以小重量車為主,在其他時段,車輛以大重量車為主。該結果說明,本文提出的模型能重構時段車流,并準確反映時段車流的時變特性。

圖15 基于本文模型計算的荷載效應小時統計箱形圖

圖16 基于NS模型計算的荷載效應小時統計箱形圖

3 結 論

為實現橋址隨機車流荷載的準確模擬,解決傳統元胞自動機模型不能準確模擬車輛荷載與合理的微觀交互行為的缺點,提出了基于可變元胞與跟馳理論的新型元胞自動機模型。采用實測WIM數據驗證所提模型的可行性,得到以下結論:

1)提出的可變元胞以車輛為核心,不依賴于傳統的固定尺寸的元胞晶格,能精確反映實際車輛尺寸、軸間距等信息。結合融入的軸載信息,可以實現車輛荷載的精確模擬。

2)提出的基于跟馳理論的狀態更新規則能準確反映實際車流特性,并能計算每個車輛元胞的專屬加速度,因此,模擬的車輛的微觀交互也更符合實際車輛駕駛行為,得到的車輛的時空位置也更合理。

3)基于WIM數據的車隊重構規則能生成任意時段的真實車隊,不受數據量的限制。結合提出的發車規則,可以重現實際車輛通過WIM系統時的狀態,賦予模擬車流符合實際的初始運動狀態。

4)基于實測數據的發車規則和跟馳理論的轉換規則保證了模擬車流中車輛時空位置的合理性,結合車輛元胞中精確的軸載信息,實現隨機車流荷載的準確模擬。提出的元胞自動機模型可以實現橋址任意時段的隨機車流荷載的模擬。