數學史融入數學概念教學的設計與思考

摘? 要：數學概念是構成數學知識結構體系的基礎，理解好數學概念是學好數學的基礎與前提，然而數學概念的抽象與不易理解使得數學“冰冷”與不可捉摸，在實際教學中，數學概念的教學往往重視形式、淡化本質。以曲線的參數方程的內容為例，從參數方程的數學史素材引入，運用問題驅動模式進行數學概念的教學設計，從學生已有的知識出發，引導學生通過舊知識發現新知識，培養學生發現問題與提出問題的能力，期望達到還原數學概念本質的教學意義。

關鍵詞：數學史;數學概念教學;曲線的參數方程;問題驅動;教學設計

中圖分類號：G640? ? ? ? 文獻標志碼：A? ? ? ? ? 文章編號：2096-000X（2024）S2-0120-04

Abstract： Mathematical concept is the basis of mathematical knowledge structure system， and understanding mathematical concept is the basis and premise of learning mathematics well. However， abstract mathematical concepts being difficult to understand makes mathematics "cold" and unpredictable. In practical teaching， the teaching of mathematical concept often attaches importance to the form and downplays the essence. Taking the content of parametric equations of curves as an example， this paper introduces the material of mathematical history of parametric equations， and uses the problem-driven model to carry out the teaching design of mathematical concepts. Based on students' existing knowledge， this paper guides students to discover new knowledge through old knowledge， cultivates students' ability to discover and raise questions， and hopes to achieve the teaching significance of restoring the essence of mathematical concepts.

Keywords： history of mathematics; mathematics concept teaching; parametric equation of curve; problem-driven; teaching design

多年的數學學習，數學的定義、定理、符號、公式、推導、證明和大量的習題給學生留下了抽象、復雜、遙遠、不講道理、不可捉摸讓的印象，即“冰冷的美麗”[1]。很多學生會有這樣的一個困惑：為什么要學習數學？其實，不僅僅是學生會有這樣的疑問，很多數學教師也說不清楚為什么要教的問題。

數學產生于社會生產的實際需要，伴隨科學技術的不斷發展與完善，最終數學也將應用于生產實踐，社會的進步和人類的發展都離不開數學，學生們將來從事的科技、金融、經濟、管理、工程乃至人文社科方面的工作都要求具備良好的數學素養與能力。這就使得學生必須面臨一個現實的問題：數學很難學，但是又必須學。那么，數學可以變得簡單、易懂、會用嗎？數學可以變得平易近人，讓學生喜歡嗎？

數學史和數學史故事能拉近數學與學生的距離，讓學生愿意接近數學，學生暢游在數學發展歷史的“長河”中，通過再現數學概念誕生的背景、發展與完善的過程[2]，認識數學知識，了解數學知識發現和發展的過程，構建與理解數學概念，感受數學的魅力，激發對數學學習的熱情，豐富知識儲備，改變數學觀，提升數學素養。

一? 數學概念教學的認識

數學概念是學好數學的基礎與前提，其是從實際問題中抽象得出的一種對現實對象的數量關系與空間形式的本質特征的反映形式，是最基本的數學思維形式[3]。由于數學概念本身抽象，不易理解，具有高度的概括性，所以在實際教學中，數學概念的教學設計是數學課程教學研究的重點。

教育心理學家奧蘇貝爾提出影響學習最重要因素是學生已經知道了什么[4]，然后從學生的已有知識出發進行教學設計。數學家波利亞認為學生在課堂學習中，教師僅起到“助產士”的作用[5]，教學中應引導學生自己去發現盡可能多的東西，并且引導學生積極地參與提出問題和解決問題。

概念課的教學可以到追溯數學史上概念形成的過程，促使這個概念產生的最初的問題，即本原性問題展開，聯系學生的實際認知水平，創設概念產生的現實問題情景引入，利用問題驅動的方法設計一系列的問題串，盡量還原數學概念的歷史發展與形成過程，讓學生感受到數學概念創作時的偉大，激發學生學習數學的內驅力[5]。

二? 教學案例設計——以曲線的參數方程為例

（一）? 教材與學情分析

曲線的參數方程的概念是學生學習極坐標與參數方程這一章內容的基礎，是函數與圓錐曲線內容的延續，是平面解析幾何的重要內容之一，是進一步學習高等數學、運動學等學科的基礎，并在實踐中有著廣泛的應用。

本節課的教學對象為少數民族預科生，在學習本節內容之前，學生對直線、圓與圓錐曲線的方程等相關知識有一定的學習，對數形結合的思想有一定的了解，此外學生已有了一定的歸納、概括、抽象的思維能力。但學生的來源比較廣泛，其數學基礎差異較大，部分學生對數學中抽象的概念學習較為吃力。

（二）? 教學目標分析

知識與技能目標：經歷從實際問題抽象概括出參數方程概念的過程，理解曲線參數方程的概念;掌握常見曲線的參數方程;了解曲線的參數方程創立的歷史背景。

過程與方法目標：能夠熟練運用消去法和代入法等方法把常見的曲線的參數方程和普通方程進行相互轉換，進一步提升利用所學知識解決問題的能力。

情感、態度與價值觀目標：理解為什么要學習曲線的參數方程;體會其對數學發展產生的文化價值、應用價值與科學價值。

（三）? 教學重難點分析

教學重點：理解曲線參數方程的概念，能夠熟練將曲線的參數方程和普通方程之間進行相互轉換。

教學難點：體會學習曲線參數方程的意義，能夠選取恰當的參數，熟練地將曲線的普通方程轉化為參數方程。

（四）? 教法分析

本節課使用的教學方法有問題驅動法、任務驅動法、講解法和練習法。

首先，本節課采用任務驅動的方式，在課前布置學習任務，查閱參數方程的數學史內容，了解本節課學習的主要內容，課上采用問題驅動的形式，以學生為主體，從學生熟悉的物理實例——平拋運動引入，啟發學生從數學角度解決問題。引出參數方程與已學普通方程的認知沖突，歸納概括出一般參數方程的定義，使學生正確認識普通方程與參數方程的區別與不同，同時通過講練結合的方法掌握普通方程與參數方程之間的相互轉化。

（五）? 教學過程與設計

1? 觀看課前資料，布置預習任務

課前在雨課堂發布預習課件，通過觀看百歲山廣告，了解廣告背后的故事，引出心形線方程與數學家笛卡爾的生平簡介，介紹本節課的學習內容——曲線的參數方程，同時給學生布置學習任務，搜集曲線的參數方程的學習資料，體會為什么要學習曲線的參數方程。

通過課前的預習，學生提前了解了本節課學習的主要內容，了解學習曲線的參數方程的原因，體會學習曲線的參數方程的意義所在。

2? 巧設數學問題，合理展開探究

問題1：一個小球在離地面100 m的地方以2 m/s的初速度水平拋出，求小球在運動過程中的水平位移和離地高度。

從一個學生熟悉的物理實例——平拋運動的問題引入新課，讓學生思考如何解決這個問題。通過復習平拋運動可以分解成水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，引導學生根據高中物理知識找到水平位移和離地高度與平拋運動的關系。

為了從數學角度解決這個問題，引導學生建立平面直角坐標系，以地面為x軸，以過小球、地面的垂線為y軸，建立平面直角坐標系。引導學生得到小球在運動過程中的水平位移和離地高度就是小球運動到M點的橫坐標x和縱坐標y。

問題2：小球運動到某點的水平位移與離地高度和什么有關系？

通過提問，引導學生發現水平位移和離地高度的變化和時間t有關。在這個問題中，可以建立x，y與運動時間t的關系?？闪蟹匠蹋簒=2t

y=100-

gt2（t為時間，g為常數），如圖1所示。

通過取特殊值，發現當t取遍它能取的所有值時，它總對應某個點，這些點全部在拋物線上，也就是說，這個方程對應的點都在這個拋物線上。反之，這個拋物線上的任何一個點都可以用方程組x=2t

y=100-

gt2表示出來。

得出結論：所以稱方程組x=2t

y=100-

gt2所對應的圖形是拋物線，這個方程組就是表示這條拋物線的一個方程。

問題3：這個方程組表示一條拋物線，其與原來學習過的拋物線的方程有何不同？

通過與原來學習的拋物線方程y=ax2+bx+c或y2=2px或x2=2py對比，發現而本節課得到的拋物線方程x=2t

y=100-

gt2中多了一個中間變量t，稱為參數方程，t叫作參數。而之前學習的形如y=ax2+bx+c或y2=2px只用一個式子表示的方程叫作普通方程。通過與原來所學拋物線方程形式的對比，通過引發學生的認知沖突，引入參數方程的定義，體會參數方程的特征。

3? 優化數學情境，自然引出課題

通過上面的實例，我們可以抽象歸納出一般情況下參數方程的概念。

方程x=f（t）

y=g（t）（t為參數），表示曲線C的參數方程，變量t叫作參變數，簡稱參數。

問題4：參數方程和普通方程比較起來，普通方程的形式更為簡單，那么為什么要學習參數方程呢？

此環節可以根據學生課前準備的內容，分組進行匯報。

某些曲線無法建立其普通方程，或者曲線的普通方程建立起來比較復雜、比較困難，但用參數方程表示就相對容易。如圖2所示，通過舉出具體實例（擺線、圓的漸開線、星形線等），使學生理解在有了曲線的普通方程之后，仍要學習曲線的參數方程的原因，體會學習參數方程的意義，為今后高等數學的學習打下基礎、埋下伏筆。

問題5：某些曲線建立其參數方程是相對容易的，那么能否把曲線的參數方程轉化成普通方程呢？

對于某些曲線，我們是可以做到把它的參數方程化為普通方程。例如引例中的參數方程x=2t

y=100-

gt2可以通過消去參數方程中的t，化為拋物線的普通方程y=100-x2。

根據以上的思想，可以引導學生歸納出常見曲線的參數方程化為普通方程，如圓、橢圓、雙曲線、拋物線和直線等。

問題6：如何能在圓x2+y2=4上快速地取出10個點？

學生會選擇給x賦值，解出y的方法得到所求點。例如當x=±2時，y=0;當x=0時，y=±2;當x=1時，y=±;當x=-1時，……

追問：那如果是取20個點呢？

學生發現還按照以上的方法取點，但是比較麻煩。

教師引導發現，用圓的普通方程在圓上取點比較麻煩，進而得到使用參數方程取點的簡便方法。若用圓的參數方程x=2cosθ

y=2sinθ，當θ取不同的值時，會得到圓上不同的點，比較簡單。所以，有時候在解決實際問題時需要把曲線的普通方程轉化為參數方程。通過親身體驗，體會曲線的參數方程的優點以及學習曲線的參數方程的原因。

4? 設計數學例題，培養數學能力

例1：把下列參數方程化為普通方程。

x=3+4cosθ

y=5+4sinθ（θ為參數）;x=1+t

y=3-2t（t為參數）。

例：2 把下列普通方程化為參數方程。

2x-5y+10=0;+=1。

（分析與講解過程略）。

5? 反思教學內容，提升探究能力

通過對本節課教學內容進行歸納梳理，幫助學生理清所學的知識層次結構，形成一定的知識結構框架。①曲線的參數方程的定義以及學習參數方程的意義;②曲線的參數方程化為普通方程，并掌握常見曲線參數方程與普通方程之間的轉化;③曲線的普通方程化為參數方程。

（六）? 教學評價

通過對曲線的參數方程的教學設計的改進、實踐與反思，筆者對于數學概念的教學設計有了進一步的認識。古希臘數學家畢達哥拉斯指出在數學的天地里，重要的不是我們知道了什么，而是怎樣知道什么[6]。然而關于數學概念在教材中的呈現方式，以及多數教師對于數學概念的講授方式多是以“冰冷”的定義方式呈現，這樣很容易讓學生失去探索數學的興趣，從天而降地“告訴式教學”會讓學生不能理解數學，認為數學概念的引入不講道理，冰冷無情。

本節課從學生已經熟知的物理平拋運動問題出發，通過運用物理知識從數學角度解決問題，引出新知識參數方程與舊知識普通方程的認知沖突，使學生正確認識到普通方程與參數方程的區別與不同，以及它們之間的相互轉化。通過以問題為驅動，環環緊扣，在教師的引導下，激發學生自主地進行思考，發現事物的共同屬性，抽象概括出參數方程概念的本質屬性，從而自主建構曲線的參數方程的概念。通過給學生介紹擺線、圓的漸開線與星形線，使學生理解為什么要學習曲線的參數方程，體會引入參數方程的概念的意義，為今后高等數學的學習打下基礎、埋下伏筆。最后通過在圓上取點問題的提出與解決，回歸學習概念的本源，使學生通過親身體驗，體會曲線的參數方程的優點以及學習曲線的參數方程的原因。

三? 幾點思考

（一）? 數學史融入數學概念教學的教學價值

課本只是知識點的承載體，并沒有反映出知識具體的形成過程[7]。而數學史記錄了知識創造、形成直至完善的整個過程，反映了產生過程中的思維活動，以及貫穿著數學學科的發展與進步。在數學概念教學中融入數學史，就是再現數學概念的形成過程，使學生通過親身經歷這樣的思維過程，加深對概念的理解與掌握，同時受到數學思想方法的熏陶與冶煉。例如本節介紹曲線的參數方程，要講清楚曲線已有普通方程，為何還要引入形式更為復雜的參數方程。因此，教師有必要介紹參數方程產生的歷史原因：實際生產實踐的需要和數學研究的需要。數學故事與歷史的引入，能讓學生明白數學學科中的一些概念、定義與符號是如何而來的，了解它們的功能，感悟數學的發展與進步是人類進步的產物和自然客觀的需求。

（二）? 數學史融入數學概念教學的教學策略

數學概念是構成數學知識結構體系的基礎，同樣是數學思維的基礎[8]。但在實際教學中，數學概念的教學往往重視形式、淡化本質，教師在教學中過分強調解題應試能力，而忽略學生對基礎概念的理解，這使得學生在學習新的數學概念時不知道為什么學、學習內容的本質是什么、學習了有什么用？教師應當引導學生了解所學的數學概念引入的原因，理解所學概念的本質以及知道引入概念的意義。

教師在教授過程中需要對知識點進行處理與加工，形成符合學生認知水平的易于接受理解的知識。問題的提出與解決是數學的心臟[9]，教師的職責就是引導學生發現問題并解決問題，在問題的提出過程中，學生的邏輯思維能力得到了提升，在問題的解決的過程中，也強化了學生對數學概念的理解。

合適的問題可以激發起學生火熱地思考和交流，勾起學生探索的興趣，提高學生的創造能力。所以，教師在數學的概念教學中，適時地回歸概念的本源，追溯概念形成的歷史過程，使用本原性問題驅動教學[10]，引導學生在問題中思考，使學生經歷數學知識再創造的過程，有利于深入領悟數學概念，理解概念的本質，從而更能體會到引入概念的應用價值，即解決概念教學中“為什么”“是什么”和“有何用”的問題。

參考文獻：

[1] 張奠宙，張蔭南.新概念：用問題驅動的數學教學[J].高等數學研究，2004（3）：8-10.

[2] 薛鶯.利用數學史促進數學概念建構教學的實踐與思考[J].中國數學教育，2021（19）：14-17.

[3] 邵光華，章建躍.數學概念的分類、特征及其教學探討[J].課程.教材.教法，2009，29（7）：47-51.

[4] 奧蘇貝爾.教育心理學——認知觀點[M].余南星，宋鉤，等，譯.北京：人民出版社，1994.

[5] 波利亞.數學的發現——對解題的理解、研究和講授[M].劉景麟，曹之江，鄒清蓮，譯.北京：科學出版社，2006.

[6] 伯特蘭·羅素，瞿鐵鵬，殷曉蓉.西方的智慧[M].上海：上海人民出版社，2017.

[7] 彭志強.高中數學教學中融入數學史的原則與實踐[J].中學數學教學參考，2022（7）：8-11.

[8] 弗賴登塔爾.作為教育任務的數學[M].陳昌平，等，譯.上海：上海教育出版社，1995.

[9] 楊玉東.“本原性數學問題驅動課堂教學”的比較研究[D].上海：華東師范大學，2004.

[10] 楊玉東，徐文彬.本原性問題驅動課堂教學：理念、實踐與反思[J].教育發展研究，2009（20）：68-72.

基金項目：2022年新疆師范大學教學研究與改革項目“數學史在落實高等數學課程思政中的教學應用研究”（SDJG2022-28）

作者簡介：董慧莉（1991-），女，漢族，山東濟寧人，碩士，講師。研究方向為數學教育教學。