基于CPFS結構的圓錐曲線教學研究

黃婕

摘 要：良好的數學認知結構應該呈現出一個層次分明的網絡形式，如何構建起一個完整的數學認知框架對學生的數學學習起著關鍵作用.本文利用CPFS結構理論來分析高中圓錐曲線的CPFS結構，并以“橢圓的簡單幾何性質”一課為例，進行基于CPFS結構理論的圓錐曲線教學研究.

關鍵詞：CPFS結構；圓錐曲線；教學研究

在眾多影響學生學習的因素中，學生的認知結構是最為重要的影響因素^［1］.數學學習的過程是讓學習者的認知結構日益完善的過程，這一點在現代數學教育家中被廣泛認可^［2］.CPFS結構是一種數學學習特有的認知結構^［3］.它可以幫助學生更好地理解和應用數學知識，從而加深他們對數學的理解，提高他們的數學能力.

1 CPFS結構組成

CPFS結構由四部分組成：概念域、概念系、命題域和命題系^［3］.CPFS是一個高度抽象的數學概念，是一個命題及其中包含的數學思維的有機整體. CPFS比數學認知結構具有更高的精確度，能夠對學習者的邏輯思維進行訓練，并對其終身學習能力的發展起到推動作用.

1.1 概念域

概念域是指這個概念完全等效定義的圖式.更確切地說，就是指某一概念（知識）的某些等價定義在個人腦海中所構成的知識網絡與個人對于數學知識的表征^［3］.

1.2 概念系

通俗地說，某一概念的全部等價概念就共同組成一個概念域，而概念系是指概念間所滿足的一組關系^［3］.概念系強調若干數學概念間的互相關聯，亦要求學習者把腦海中原有知識與新學概念建立聯系，即架起新、舊知識間的橋梁，讓腦海中知識構成一個關聯的整體.

1.3 命題域

等價命題網絡是由典型命題的等價命題集與連接這些命題之間的互推關系所構成的，等價命題網絡的圖式就稱為典型命題的命題域^［3］.對于給定一個特殊的數學問題或一類特殊的實際問題，可以利用這個最易被理解的典型命題來研究它所對應的具體對象之間的聯系.

1.4 命題系

在一個命題集中，每個命題都至少與其他命題存在一種“演繹”上的關聯，這樣該命題就被劃分為一個半等價命題的圖式^［3］.經過仔細分析，不難發現，在大多數情況下，命題系實際上是一個自然擴展的命題域，而命題域實際上是某個命題系的一個子圖式.

2 基于CPFS結構理論的圓錐曲線教學研究

2.1 教學內容分析

本節課的內容選自人教A版選擇性必修第一冊中的“橢圓的簡單幾何性質”.

在解析幾何領域，一個基本問題是利用曲線方程研究曲線的幾何性質，而“橢圓的簡單幾何性質”則是學生首次系統地學習如何在解析幾何中運用代數手段來研究曲線性質，這為后續基于方程研究雙曲線、拋物線甚至一般曲線的幾何性質都具有示范作用.

2.2 學生學情分析

關于解析幾何中的直線、圓等基礎知識，以及在上一節課中所學習的橢圓的定義及其標準方程，學生已經有了一定的掌握，學生也有用函數圖象研究相應函數性質的經歷.在高中階段，大多數學生的思維更加靈活，對于學習的熱情也很高，參與意識強烈，有一定動手體驗和探究的興趣.但總體上學生創造力較弱，看待與分析問題不深入，知識的系統性不完善，需要進一步提高邏輯推理等方面的能力.

2.3 教學目標設定

基于上述教材內容分析和學生學情分析，設定教學目標如下.

（1）掌握橢圓的簡單幾何性質，并能初步運用其性質解決問題.

（2）類比函數性質的研究，經歷橢圓幾何性質的推導和證明過程.通過圖形觀察和代數證明，建立橢圓的標準方程結構特點和幾何性質之間的聯系.

（3）掌握利用曲線方程探索曲線性質的一般方法，感知數形結合、類比、函數與方程等數學思想方法，促進學生直觀想象，邏輯推理等數學核心素養的發展，擴充和完善學生的CPFS結構.

2.4 教學設計

片段一：創設問題情境，促進CPFS結構聯系性發展

師生活動：教師請學生嘗試繪制橢圓x²9＋y²4＝1，教師進行巡視并適當指導，在作圖過程中，學生主要運用定義法、描點法和幾何性質法三種方案.

問題1：橢圓可能有哪些幾何性質？怎么研究這些幾何性質？

設計意圖：通過創設數學問題類情境，激發學生思考.讓學生在作圖過程中，感受到定義法和描點法存在不足，引發認知沖突，教師進而闡明利用幾何性質作圖的必要性，由此順利地引入課題.該情境的創設基于學生前面所學的相關知識，不僅可以重新回顧現有的知識結構，激發學生的學習熱情，更能夠幫助學生建立前后知識間的連貫性，為擴展橢圓CPFS結構做好充分準備.

師生活動：教師讓每個學生任意繪制一個橢圓x²a²＋y²b²＝1（a＞b＞0），相互對照，觀察這些橢圓的圖象，它們在“形”的角度有沒有異同點？學生自行繪制并比較，在教師的引導下得出結論.

問題2：橢圓作為一種曲線，曲線的方程和函數的解析式之間有什么關系？由此你有什么啟發？

問題3：以前我們研究過函數的哪些性質？ 這些性質和橢圓的幾何性質有聯系嗎？

設計意圖：引導學生通過觀察圖象，初步形成對橢圓幾何性質的整體印象，找到橢圓之間的共同點：范圍、對稱性、頂點.不同點：扁平程度.為后續研究圓錐曲線的幾何性質奠定了基礎.引導學生將曲線的方程與函數解析式進行類比，幫助學生更好地理解數學知識之間的內在聯系，促進CPFS結構聯系性發展.

片段二：設計探究活動，促進CPFS結構形成性發展

任務一：限定橢圓的范圍

問題4：什么是函數的定義域和值域？

追問1：類比研究函數的定義域和值域，你認為可以研究橢圓的什么性質？

追問2：觀察橢圓的圖象，橢圓的范圍是什么？

追問3：我們能通過橢圓的標準方程x²a²＋y²b²＝1來確定它的范圍嗎？

設計意圖：類比函數的定義域和值域，學生猜想可以研究橢圓的范圍.先讓學生從圖象上直觀感知，再用代數法進行驗證，最終得到橢圓的范圍.學生在觀察圖象和數學運算中深刻體會到函數與方程、數形結合的思想.

任務二：探究橢圓的對稱性

問題5：在“形”和“數”這兩個方面，函數的奇偶性分別有什么結論？

問題6：類比函數的奇偶性，你認為可以研究橢圓的什么性質？可以從哪些方面進行研究？

追問：從“形”上看，橢圓具有什么特征？能從“數”的角度進一步驗證嗎？

設計意圖：在通過觀察圖象直觀得到橢圓具有對稱性的基礎上，再進一步利用橢圓的標準方程來證明，從而更深刻地領悟數形結合的思想.教師運用問題鏈的方式對學生進行追問，可以引導他們逐步建立起各個知識點之間的相互關聯，并不斷形成和拓展CPFS結構.

任務三：尋找橢圓的頂點

問題7：在圖象上，函數的最值指的是什么？

追問1：類比函數的最值可以研究橢圓的什么性質？

追問2：類比函數頂點的定義和結合圖象觀察，橢圓有幾個頂點？具體是哪些？

設計意圖：類比函數的頂點定義引導學生刻畫橢圓的頂點，再利用幾何直觀進一步研究得出橢圓的頂點坐標，在這過程中讓學生體會到類比遷移和數形結合的思想，提高了思維的深刻性.在本任務中，教師主要通過提出一系列問題來整理和總結結論，有助于學生能夠有條不紊地將該部分知識整合到他們的CPFS結構中.

任務四：掌握橢圓的離心率

問題8：根據剛剛所學知識，請同學們嘗試在同一直角坐標系上繪制出橢圓x²36＋y²9＝1和x²36＋y²16＝1的圖象.觀察圖象，它們在形狀上有何差異嗎？

追問1：在橢圓的標準方程中，哪些量的變化會導致橢圓的扁平程度不同？請再嘗試畫出橢圓x²25＋y²16＝1進行分析.

追問2：畫出三個橢圓的邊界矩形，觀察并思考，a和b怎么影響邊界矩形的扁平程度？

設計意圖：通過繪制三個不同的橢圓，學生可以更直接感受到橢圓扁平程度的差異.利用“數形結合”引導學生找出影響橢圓扁平程度的參數，并以邊界矩形為“橋梁”進一步尋找參數a，b與橢圓扁平程度的關系.

問題9：能否從橢圓的定義出發，利用橢圓的基本量a和c來刻畫橢圓的扁平程度？

師生活動：教師運用信息技術，根據橢圓的定義畫出給定長軸的長度和焦點坐標的橢圓，引導學生觀察并思考：保持半焦距c不變，拖動頂點的位置，或者保持長半軸長a不變，拖動焦點的位置發現了什么？將a，c同時放大或縮小，又發現了什么？ 師生共同討論得出結論并給出離心率e的概念.

問題10：離心率e的取值范圍是多少？能嘗試從代數的角度說明離心率e如何影響橢圓的扁平程度嗎？

設計意圖：教師根據a，b，c之間的關系，引導學生從ba過渡到ca刻畫橢圓的扁平程度.通過信息技術的形象展示，使學生能夠更直觀地感知橢圓扁平程度的變化，進而建立數學模型e＝ca來反映橢圓的扁平程度，領悟其變化規律.在代數運算過程中，學生也進一步明晰了離心率的變化對橢圓扁平程度的具體影響，從而深刻理解離心率的概念.

在本教學片段中，教師利用設計探究活動和問題鏈的方式引導學生親身經歷知識的形成過程，以激發學生逐步構建知識結構，促進

CPFS結構形成性發展，提高學生的核心素養.

片段三：指導知識建構，促進CPFS結構結構性發展

問題11：請你根據前面的探究，嘗試總結出焦點在坐標軸上的橢圓的幾何性質.

設計意圖：通過類比已有知識，將新舊知識進行連接，學生能夠自主總結出焦點在坐標軸上的橢圓的幾何性質.這個主動發現、探索和創造的過程，有利于激發他們的邏輯思維能力，還為他們在學習雙曲線和拋物線的幾何性質時提供堅實的基礎.同時，還能幫助學生建構知識，將所學知識有機地融合在一起，形成一個相互關聯、有序的整體，促進CPFS結構結構性發展.

片段四：運用變式練習，促進CPFS結構深化性發展

例題：已知橢圓的焦點在x軸上，a＝5，e＝35，求該橢圓的標準方程.

變式：已知橢圓經過兩點（-22，0）和（0，2），求該橢圓的標準方程.

設計意圖：通過變式練習讓學生學會分析問題，尋找問題的切入點，加深學生對橢圓幾何性質的認識與應用，進而拓展思維，合理鏈接知識，培養學生思維的靈活性與全面性，鞏固和完善他們頭腦中剛剛建立起來的

CPFS結構，促進CPFS結構深化性發展.

片段五：總結強化提升，促進CPFS結構整體性發展

問題12：梳理本節課的所學知識以及探究過程，請嘗試從知識、方法、數學思想等幾個方面說說有哪些收獲？

師生活動：師生共同構建本節課的知識和思想方法結構圖，促進學生知識的系統化.

設計意圖：教師幫助學生建立知識間的縱橫聯系，構建數學知識的整體結構，總結形成思想方法體系，從而提升數學思維品質，提升數學素養，促進CPFS結構整體性發展.

3 基于CPFS結構理論的圓錐曲線教學策略

3.1 變式教學——多元表征理解所學，構建完備知識網絡

在日常的教學過程中，教師可以采用變式教學來擴充和完善學生的CPFS結構.變式教學可以幫助學生從多個角度全面理解所學內容，從而獲得更加深入的學習體驗.此外，為了提高教育教學的質量，教師需要對知識內涵進行深入剖析，并巧妙地將概念、習題以及命題的多種變化形式應用于實際教學中.教師還可以運用點帶面的思維方式，通過對所學內容的延伸和擴展，構建一個完備的知識網絡^［4］.

在教學實踐中，教師應當采用多樣化的教學方法，以協助學生全面掌握各種表達形式，從而使他們能夠精準地理解不同形式之間的差異和相似之處^［5］.比如，當教授“橢圓的概念”時，教師應運用多種教學方法，多角度闡釋橢圓的概念，進而幫助學生更好地理解抽象的概念.先以日常生活中常見的橢圓形物體或圖片為切入點，幫助學生初步理解橢圓的概念，從而將其引入本次教學.接著，結合生活實例，將橢圓與現實生活聯系起來，激發學生的學習興趣和求知欲.以學生為中心，引導他們深入了解橢圓的形成過程，從而順暢地闡述橢圓的第一定義，進一步加強學生對橢圓定義的理解.再結合相關案例來分析討論如何利用生活實例講解橢圓的第二定義，從而使學生更好地感受到橢圓是什么以及它存在的意義.緊隨其后，教師可以運用多種類型的實例，深入地探討橢圓的概念.在課程的末尾，引導學生歸納和總結橢圓的定義，來促進對橢圓定義的全面理解，并將其融入到自己的知識網絡中，從而建立一個更加系統的知識框架，實現完整CPFS結構的構建.

3.2 分層教學——尊重差異因材施教，塑造個性知識結構

在日常的教學過程中，由于受到多種因素的影響，學生在知識水平、認知結構等方面難免會存在差異.因此，教師必須精準地洞察學生之間的差異，并根據這些差異對學生進行分組，以便為不同層次的學生量身定制適宜的授課方式，從而激發他們在學習過程中的自發性和積極性，幫助他們塑造個性化知識結構^［6］.

在教授圓錐曲線的課程時，對于那些已經建立了相當完備的認知結構的學生，教師可以教授更具綜合性和動態性的問題，如弦或弦長求定值或最值等問題，這有助于提升其認知水平，提高學習效率，進一步加強和鞏固他們的認知框架.在講解綜合性較強的問題時，教師可以特別關注學生對數學思維方法的運用，這樣不但可以幫助他們準確理解相關知識之間的聯系，還可以增強他們的認知結構，從而能有效促進學生綜合素質的提升.然而，對于那些在認知結構上存在缺陷的其他學生而言，教師應當避免傳授過于綜合的知識或練習.教師可以以圓錐曲線的定義為出發點，引導學生將問題的本質歸納為圓錐曲線定義的變形.在此基礎上再設計出幾個例題來引導學生去探索其中所蘊含的幾何意義，以此來協助學生逐步擴充和完善CPFS結構，以適應不斷變化的教學需求.

3.3 問題鏈教學——積極思考自主探究，擴充完善認知體系

目前來看，由于受到傳統應試教育觀念的影響，大多數老師都是將課堂上傳授的理論知識作為唯一的目標，忽略了課堂教學中所滲透出來的思維方法、思想情感等方面的教育，這樣被動地接受知識嚴重阻礙了學生的認知結構的形成^［7］.因此，教師需要采用更有利于學生形成認知結構的問題鏈式教學模式.這種方式有利于提高課堂教學效率，培養學生自主探究能力.通過運用問題鏈，引導學生積極思考，不斷深化對知識的理解和方法的運用，從而進一步擴充和完善他們的認知體系.

比如，在教授“橢圓的定義”這一教學內容時，教師可以提出以下問題鏈：問題一：回顧之前學習圓的過程，是怎樣得到圓的定義的？問題二：圓與橢圓之間存在什么聯系？圓怎么變化能得到橢圓？問題三：圓上的點的軌跡必須滿足哪些條件？問題四：類比所描述的圓上點的軌跡，嘗試說一說橢圓上點的運動軌跡？通過設計問題鏈，利用圓的定義來探究橢圓定義的本質，這樣不僅有助于學生在不同知識之間建立更加緊密的聯系，還能提高他們靈活地將知識運用到實際中解決問題的能力.

參考文獻

［1］喻平.數學問題解決認知模式及教學理論研究［D］.南京：南京師范大學，2002．

［2］喻平.數學學習心理的CPFS結構理論與實踐［M］.南寧：廣西教育出版社，2008．

［3］喻平，單墫.數學學習心理的CPFS結構理論［J］.數學教育學報，2003，12（1）：12--16．

［4］鮑紅梅，喻平.完善中學生CPFS結構的生長教學策略研究［J］.數學教育學報，2006，15（1）：45--49．

［5］李健.新課程背景下概率與統計的變式教學探析［J］.數學通報，2021，60（12）：37--40．

［6］王璐.基于CPFS結構理論的初中二次函數教學研究［D］.漳州：閩南師范大學，2023．

［7］焦竹云.初中生函數CPFS結構與函數建模水平的相關性研究［D］.新鄉：河南師范大學，2019．