《線性代數》與物流專業融合教學案例設計

張曉華　盧冠明　王娟

摘 要：為了達到數學課服務專業課的目的，本文以物流管理專業為例，設計齊次線性方程組解的結構的教學方案，將思政元素有機地浸潤于課程內容中，通過典型的專業案例分析，讓學生掌握齊次線性方程組解法的同時，培養了學生解決專業問題的數學思想，達到學以致用的目的.

關鍵詞：齊次線性方程組；基礎解系；物流共享

2020年5月教育部發布了《高等學校課程思政建設指導綱要》（以下簡稱《綱要》），其中指出“要全面推進高校課程思政建設，發揮好每門課程的育人作用，提高高校人才培養質量.”《綱要》對推進高校課程思政建設進行了整體設計，其中高等職業學校根據高職專業分類和課程設置情況，分類推進.《線性代數》是高職院校經濟管理專業的一門重要基礎課程，是學習后繼課程的工具.在思政教改項目中，我們深挖教學內容和教學案例，將思政元素有機地浸潤到課程內容中.為了實現基礎課服務專業課的目的，我們與專業課教師研討，增加專業案例，讓學生達到學以致用的目的.

以物流管理專業為例，在物流公司的運營和管理等過程中，經常會遇到需求預測、路徑規劃、庫存管理、約束優化、風險管理以及數據分析等問題.《線性代數》在解決這些問題的過程中發揮著重要的作用.如何在《線性代數》的授課環節中體現物流管理的專業性，本文以齊次線性方程組的解為例展開介紹.

1 總體目標

1.1 知識目標

通過課程學習，學生能夠掌握齊次線性方程組基礎解系的求法，以及王卿文教授提出的基礎解系的新求法，了解物流共享的概念.

1.2 能力目標

通過學習研討，學生能夠利用齊次線性方程組的理論建立物流共享模式下，各物流公司定價的模型，解決專業問題；學會利用數學軟件求解方程組的解.

1.3 思政目標

通過介紹王卿文教授發現的基礎解系的新解法，增強學生的民族自信心；通過介紹物流行業高質量發展，增強學生的職業歸屬感；意識到物流行業高速發展離不開公路、鐵路等基礎建設的支撐，增強學生實現中華民族偉大復興的使命感.

2 教學過程

2.1 課前

職教云平臺發布作業：嘗試求解下列齊次線性方程組

求出上述齊次線性方程組后，請仔細觀察該齊次線性方程組的解，回答下列問題：

Q1：該齊次線性方程組的解是否可以寫成向量的形式，如果可以的話，請將其寫成向量形式；

Q2：向量X₁＝（－2，1，1，0）是否是該齊次線性方程組的解？

Q3：向量X₂＝（2，－1，0，1）是否是該齊次線性方程組的解？

Q4：向量X₁＝（－2，1，1，0）和向量X₂＝（2，－1，0，1）是什么關系？

Q5：向量3X₁，5X₂是否是該齊次線性方程組的解，向量X₁＋2X₂是否是該齊次線性方程組的解？

Q6：嘗試給出未知量個數、系數矩陣的秩、自由變量個數之間的關系.

2.2 課中

評價作業、展示優秀：教師評價小組作業，優秀作業小組組長上臺講解.

歸納總結、新知學習：由這六個問題的答案，教師歸納總結并給出齊次線性方程組的性質，由齊次線性方程組的性質給出基礎解系的定義，并給出齊次線性方程組的解法.

案例分析、學以致用：雙十一各大購物平臺打出一年中最優惠的價格，激發了我們的購買欲，如今的雙十一已經成為了全民狂歡日.從2018年雙十一，單日物流訂單量首次突破了10億.一天10億包裹單，這是人類歷史上從未有過的貨物大遷徙，也是全球物流業從未經歷過的包裹奇跡.我校學生連續多年在實訓室見證了這一奇跡.從一天26萬單爆倉到一天10億單，作為物流專業的我們，有沒有想過，是什么讓中國物流“春運”洪峰平靜如水地度過的呢？答案是國家智能物流骨干網的支撐作用.骨干網覆蓋全國，采用智能化、自動化、信息化的技術手段，為物流企業提供便利、高效、安全的物流服務.同時，骨干網具有開放共享的發展方式，符合國家高質量發展的精神.

現在假設有三家物流公司L₁，L₂，L₃.三家物流公司同意彼此運輸工具實行資源共享，由于運輸工具與成本不同，他們達成如下協議：

（1）每個公司總共工作10天（包括給自己公司運輸在內）；

（2）根據測算，每個公司的日收入在30至40萬元；

（3）每個公司的日收入使得每個公司的總收入與總支出相等.

請計算每個公司應得的日收入.

這是三家公司運輸工具工作情況，表中的列，表示其中一家物流公司的交通工具在三家物流公司的工作情況.表中的行，表示三家物流公司的運輸工具在某家物流公司的工作情況.

小組討論，建立模型：等量關系為每個公司的總支出與總收入相等，建模難度適中.通過小組討論，老師啟發，都能成功建立模型.請率先完成建模的小組代表上臺講解.模型如下，

設L₁，L₂，L₃三家公司的日收入分別為x₁，x₂，x₃，公司支出為工資，由總收入與總支出相等，建立方程組得

求解結果為

由于每個公司的日收入在30至40萬元，可以選擇C＝36，這樣L₁，L₂，L₃三家物流公司的日收入分別為31萬元、32萬元、36萬元.

為了讓學生對方程組的解有直觀的認識，在這里鼓勵學生使用GeoGebra模擬該方程組的解，如下，

該齊次線性方程組未知量個數為3，系數矩陣的秩為2，自由變量個數為1，系數矩陣的秩小于未知量個數，由線性方程組解的判定可知，該方程組有無窮多解.從圖中可以看出該方程組的解為空間中的一條直線.

課程思政、樹立自信：介紹求解齊次線性方程組基礎解系的一種新方法，被稱為求解齊次線性方程組基礎解系最簡單的方法.該方法是上海大學王卿文教授于上世紀90年代發現的，并將該方法編入自己編寫的教材《線性代數核心思想及應用》.該方法與傳統方法略有不同，具體步驟如下：

第一步，將方程系數按列排列，后面加同型的單位矩陣，

第二步，對矩陣進行行變換，將其化成行階梯型，

第三步，觀察后三列，即之前為單位陣的部分.后n－r行就是齊次線性方程組的一個基礎解系.

與傳統的解法相比，該方法不需要化成行最簡型，簡化了步驟.值得我們驕傲的是，這種方法是中國人發現的.我們所學的知識本就是發展的，經歷了幾百年沉淀的數學內容仍然可以改進！日常的學習中，我們要善于思考，勤于探索，勇于創新.

練習鞏固、知識拓展：如果將上述例題中物流公司增加至九家，分別是L_i（i＝1，…，9）.這九家物流公司同意彼此實行資源共享，由于運輸工具與成本不同，他們達成如下協議：

（1）每個公司總共工作25天（包括給自己公司運輸在內）；

（2）根據測算，每個公司的日收入在20至40萬元；

（3）每個公司的日收入使得每個公司的總收入與總支出相等.

請計算每個公司應得的日收入.

下表為九家公司運輸工具工作情況：

小組討論、建立模型：該模型與之前的模型類似，完成度較好，但是由于物流公司較多，手工求解不現實，啟發學生用數學軟件Matlab求解.請完成度較好的小組代表展示小組討論結果，模型如下，

設L_i（i＝1，…，9）九家公司的日收入分別為x_i（i＝1，…，9），各個公司支出為工資，由總收入與總支出相等，建立方程組得

在Matlab命令窗口中輸入系數矩陣，利用null命令求解，得出結果

由于每個公司的日收入在20至40萬元，可以選擇C＝21，這樣L_i（i＝1，…，9）九家公司的日收入分別約為29.4萬元、31.7萬元、36.2萬元、34.3萬元、32.7萬元、23.6萬元、38.2萬元、28.9萬元和21萬元.

思政元素、感恩前行：中國物流行業的高質量發展離不開公路、鐵路、航空建設的支撐.不屈不撓的中國人逢山開路、遇水架橋，為中國物流業的高質量發展打下了堅實的基礎！

內容總結：

（1）齊次線性方程組基礎解系的求法.

（2）齊次線性方程組基礎解系的最簡單求法.

（3）了解物流共享模式下，各物流公司定價問題.

布置任務：

（1）觀看課程資源庫，及時復習本節課內容.

（2）完成課后指定作業.

（3）預習非齊次線性方程組解的結構.

2.3 課后

（1）推送作業.

（2）線上解答學生問題.

（3）反思改進.

本節課課前布置任務，有效地引導學生小組討論，互幫互助，共同探討齊次線性方程組解的結構.其中發現個別學生積極性較差，依賴性較強，后面分組時需要考慮個體差異及同學間關系，充分調動學生討論的積極性.課中點評小組作業，優秀代表講解，激發學生的榮譽感及學習興趣.學生對于物流共享案例很感興趣，通過小組討論建模順利.數形結合，加深學生對方程組解的理解.王卿文教授發現齊次線性方程組的簡單解法激發了學生的民族自豪感及創新意識.對于未知量多的方程組求解，啟發學生用數學軟件求解.個別學生數學軟件使用不熟練，需要課后練習.課后主要線上答疑，解決學生在做題過程中發現問題.

3 結語

本次課結合專業案例，以小組協作的形式探究式地學習了齊次線性方程組解的結構.浸潤式地融入了思政元素，包括王卿文教授發現基礎解系的最簡單解法以及中國基建的發展為中國物流的高質量發展提供了強有力的支撐.這些思政案例極大地激勵了學生的民族自豪感及職業歸屬感，本次課有效地達到了基礎課服務專業課的目的.

參考文獻

［1］王卿文.線性代數核心思想及應用［M］.北京：科學出版社，2012．

［2］王卿文，張琴，楊建生.遵循“兩性一度”原則，設計線性代數課程教學——以齊次線性方程組為例［J］.高等數學研究，2022，25（4）：89--92．

［3］周儒省，柴華金.融合案例的線性代數課程教學實踐［J］.高師理科學刊，2023，43（9）：70--75．

［4］加春燕.高職數學“五動”信息化教學設計與實施——以“數據擬合”模塊為例［J］.北京工業職業技術學報，2022，21（2）：103--107．