高聰云 張勇
[摘? 要] 勾股定理是余弦定理的特例,歐幾里得采用“向外作正方形”的方法證明了勾股定理.研究者利用GeoGebra軟件進行動態探究,幫助學生加深理解.
[關鍵詞] 勾股定理;余弦定理;GeoGebra
歐幾里得對勾股定理的證明
勾股定理被稱為千古第一定理,是培養學生幾何推理證明的典型素材[1]. 目前關于它的證明方法大約有四百余種,其中,歐幾里得的證明方法是最早的證明方法之一,他的證明思路如下:
用“向外作正方形”的方法證明余弦定理
高中階段,學生進一步認識到勾股定理是余弦定理的特例. 關于余弦定理,常見的證明方法有作高法、坐標法和向量法. 事實上,作為勾股定理的推廣,余弦定理也可以采用“向外作正方形”的方法來證明:
如圖2所示,以平行四邊形ABCD的四邊向外作正方形,設P,Q,R,S為正方形的中心,將其順次連接,得到四邊形PQRS.
(1)確定四邊形PQRS的形狀.
如圖3所示,連接AR,AS,DR,DQ,借助正方形和平行四邊形的性質,證明△RAS≌△RDQ(SAS). 所以,RS=RQ,∠ARS=∠DRQ,∠SRQ=90°,故四邊形PQRS是正方形.
(2)代數表示四邊形PQRS的面積.
如圖4所示,連接BS,BP,CP,CQ,證明△RAS≌△RDQ≌△PCQ≌△PBS.
用GeoGebra軟件動態探究四邊形PQRS的形狀與面積
注意到四邊形PQRS的面積與平行四邊形的兩邊長及其夾角有關,借助軟件GeoGebra,從動態的角度帶領學生繼續研究四邊形PQRS的形狀與面積.
打開GeoGebra,創建滑動條m,n,選定一點A;以A為端點,作定長為m的線段,記線段的另一端點為B;以A為圓心,n為半徑作圓,在其上任選一點,記為D;連接AD,AB;分別過點B和點D作線段AD和AB的平行線,其交點記為C;連接CB,CD,得到平行四邊形ABCD;之后以各邊為邊長向外作正方形,連接四個正方形的中心,得到四邊形PQRS.?搖
如圖5所示,拖動滑動條m,n,改變平行四邊形ABCD的邊長,或者拖動點D,改變鄰邊的夾角θ,可以發現無論邊長和夾角怎樣變化,總是能得到△RAS≌△RDQ. 根據上述證明,可以得出結論:四邊形PQRS的形狀不隨平行四邊形ABCD的邊長或其夾角的大小而改變,總是正方形.
勾股定理是余弦定理的特例,類比勾股定理的面積證法,發現同樣可以通過“向外作正方形”的方法來證明余弦定理,進一步,利用軟件GeoGebra進行動態探究,可以從直觀上幫助學生加深理解,體會數學知識間的緊密聯系.
參考文獻:
[1] 龐月,李春蘭. 我國初中幾何教科書中勾股定理證明方法編排之變遷(1951—2000)[J]. 數學通報,2018, 57(03):9-15+61.
[2] 歐幾里得. 歐幾里得·幾何原本[M]. 蘭紀正,朱恩寬,譯. 西安:陜西科學技術出版社,2003:41-42.