基于UbD理論的數學概念教學

顧靜凌

［摘? 要］ 文章概述UbD逆向設計理論，并以“函數的概念”為例，探究在UbD逆向設計框架下教師如何確定預期目標、理清評價證據、設計教學活動.

［關鍵詞］ UbD逆向設計；概念教學；教學設計

概念是數學的基石，是數學中定理、性質、公式的基礎. 當前，數學概念教學“輕概念+重訓練”的現象屢見不鮮，其結果是學生只會機械式記憶、模仿，沒有真正理解數學概念的本質，這樣的概念教學嚴重挫敗了學生學習數學的熱情.

對于數學概念課，教師應如何進行教學設計，有效實施教學？UbD逆向設計理論提出了基于理解的課堂教學設計模式，有效指導教師進行數學概念教學設計，幫助眾多教師突破教學設計瓶頸.

UbD逆向設計理論概述

20世紀50年代，美國教育評價家拉爾夫·泰勒首先提出了基于教學目標的課堂教學設計模式. 之后，美國課程研究專家格蘭特·威金斯和杰伊·麥克泰在此基礎上提出了UbD教學設計理論. 它是一種基于理解的逆向設計理論，即先確定學習的預期結果，再明確預期結果達到的證據，最后設計課堂教學框架.

UbD逆向設計，屬于建構主義認知理論，它強調學生為主體、評價先行，以促進學生有意義學習為指向，凸顯課程評價對教學活動的指導作用. 逆向設計要求教師依據課程標準，從學情出發，明確符合學生一般認知規律的學習目標設計課程. UbD逆向設計框架包括三個階段，分別為確定預期目標、理清評價證據、設計教學活動.

第一階段，確定預期目標. 基于學生的認知水平，確定學生學習的重點，預定目標，讓學生明確需要了解什么、掌握什么.

第二階段，理清評價證據. 圍繞預期目標設計評價學生學習效果的標準，思考評價方法，收集評價依據.

第三階段，設計教學活動. 在明確預期目標與評價方式之后，確定組織怎樣的教學活動，實現預期目標.

UbD逆向設計理論下的數學概念教學案例

UbD逆向設計理論的核心是理解，旨在促進學生深入理解知識，掌握技能. UbD逆向設計框架一般包含五個教學環節，簡稱“WHERE”，即制定教學目標（Where），激發學習興趣（Hook），深入探究主題（Explore），反思學習過程（Rethink），評估學習所得（Evaluate）. 本文結合人教A版必修第一冊（2019版）教材中的“函數的概念”，介紹在UbD逆向設計框架下教師如何確定預期目標、理清評價證據、設計教學活動.

1. 第一階段：確定預期目標

UbD逆向設計的第一階段是確定預期目標與基本問題. 在學生的知識體系中，函數的概念源于初中的定義，它是從運動變化的觀點下把函數看成兩個變量之間的依賴關系，但根據此觀點，如f（x）=2這樣的函數就很難深入研究. 進入高中階段，引入集合的概念后，函數的概念更具有一般性，其抽象程度高，對學生的理解能力的要求更高.

根據課程標準的要求以及學生的認知規律，筆者確定本節課有兩個基本問題需要解決，一是為什么要在初中函數概念的基礎上繼續學習函數的概念？二是如何用集合和對應關系刻畫函數，建立完整的函數概念？首先，在學生用初中函數概念判斷兩個變量之間的關系時引起認知沖突，讓學生認識到高中研究函數概念的必要性. 其次，利用問題情境，引導學生嘗試用準確的語言表述函數關系，為抽象歸納完整的函數概念做準備.最后，引導學生分析歸納問題情境中的共同點，生成完整的函數概念. （概念建構的目標框架如圖1所示）

2. 第二階段：理清評價證據

UbD逆向設計的目的是提高教學活動的有效性. 為評估學生的學習表現，教師需要基于教學目標制定評估標準和方法（具體如表1所示）.

3. 第三階段：設計教學活動

（1）分析學習任務，制定教學目標（Where）.

①理解函數的定義，能在具體實例中抽象出集合觀下的函數概念；

②體會特殊到一般和一般到特殊的思想方法，滲透歸納推理，感悟數學抽象；

③在數學活動中感受數學的抽象性與簡潔美.

（2）創設問題情境，激發學習興趣（Hook）.

生活情境：高鐵運行問題，工人工資問題，空氣質量問題……

設計意圖 從生活實例出發，引導學生通過生活實例直觀感知變量間的依賴關系，引入函數的概念，感受“無處沒數學，處處有數學”的價值觀，激發學生學習數學的興趣.

（3）深入探究主題，培養思維能力（Explore）.

回眸初中的函數概念：在變化過程中，有兩個變量x和y，如果給定一個x值，相應地就確定了一個y值，那么我們稱y是x的函數.其中x是自變量，y是因變量.例如，正方形的周長l與邊長x的對應關系是l=4x，對于每一個確定的x，都有唯一確定的l與之對應，所以l是x的函數. 函數l=4x與正比例函數y=4x相同嗎？為什么？y=2是函數嗎？

要解決上述問題，就需要進一步研究函數的概念. 此前先分析以下問題.

問題1 （高鐵運行問題）某“復興號”高速列車加速到350 km/h后保持勻速運行半小時.

這段時間內，列車行進的路程S（單位：km）與運行時間t（單位：h）的關系可以表示為S=350t.

這里，S是t的函數嗎？有人說：“根據對應關系S=350t，這趟列車加速到350 km/h后，運行1 h就前進了350 km.”你認為這個說法正確嗎？

問題2 （工人工資問題）某電氣維修公司要求工人每周工作至少1天，至多不超過6天. 如果公司確定的工資標準是每人每天350元，而且每周付一次工資，那么你認為該怎樣確定一個工人每周的工資？一個工人的工資w（單位：元）是他工作天數d的函數嗎？

設計意圖 上述兩個問題的共同點在于都含有兩個變量，且兩個變量之間的關系都可以用解析式來表示，符合學生對初中函數概念的認知.

問題3 （空氣質量問題）圖2是北京市2016年11月23日的空氣質量指數（Air Quality Index，簡稱AQI）變化圖. 如何根據該圖確定這一天內任一時刻t h的空氣質量指數（AQI）的值I？你認為這里的I是t的函數嗎？

問題4 （恩格爾系數）國際上常用恩格爾系數反映一個地區人民生活質量的高低，恩格爾系數越低，生活質量越高. 表2是我國某省城鎮居民恩格爾系數變化情況，從中可以看出，該省城鎮居民的生活質量越來越高.

你認為按表2給出的對應關系，恩格爾系數r是年份y的函數嗎？如果是，你會用怎樣的語言來刻畫這個函數？

設計意圖 通過生活實例，凸顯用“解析式”表示函數的局限性，引發認知沖突，為進一步完善函數的概念做鋪墊.

根據上述四個問題，思考并回答下列問題.

①問題1至問題4中的函數有哪些共同特征？（學生總結，教師補充，揭示高中的函數概念. ）

②用高中的函數定義重新認識一次函數、二次函數與反比例函數，怎樣表述這些函數？（從聯系、發展的視角正確看待初中和高中的函數概念）

③運用高中的函數定義解釋：正方形的周長l與邊長x的對應關系l=4x與正比例函數y=4x是不是同一函數？y=2是函數嗎？（辨析、揭示函數的“三要素”）

設計意圖 引導學生回眸初中的函數概念，引發學生認知沖突，使學生認識到繼續研究函數概念的必要性. 根據學生的認知水平，引導學生刻畫生活中的對應關系，并嘗試用新語言（集合）來表述函數的對應關系. 通過設置四個問題情境，使學生感悟對應關系的不同表現形式（解析式、圖象、表格等），類比歸納提煉一般規律，獲得函數的概念. 本環節落實以數學知識自然生長為目標，進行深度思維的教學，實現從關注知識水平到關注思維發展的轉變，提高學生解決數學問題的能力，將數學抽象等核心素養落到實處.

（4）反思學習過程，深化認知水平（Rethink）.

通過深入探究主題，學生對函數的概念有了初步認識，教師通過例題引導學生分析、辨析和反思，深化學生對函數概念的認知.

例1 下列對應關系能否構成定義中A到B的函數：

例2 下列圖象中不能作為函數y=f（x）的圖象的是（? ）

設計意圖 通過具體例子引導學生對函數的概念進行辨析，使學生更細致準確地把握函數的內涵.例1傾向于從集合的視角認識函數，例2傾向于從圖象的視角理解函數的“三要素”，滲透數形結合思想，為后續研究函數的圖象與性質做鋪墊.

（5）評估學習所得，聚焦核心素養（Evaluate）.

通過上述環節，學生可以明確函數的內涵和外延，教師根據學生的課堂反饋及時給予評價，從教與學兩個層面對照評價指標評估教學效果.

實踐反思

1. 注重大概念下的單元教學

“大概念”是學科的核心，是指指向學科核心內容和教學核心任務、反映學科本質、能將學科關鍵思想和相關內容聯系起來的關鍵的、特殊的概念. 數學大概念是數學學科中具有解釋力的概念，包括對數學定理、性質、模型的解讀等，對學生學習具有引領作用的基礎知識. 教師基于大概念設置單元教學，有助于學生對知識的理解與遷移，引領學生深度理解數學本質，促進數學學科核心素養的落實.例如，函數的概念及思想方法貫穿高中整個數學課程始終，圍繞“函數的背景—函數的定義—函數的性質—函數的圖象—函數的應用”這條主線組織教學，有利于學生系統地、整體地把握函數學習的一般路徑，幫助學生建立完整的函數認知結構，提升學生的思維能力和數學素養.

UbD逆向設計理論也注重“大概念”下的單元教學，并圍繞“大概念”設置預期目標、評價依據以及教學活動. 數學學科中的函數、方程、不等式、立體圖形等都是單元教學中的“大概念”，圍繞基本問題來建構“大概念”，理應成為課堂教學的新常態.

2. 倡導真情境下的數學探究

周文葉教授認為：核心素養不是教師教出來的，而是學生在不確定的情境中借助問題解決的實踐培育起來的． 崔允漷教授認為：在真實情境下做事，是指向素養目標的關鍵所在.真情境，重在“真”，即具有真實性，真實情境源于現實生活和學生的經驗，只有讓學生置身于真實情境中，才能“撬動”課堂，真學習才能發生. 例如，在函數概念的教學過程中，通過設置與學生生活密切相關的實例，可以讓學生直觀感知兩個變量之間的關系，為進一步數學抽象做鋪墊. 引導學生回眸初中的函數概念，讓學生發現用初中的函數概念難以解釋生活中的一些案例，認識到進一步研究函數概念的必要性. 利用實際情境，引導學生經歷完整的函數概念抽象過程，幫助學生建構新的函數概念，發展學生的數學抽象核心素養. 在數學課堂教學中，引用真素材、創設真情境、探究真問題才能激發學生的學習熱情和認知欲望，不斷發展學生的數學理性思維能力和數學素養，實現思維進階和素養落地的目標，落實立德樹人根本任務.