數學思想方法統攝下的初中思維導圖析題研究

廖艷嫦

摘 要：在數學問題的解決過程中，起統攝作用的是數學思想方法.思維導圖析題作為解題反思的策略性工具，為數學思想方法的傳播、歸納、運用提供了渠道.實踐證明，思維導圖析題，可有效建構多個知識點之間的聯系接點，進一步鞏固新課標對相關知識點的要求，有利于增強學生對數學思想方法的運用意識，從而實現思維能力的提升.

關鍵詞：數學思想方法；思維導圖；析題

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，課程目標以學生發展為本，以核心素養為導向，進一步強調學生獲得數學基礎知識、基本技能、基本思想和基本活動經驗（簡稱“四基”），發展運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的能力（簡稱“四能”），形成正確的情感、態度和價值觀.明確了數學思想方法在義務教育階段培養目標中的重要地位，也為教師的教學提供了方向.

1 數學思想方法概述

人們在計劃完成某一項任務之前，總是根據現實情況制定切實可行的執行方案，這些方案就是“方法”.結合課程標準的課程目標，可以認為，運用數學知識與方法發現、提出、分析和解決問題的概括性策略就是數學方法.馬一浮先生指出：“從聞見得來的是知識，由自己體究，能將各種知識融會貫通，成為一個體系，名為思想.”涂榮豹、王光明、寧連華等數學大家認為，數學思想是對數學對象、數學概念和數學結構以及數學方法的本質性、概括性的認識.我們總是認為，數學就是由無數的單一知識點融匯而成的知識體系.教授知識點的數學課堂，學生思維容易固化，缺乏靈活性，不會創新.我們應該要讓學生深刻領會，數學知識不是單一的，數學思想方法有如橋梁般，把各個領域的數學知識有機地連接起來，環環相扣，形成明顯結構化、系統化的知識網絡，并為分析、處理和解決數學問題提供了方法和策略.

在初中數學知識體系中，主要蘊含數形結合的思想、轉化的思想、分類討論的思想、函數與方程的思想、整體的思想等.還包含配方法、因式分解法、待定系數法、換元法、構造法、等積法、反證法和判別式法八大數學方法.在幾乎所有的數學解題過程中，總是會涉及數學思想方法，這些思想方法以看不見的隱身形式存在著，如果老師不加以強調，學生就難以領會，更不要說加以運用了，因此，在數學解題的析題過程中，如何引導學生深刻領會其中蘊含的數學思想方法以及如何運用數學思想方法幫助解題，是教師解題教學中的重要環節.

2 思維導圖析題簡述

析題，是指在精心做題的基礎上，立足思維發展的角度，闡述在題目解答時所采用的思維方式、解題策略及依據，進而總結出經驗性解題規律并進行拓展引申.析題的角度有：問題求解主要涉及的基礎知識、問題求解主要涉及的數學思想方法、解決該問題的一般性思路或方法、解決該問題的可能思維障礙點與可能出錯點等.析題對象的價值不在題目的難易程度，而在于如何把題目所蘊含的數學思想方法更有效地呈現出來，從而形成經驗性的解題策略.思維導圖是一種可視化的思維工具，把思維導圖應用于數學問題的析題過程當中，可以把思考者思考問題的方式、分析條件的過程、尋求方法的步驟、總結技巧的結果等思維活動以圖示的方式展示出來，突出強調數學思想方法在知識鏈接方面上的作用，為學生提供問題分析的思路框架，學生獨立解題時，就能找到思維的立足點.運用思維導圖對析題過程進行梳理與總結，還可為學生反思解題過程提供適用工具.

3 思維導圖析題案例描述

題目：關于x的一元二次方程ax²+bx+1=0（a≠0）有兩個相等的實數根，求ab²/（a-2）²+b²-4的值.（題目來源：2022年廣東省廣州市中考數學試卷第19題）

題目點評：此題需要綜合運用一元二次方程和分式的知識來解決問題，考查學生綜合運用多個知識點解決問題的能力，滲透轉化和方程的數學思想方法，屬于中等難度的試題，具有一定的區分度.

問題分析：數學解題的過程實質上是一個變更問題的過程，即逐步地變換問題的表達方式，使問題從它的最初狀態變換到你想要的狀態.這一個問題變更的過程，就是思維的過程.學生掌握的關于題目的相關信息量的多少，決定了學生面對題目時，能否產生高效的思維活動，實現問題的變更.大多學生面對此題時，感覺無從下手，主要是因為題目的未知量比較多，對轉化的思想缺乏深刻的理解，不會靈活運用，哪怕是已經利用一元二次方程根的判別式列出方程，卻因為無法求出a、b的值而選擇放棄，忽略在分式化簡的基礎上可進行等量代換以轉化消元的解題方法.數學基礎薄弱的學生，甚至還沒有理清根的判別式與實數根的個數之間的關系，也不會對分式進行簡單的化簡，思維活動無法真正地產生.

析題方法：有效的析題首先要建立在學生對題目的精準解讀上.此題題干短小精練，條件簡單明了：關于x的一元二次方程ax²+bx+1=0（a≠0）有兩個相等的實數根.析題時，要注意引導學生把條件與一元二次方程根的判別式b²-4ac建立關聯，通過思維的發散，鞏固一元二次方程根的判別式中三種不同取值范圍與實數根不同個數之間的對應關系，再根據問題實際建立方程.題目的結論是要求ab²/（a-2）²+b²-4的值，要強調求值之前對分式進行化簡是一般的思路.對完全平方公式（a-2）²展開后，不能再進一步進行合并、約分，則要考慮轉化消元.觀察從條件出發推導出的結論以及從結論出發得到的結果，利用轉化思想達到消元的目的.

析題小結：一道數學習題的價值不在于其答案，而在于如何借助問題的條件與結論有效建構多個知識點之間的聯系，使題目隱含的思想方法顯性化.在思維的發散過程中，鞏固概念、深化概念，加大學生的知識儲備，讓學生在老師的幫助下掌握到思維的立足點與方向，提高思維的深度與廣度，從而提升思維能力.借助思維導圖進行析題過程的可視化，可幫助學生補拾缺失的知識，明確思維的方向，強調轉化的思想方法在解題中的作用，實現思維的發散與聚合.在中考代數部分的復習過程中，同學們會遇到很多類似運用轉化的思想進行解答的問題，析題后，宜進行相關的題組訓練，舉一反三回頭看，鞏固學生對轉化思想的靈活運用，形成經驗性解題策略.

4 思維導圖析題案例分析

利用思維導圖進行析題，是數學反思性學習的一種策略性方法.此方法的運用，可以進一步提升學生的解題能力與思維能力.

4.1 思維導圖析題，有效建構多個知識點之間的聯系接點

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系.可點狀的知識編排容易導致單向的信息加工，從而導致知識理解的淺表化、思維的機械化.一元二次方程根的判別式與分式的化簡看似毫無關系，學生很難把原本點狀、零散的知識聯系起來，得到問題解決的方案.本題的析題過程，以箭頭為連接工具，體現思維的導向，顯化思維的過程，以轉化的數學思想為橋梁，把不同的語言載體建立聯系，幫助學生構建一個清晰的、結構化的知識體系.這將會引導學生對知識進行更深層次、更全面的加工，大大提高對知識本質屬性的深刻認識，學會將知識轉化為數學思維，脫離重復的習題操練，減負增效.

4.2 思維導圖析題，進一步鞏固新課標對相關知識點的要求

對于一元二次方程根的判別式以及分式的化簡求值，《義務教育數學課程標準（2022年版）》皆有明確要求.一元二次方程根的判別式的學習蘊含分類討論的思想，學生在運用時需要準確地回憶判別式的三種取值范圍與根的個數之間的對應關系，建立不等式或方程，把問題進行第一步的變更，進一步考查學生一元一次方程或一元一次不等式的求解方法.對于分式的化簡而言，它的學習過程主要體現了類比的學習方法，其加、減、乘、除運算皆建立在分數的運算方法之上，并與因式分解、整式的化簡都有緊密的聯系.因此，在歷年的廣東省中考數學試題中，一元二次方程根的判別式與分式的化簡皆是常見的考點.學生對概念、知識的理解，是構成思維的基本材料，這些基本材料是輔助學生開展思維的必要條件.通過回顧完整的答案，重新斟酌、審查結果及導致結果的途徑，他們能夠鞏固知識，并培養他們的解題能力.當學生借助思維導圖這一工具把頭腦中關于這兩個知識點的聯想進行記錄時，學生就經歷了一次高效的復習過程，對概念、知識會產生更進一步的理解，對知識點的考查要求與方式也有了進一步的認識，當學生再遇上相關的考題時，思維活動將會更快速與有效.

4.3 思維導圖析題，有利于增強學生對數學思想方法的運用意識

在不同版本的數學教科書中，數學思想方法都沒有辦法進行系統的講述.數學思想方法不能獨立存在，它總是與具體的數學活動、數學問題共生共存，以隱形的方式存在著.學生對數學思想方法的接受、領悟、消化與運用，主要依靠教師在數學活動、問題解決過程中的提示、點撥與歸納.數學思想方法在日常數學課堂中的滲透，也體現了新課標關于數學核心素養的培養要求.其中，消元法從屬于轉化思想，是實現轉化的重要方式和策略.在初中的代數和幾何的問題解決中，經常會遇到幾個未知因素的同時出現，通過轉化，多元變一元，是解決問題的根本方法.本題中，題干并沒有提供任何具體的數值，要求分式的解，就需要先利用一元二次方程根的判別式列出方程，建立a、b

兩個元素之間的關系，再通過等量代換—消元—轉化的過程解決問題.思維導圖中強調轉化的過程，重在讓學生明白，轉化的思想是問題解決的關鍵，而轉化的方式則是消元，這對學生今后的學習有明顯的促進作用，增強學生運用數學思想方法的意識，有效提高學生的數學核心素養.

5 小結與展望

具體數學題目所蘊含的數學思想方法，為問題的解決提供了思維的著力點，是解題方針與策略選擇的決定因素.思維導圖析題，作為解題反思的策略性工具，為數學思想方法的傳播、歸納、運用提供了渠道.經常性地運用思維導圖進行析題，能幫助學生提高對數學思想方法的認識、把握和運用的能力，掌握開啟數學世界的“金鑰匙”，從而實現思維能力的提升.作為一線的數學教師，面對整體數學水平較低的學生，應以數學思想方法為指導，思維導圖為工具，引領學生開展經常性、多樣性的析題研究，幫助學生養成良好的思維習慣，形成經驗性的解題策略，更好地學習數學、理解數學、應用數學.

參考文獻

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