建構之本 始于關聯
——以“二次函數的圖象和性質”單元教學為例

周海東，蔣妍兮

（江蘇省蘇州工業園區星洋學校；西安交通大學附屬蘇州初級中學）

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力，以及情感、態度和價值觀的綜合體現.傳統的課時教學比較關注基礎知識、基本技能的習得，這種碎片化的數學學習方式有利于夯實基礎，熟練技能，但卻無法將知識蘊含的數學本質表述清楚，更無法體現數學核心素養的培養.開展基于發展學生數學核心素養的教學，教師需要以教材為基礎，用系統論的方法對教材中具有某種內在關聯的內容進行分析、重組、整合，形成相對完整的教學單元，在整體觀的指導下將教學諸要素有序規劃.這樣就能讓學生在關注知識技能的同時，思考知識技能所蘊含的數學本質，體悟知識中蘊含的數學思想，從而促進學生數學核心素養的形成與發展，達到學科育人的目的.本文以蘇科版《義務教育教科書·數學》九年級下冊“二次函數的圖象和性質”這一內容為例，基于系統分析的視角，從發展學生數學核心素養的目標出發，把握教材內容之間的關聯，對教學內容進行重新建構，進行單元教學設計.現將本節課的建構過程進行呈現，以期為培養初中學生數學核心素養的研究提供借鑒.

一、教學內容分析：用系統的觀點建構課堂教學體系

系統的觀點也就是整體的觀點、聯系的觀點，即要素與要素、要素與相關要素、要素與環境之間的關系.運用系統的觀點分析二次函數的圖象與性質：要素是二次函數表達式的系數和函數的圖象；相關要素是自變量與函數值之間的關聯，二次函數表達式之間的關聯，以及它們所對應的圖象之間的關聯；環境是教學目標的定位、教學策略的選擇，以及學生已有經驗之間的關聯.從宏觀視角來看，二次函數是學生在初中階段學習的最后一個代數函數，是描述現實世界數量關系的重要數學模型，其內容蘊含“變化與對應”的函數思想.從中觀視角來看，用運動變化的觀點，采用從特殊到一般的路徑、數形結合的方法探索二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象和性質是二次函數的核心內容，也是應用二次函數知識解決相關問題的基礎.從微觀視角來看，教材安排了4個課時，分別研究y=x2及y= -x2，y=ax2，y=ax2+c及y=a(x+h)2，y=ax2+bx+c的圖象及它們之間的關系，但這四個具體內容在研究方法、研究路徑、圖象與性質方面又具有一致性，這樣我們就能從系統的觀點來建構本節課的教學體系（如圖1）.

圖1 “二次函數的圖象和性質”教學體系

二、教學結構分析：用區塊鏈的結構形成學習路徑

從哲學的視角來看，特殊與一般既對立又統一.一般包含了特殊，比特殊更能反映事物的本質；而與一般相比，特殊往往顯得簡單和容易，直觀和具體.因此，從內在結構來看，二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與y=x2，y=x2+ 1，y=(x+1)2圖象之間體現了這種辯證關系.而具體到某個特殊的函數，對其圖象與性質的研究又是一個相互獨立的系統.同時，某個具體函數的圖象與性質的研究方法和路徑又可以沿用到其他具體的函數，就像科技領域的區塊鏈技術，其研究過程既相互獨立又有內在關聯，在每個獨立的探索過程中都能形成封閉的研究路徑，積累的基本活動經驗相互關聯，逐步推進學生數學關鍵能力的提升，從而有利于數學核心素養的形成.因此，我們用區塊鏈的結構形成了如圖2所示的學習路徑.

圖2

三、教學過程分析：用數形結合的方法探索函數的性質

圖象研究的是圖形的結構特征，性質描述的是數量間的變化規律.二次函數是描述客觀世界變化規律的重要模型，它的變化特征反映了它所刻畫的客觀世界變化規律的特征.因此，本節課的教學過程緊扣“數”與“形”，用數形結合的方法探索二次函數的性質.下面呈現探索過程片斷.

活動：探索函數y=x2的圖象和性質.

問題1：觀察表達式，變量x，y的取值有何要求？兩個變量之間有怎樣的變化規律？

問題2：你能猜想一下函數y=x2的圖象有什么特征嗎？

【教學說明】研究函數的性質時，我們往往習慣于從圖象出發，直觀地感受其中的變化規律，卻忽略了表達式的重要性.描述一個函數，可以利用表達式、表格及圖象三種方式來呈現，且從這三種表達方式都可以看出函數的性質.從“數”出發想象圖形的特征，是一個“從數到點再到形”的過程，有利于學生形成對圖象特征的構建，從整體上對圖象的分布和形態有一個較為清晰的認識，也為接下來的描點作圖指明了方向.

師：通過對表達式的分析，我們腦海中對函數y=x2的圖象有了一個大概印象.函數y=x2的圖象分布在x軸及其上方，關于y軸對稱，過原點且原點為最低點，圖象從左到右呈現了先下降再上升的趨勢.但是符合這些特征的圖象有很多，光“想”可能還不夠，應該怎么辦呢？

學生回答畫出圖形.

師：回憶之前的學習經驗，你能試著畫出函數y=x2的圖象嗎？

操作：學生在透明紙上按下列步驟畫出函數y=x2的圖象：①列表（如表1）；②描點（如圖3）；③連線.

表1

圖3

討論：圖4 和圖5 都符合對函數y=x2的圖象的猜想，哪種連線方式能反映圖象的特征呢？

圖4

圖5

操作：利用幾何畫板軟件改變點的密集程度和點的個數，得圖6，再制作一個動點，使得其縱坐標是橫坐標的平方，追蹤這個動點，觀察它經過的路線所形成的圖形，如圖7所示.

圖6

圖7

【教學說明】學生對二次函數圖象的認識是一個從模糊到清晰最后走向理性的過程.由于畫圖的局限性，學生在經歷了猜想、描點、連線的過程后，能夠大致感知圖象的特征，但還是無法準確把握圖象的形狀.“由數想形”無法看到全貌，“描點畫圖”無法合理解釋圖象的連續性.因此，這里借助信息技術，通過兩個層次的實驗來解決圖形的直觀性和連續性問題，從而讓學生真正理解函數y=x2的圖象.第一個實驗是通過“點加密”來直觀觀察y=x2的圖象，隨著點的數量的增加，學生能逐步看清楚圖象的形狀；第二個實驗是通過“點運動”來解釋圖象的連續性.

四、教學價值審視：在高觀點下實現思維的生長統一

函數的性質其實就是變量在變化過程中所表現出的一種對應，這種對應可以被表征為一種“不變性”，而圖象就是外顯這種不變性的重要工具.回顧函數的發展歷史，無論是萊布尼茨從變量的觀點提出函數，還是康托爾提出集合、映射的觀點，數學家們始終在努力尋找這種變化中的對應.如果能確定變化過程中的不變性，便能對變量的“前世”“今生”“未來”進行確定把握.從“數”的角度無法準確把握的性質，可以通過“形”來表征，對“形”的認識可以從對“點”的研究來找到.同時，借助“形”又可以認識“數”的規律，這也是研究函數圖象與性質的一般路徑.從學科教學價值的視角來審視課堂，相對知識技能而言，教學更應該重視這種思想方法的滲透.這里對每一個具體函數（y=x2，y=x2+ 1，y= (x+1)2）的學習都用如圖8 所示的研究路徑去統一，讓學生在對具體函數研究的基礎上用高觀點來形成認識上的統一，進行更高層次的抽象，實現高階思維的生長.

圖8

德國數學家F.克萊因認為，基礎數學的教師應該站在更高的視角來審視、理解初等數學問題，只有觀點高了，事物才能顯得明了而簡單.其實，不僅教師的教如此，學生的學也是如此.數學教學的終極目標是讓學生理解或掌握研究數學的方法，幫助學生建立學科觀念和學科思維.因此，在進行單元教學時，教師只有對教材內容結構有一個系統的、整體的把握，才能在教學設計中實現知識結構的關聯，才能使學生學到結構化、聯系緊密、遷移能力強的知識；只有把知識置于歷史、當下和未來的生活中，用聯系的、發展的思維去認識、理解、把握、體驗、應用，才能讓學生理解、接受、掌握知識的數學本質，真正把握知識的脈絡.

教學價值是教學設計的靈魂.核心素養是當前基礎教育的育人目標和方向.我們對單元教學的認識可能還不夠清晰，對數學核心素養的理解可能還有所欠缺，但我們堅信，這樣的教學實踐在學生學科關鍵能力的生成，思維習慣的培養，以及情感、態度和價值觀的形成方面一定能發揮獨特的作用.