代數式中“整式”與“分式”的化簡求值方法探究

孫飛

常數和運算符組合而成.而整式和分式則是代數式的兩種常見形式，整式是只包含有理數系數的代數式，它的各項之間通過加法和減法運算符連接；而分式是含有分母的代數式，它的各項之間通過加法和減法運算符連接，但是可以存在除法運算.在代數式中，整式和分式常常需要進行化簡和求值的操作，整式的化簡和求值相對較簡單，可以進行合并同類項、提取公因子等操作；而分式的化簡和求值則相對復雜，需要考慮分子和分母的因式分解、約分等操作.

【關鍵詞】? 初中數學；代數式；化簡求值

1? 整式的化簡求值方法

1.1? 合并同類項

合并同類項是整式化簡求值中常用的方法.同類項是具有相同字母的項，它們的系數可以相加或相減，通過將同類項相加或相減，可以簡化整式的表達式.

例1? 先化簡再求值：，其中，.

分析? 整式求值時，應當先合并同類項，然后將題目中所賦予的代數具體的值帶入到化簡后的代數式中即可求出結果.需要注意的是，在帶入具體數值時，要注意數字的符號，在代入數值之后，計算式應遵循有理數的加減乘除運算法則以及運算順序.

解答

將，帶入，

原式

1.2? 提取公因式

提取公因式是另一種常用的整式化簡求值方法.對于一個整式，如果每個項都可以被一個公因式整除，那么可以將這個公因式提取出來.提取公因式可以簡化整式的表達式并有助于進一步的化簡.

例2? 先化簡在求值：，其中.

分析? 此題考查的是整式的化簡求值，其中化簡主要是利用提取公因式法，將計算簡單化，首先將變為，然后提取公因式、將原式進行化簡，最后將題目中所賦予的代數具體的值帶入到化簡后的代數式中即可求出結果[1].

解答

將帶入，

原式

2? 分式的化簡求值方法

2.1? 換元法

換元法在數學中是一種重要的解題方法，它通過引入新的變量來簡化問題，通過換元法，我們可以將原本分散的條件聯系在一起，將隱含的條件顯露出來，從而將復雜的計算和推導簡化為熟悉的形式.換元法的一般步驟包括設元或構造元、換元、求解、回代和檢驗等.在具體解題過程中，根據問題的特點選擇合適的換元方法，引入新的變量替代原式中的某些量，從而使問題得到簡化.然后對新變量進行求解，得出結果.最后，將新變量代回原變量，得到最終的解.通過換元法，可以將原本復雜的問題轉化為簡化的形式，使得求解變得更加容易和直觀[2].

例3? 若（其中，且、、不全相等），求的值.

分析? 本題含有較多字母且根據已知條件無法直接求出原式中所含字母的具體值，根據分析所求式子與已知條件可發現，所求式子中包含的都為、、的代數式，恰好能將已知條件變形成為、、的代數式，因此可采用換元法來簡化解題過程.

解答? 由已知條件可得

令，，，則可得

有已知條件可得，將等式兩邊進行平方可得：

又、、不全相等

、、不全為

因此由可得：

即所求分式的值為.

2.2? 整體代入法

整體代入法是分式化簡求值問題中的常用解題方式，此類題目通過正確地對已知的式子進行變形，并用已知的式子表示未知的式子，再將已知的條件整體代入，可以簡化計算過程.[3]在實際解題過程中，利用分式的性質進行變形時，需要注意必須確保所乘或所除的整式不為零.因為如果乘或除以零，將導致分式的結果無意義或不可計算.

例4? 已知，求分式的值.

分析：由本題的條件不能只直接求出、的具體值，因此考慮采用整體帶入法進行求解，將已知條件變形成為，然后將中用代替進行化簡，從而求出原始的值.

解答：由已知條件可知，、分別為分母，因此，，

將兩邊同時乘以，可得

，將其代入原式，

整式和分式是代數式中的重要概念，其化簡求值方法對于解決代數式問題具有重要意義.通過本文可以掌握整式和分式的化簡求值方法，從而能夠更好的解決代數式問題.在實際應用中，可以根據具體情況選擇合適的化簡求值方法，以便更高效地解決代數式問題.

參考文獻

[1]吳丹丹.初中數學分式化簡求值的技巧分析[J].新課程導學，2023（12）：41-44.

[2]何加寬.例談換元法妙解“疑難題”[J].中學數學，2023（16）：71-72.

[3]王小平.整體代入法在初中數學解題中的應用技巧[J].數理化學習，2014（09）：3.