初中幾何命題整體性教學活動特征分析
——以四節全國優質課為例

斯海霞，呂 坤

（杭州師范大學經亨頤教育學院）

數學教學活動是指學生在教師指導下，利用觀察、猜測、實驗、計算、推理等方法經歷數學問題解決的過程，全面參與并學習數學化過程的活動.它是數學核心素養形成和發展的主要路徑.《義務教育數學課程標準（2022 年版）》（以下簡稱《標準》）不僅強調讓學生親歷數學知識發現、形成及應用的活動過程，亦要求教師整體把握教學內容，引導學生從數學概念、原理及法則的聯系出發，建立有意義的知識結構，從而實現核心素養培育目標.

有研究表明，在數學幾何命題整體性教學中設計并實施“整體—部分—整體”的數學活動路徑，有助于學生從單元到課時整體上把握數學知識結構.深刻理解命題研究，是數學推理能力培養在課堂教學中落地的重要教學路徑.命題教學是發展學生推理能力、形成數學理性思維的重要課型.為更好地揭示優秀教師如何組織學生參與幾何命題整體性學習，本文以四節全國優質課為對象進行教學活動特征分析，以期為一線教師開展基于素養培育的命題教學提供參考.

一、研究設計

1.研究對象

在由中國教育學會中學數學教學專業委員會主辦的第十二屆初中青年數學教師課例展示活動中，被評為優質課的四節幾何命題課（如表1）以“整體—部分—整體”的教學結構開展課時教學，符合素養驅動下數學命題整體性教學結構特征.四節課的教學活動設計與實施經過多次打磨，受到活動評審專家的一致好評，基本代表了當前一線教師對初中數學命題教學的價值追求.本研究選取這四節課作為分析對象，以期揭示其教學活動特征.其中，“多邊形的內角和”與“平行四邊形的性質”兩節課中涉及了部分概念教學，但由于概念并非課中的教學重點和難點，因此仍將這兩節課作為命題課進行分析.

表1 研究對象基本信息

2.分析框架

有研究認為，教學中有效的數學活動應具備整體結構性、數學建構性、思維層次性、交流協商性.故本研究從數學教學活動階段、活動類型、活動水平、活動呈現、活動組織、活動銜接六個維度出發建構分析框架.其中，活動階段、活動類型、活動水平三個維度分別揭示數學活動的整體結構性、數學建構性及思維層次性特征.活動呈現、活動組織、活動銜接三個維度主要分析數學活動的交流協商性.

為便于后續對數據進行標準化處理研究，將各指標分析要素皆按各自難易程度或復雜程度從低到高進行排序，如表2所示.

其中，數學“活動類型”借鑒已有研究從數學能力特征出發分為歸納概括、說明論證、推測解釋、簡單問題解決、知識聯結.依據教師對學生理解活動的要求，“活動呈現”分為自主理解（教師不做講解，讓學生自己理解活動內容）、簡單說明（教師對活動內容有簡單的說明）、具體明確（教師對活動的步驟、目標有詳細的講解）.由于在分析互動模式時，已發現的課堂互動模式以“教師提問—學生應答”為主，該模式中教師的提問指向決定了對話的內容特征.因此，本研究通過教師提問、話回結構對“教師提問—學生應答”互動特征進行深入分析.話回結構規定了師生互動言語如何按照一定的規則進行有序銜接，借鑒已有研究對話回結構的分類，將這四節課中師生的話回結構主要分為引發—回應結構（initiation—response，以下統稱“IR”），引發—回應—評價結構（initiation—response—evaluate，以下統稱“IRE”），回音結構（initiation—response—revoicing—evaluate，以下統稱“IRRvE”），架構—發展—評價結構（frame issue—develop interpretations—evaluate interpretation，以下統稱“FDE”）四類.

3.編碼及數據分析

這四節課均由若干個教學活動構成，每個教學活動又包含若干個子任務，故以每個子任務為基本編碼單位.對“教師提問—學生應答”進行深入解析時，則以圍繞一個問題解決所展開的完整對話結構為基本編碼單位.研究根據如表2 所示的分析框架進行編碼，如符合要素特征則編碼為“1”；若出現同一維度有多個指標編碼，則所有符合要素特征的編碼皆為“1”.對數據進行編碼后，將各指標按先后順序或難易程度從低到高進行標準化處理，即統一按1～10分賦值.同時，課堂中不同活動階段、活動類型、活動水平、活動呈現、活動組織及銜接所占時間客觀體現了其重要程度，因此將各編碼單位賦值乘所對應的時間得到最終分析所用樣本數據.最后利用SPSS 和AMOS軟件分別對數據進行一致性分析和路徑分析.

為了保證編碼的有效性，上述編碼皆由三位數學學科教學專業研究生分別編碼，并通過三角論證（即三位研究生將獨立編好的編碼進行對比）對不一致的編碼進行討論，確定最終編碼.

二、研究結果與分析

1.設計的數學活動皆體現了整體結構性與建構性，借助幾何直觀探究數學命題

研究顯示，利用SPSS軟件計算得到的四節課各階段的活動類型顯著一致.如表3，研究中四節命題課教學整體上經歷了“整體分析—局部深入—整體聯結”三個階段，其中首尾兩個階段皆使用了“遷移創新”類活動進行知識整體聯結，局部深入階段則經由“學習理解”與“應用實踐”活動引導學生進行命題探究.但研究顯示，四位教師在初始的整體分析階段確定知識網絡范圍時存在差異，如教師A，B，C在此階段僅提出一個與新知相近的聯結點，教師D 則帶領學生先后回顧了“平行線的判斷”等四個與新課內容關聯的知識點，所呈現的知識結構層級跨度較大.

表3 幾何命題教學各階段數學活動設計特征

在局部深入階段，四位教師設計的數學活動注重引導學生親歷獲得命題、證明命題及運用命題的全過程，其活動設計體現了數學的建構性.例如，“勾股定理”一課著重引導學生探究得到“趙爽弦圖”，而非直接呈現教材中的示意圖，并在此基礎上組織學生通過小組合作“拼接、重組、計算面積”的方式探索勾股定理證明方法的多樣性.另外，“勾股定理”一課中，教師C 在應用命題環節只有直接應用，在最后的整體聯結階段，教師C 設計了“本節課學習了哪些內容？”“本節課的研究思路是什么？”等問題進行知識回顧，未要求學生與已有的知識結構進行聯結.

從各教學環節時間分配來看，局部深入命題學習是教學的主體階段.為揭示上述各階段活動具體的教學特征，下文從活動呈現、活動組織、活動銜接、活動水平進行分析.

2.多種學、教銜接方式有序結合，引導學生“做數學”

研究顯示，各數學活動之間的銜接以直截了當為主，其中問題導引式（約占20.4%）和引發需要式（約占6.6%）多出現于證明命題環節，用以引導學生體會對猜想進行證明的必要性，從而過渡到證明命題環節.而學法指導式銜接（約占20.4%）多出現于應用命題環節，教師利用此銜接對知識點進行回顧，幫助學生更好地解決問題.四節命題課首尾兩個整體階段的數學活動呈現與組織方式特征相似，即教師呈現數學活動，并采用收集信息式提問與學生進行IRE 式交流，引導學生對知識進行復習回顧或聯結.例如，在“勾股定理”一課的整體分析階段，教師C通過引導學生對三角形的研究路徑進行回顧，提出從邊的角度研究直角三角形的思路.

局部深入命題探究是四節課的教學重點.研究利用SPSS 軟件計算得到四節課局部深入階段設計的學、教方式顯著一致.教師引導下的全班交流是四節課各環節的主要學、教方式，且“教師提問—學生應答”是全班交流過程中最主要的互動模式，在四節課中的占比分別為83.3%，80.0%，85.7%，83.3%.因此，下文聚焦教師提問、話回結構揭示命題探究活動組織中師生問答互動的特征.

3.多樣化提問連同回音式互動，指導學生數學地思考以突破難點

圖1 揭示了教師在各環節提問并組織學生互動以完成教學活動的特征.

圖1 各環節中的教師提問與互動過程示意圖

具體地，在獲得命題環節，四位教師組織學生獲得命題后，通過探究思維類提問與學生進行FDE架構式對話.當學生進行充分且完整的回答后，教師繼續通過問題“還有不同的做法嗎？”引導其他學生分享觀點.證明命題環節是教學重、難點.教師引導學生通過小組合作證明命題后，再組織全班分享交流.此時，教師會使用多種提問類型，但以用于說明論證的提問為主，以引導學生自己展示推理和證明的具體步驟.在這個環節中，學生應答時常不完整，教師會針對學生回答的情況進行提示性反饋，直至學生呈現充分且完整的答案，因此這一環節的對話結構以回音式的IRRvE 為主.例如，圖2 為“平行四邊形的性質”一課的對話片斷，教師B 基于學生的想法，重新組織語言引導學生深入思考.

圖2

在應用命題環節，教師先通過收集信息類提問呈現活動內容，接著給予學生獨立或小組合作完成任務的機會，使學生跳出教師主導的對話結構，從多角度對命題進行變式應用，最后通過探究思維類提問與學生進行IRE 或IRRvE 式的交流，或論證說明類提問與學生進行FDE式的對話，使學生在教師引導的問答式交流中完整呈現自己的解題過程.

4.多重因素影響學生思維水平，以提問與話回結構最為顯著

學生參與活動的思維水平通過學生對教師提問的應答得以體現.研究的四節課中，學生在各階段呈現出的思維水平雖然存在差異，但是整體上符合課程標準對其課程內容的教學要求.整體認識階段，除“平行線的性質”外的三節課中，學生的思維水平皆處于分析層次；局部深入階段，在獲得命題時，學生的思維水平上升至非形式化演繹水平，且在證明命題時除“勾股定理”外的三節課皆上升至形式化演繹水平，但在應用命題時在不同課題教學中的層次不同；整體深入階段，除“平行線的性質”外的三節課中，學生的思維水平皆處于非形式化演繹水平.

為探究活動實施過程中學生思維水平的影響因素，研究先利用SPSS軟件中皮爾遜相關性分析框架中各指標與“活動水平”的相關性，得到除“活動銜接”外其余七個指標均與“思維水平”存在顯著相關.在文獻［16］和文獻［17］及上述分析的基礎上，研究通過反復觀看四節課的教學視頻，構建影響學生思維水平的路徑，再利用AMOS 軟件進行驗證，刪去影響不顯著的路徑，最終得到如圖3 所示的路徑圖.該路徑模型各擬合度皆符合參考標準，其中活動類型、學習方式、教師提問及話回結構對學生的思維水平有顯著的影響.

圖3 數學活動（影響思維水平）路徑分析模型

如圖3，活動類型可以直接影響學生思維水平的變化，也可以經由學習方式間接影響學生的思維水平，且這些影響特征主要體現在局部深入研究命題階段.實踐中，學生學習方式由單一的全班交流轉向多樣化，由此學生的思維水平逐漸從非形式化演繹上升至形式化演繹.而首尾兩個環節雖然設計了遷移創新類活動，但是由于教師通常采用收集信息式提問與學生進行IRE 式交流，學生僅需對知識進行簡單的記憶，故這兩個階段中學生的思維水平較低，驗證了教師提問與師生話回結構對學生參與活動的思維水平影響更大.特別是在應用命題環節，由于不同教師在該階段對活動的呈現和教授方式不同，相應的教師提問與師生間的話回結構類型也有所不同.因此，學生參與活動的思維水平或高或低.

三、研究結論與啟示

1.從數學本質出發設計整體性教學，落實核心素養培育

數學核心素養的發展源于提煉數學本質.學生對數學本質的理解包括其對數學知識的來源、發展及應用的理解.數學命題的“整體分析—局部深入—整體聯結”式教學路徑引導學生從學科整體結構視角把握命題及其中蘊含的思想方法，體現從數學本質出發的設計理念.研究中，四節課基本遵循了整體性教學路徑，但在整體聯結階段，四位教師僅對分散的知識點進行回顧，且有的教師在整體分析階段選擇了多個蘊含相同思維方式的知識“生長點”，知識結構層級跨度較大.若從單元整體教學視角出發設計課時教學，可以將整體分析階段的諸多知識層級聯系依次分散于不同課時加以呈現，以優化大單元整體結構并提高課時教學效率.因此，建議教師遵循數學知識的發生、發展及應用過程，重視教學結束環節與起始環節的知識整體聯結呼應，突出教學重點內容的數學活動探究，促進學生對數學本質的理解，進而促進其數學核心素養的連續性和階段性發展.

2.以推理活動為路徑實踐知識建構教學，發展真實性學力

研究發現，四位教師不僅引導學生建構知識網絡結構，更在局部深入階段組織命題知識建構式教學，發展學生的推理能力.數學命題課時教學中的知識建構主要是指學生根據自身經驗提出新命題，再由演繹推理活動證明命題，它符合知識建構教學始終考慮學生自我對知識建構的特點.研究中，四位教師都組織學生經歷了數學命題建構的過程.例如，“勾股定理”一課中，教師C 先引導學生自主探究發現直角三角形三邊長的關系，進而組織學生分析特殊情況下獲得猜想的思路以類比方式獲得命題證明思路，再組織學生多角度證明勾股定理.數學核心素養是學生在參與相應數學活動過程中逐漸形成并發展的.研究中，教師以合情推理與演繹推理活動為路徑組織教學，在引導、鼓勵學生親歷命題發現、證明的過程中實現學生自我對知識的建構，發展了學生真實性學力，即從學生的現有經驗出發，通過自我建構、實踐體驗、反思提升發展推理能力.

3.發揮提問引導功能并創設主體探究機會，推進深度學習

深度學習是指學生在教師引領下，圍繞有挑戰性的教學任務，積極參與、獲得發展的有意義的學習過程，這也是促進學生核心素養形成的學習過程.但深度學習并不能自然發生，教師提問、對話指導及反思指導是促進學生深度學習的先決條件.正如上述研究結果表明，四位教師設計的活動水平雖然整體上符合課程標準提出的教學要求，但教師提問與話回結構的不同使得部分環節中學生的幾何思維深度存在差異.研究中，若師生間低水平提問引領下的IRE 式交流過多，學生無需深入思考，此時其參與活動的思維水平則較低；若師生對話具有一定開放性，允許學生自主探究解決問題，學生參與活動的思維水平常處于較高的形式化演繹水平.因此，建議教師遵循各環節的教學目標，立足學生的主體性學習，充分發揮課堂提問的不同教學功能，并結合對話指導與反思指導，引導學生在探究性、對話性及協同性的學習過程中實現對數學知識本質與思想方法的深度理解.

四、結束語

本研究從活動階段、活動類型及活動組織呈現等方面揭示了數學命題整體性課時教學的特征，并揭示了各活動要素對學生參與活動時幾何思維水平的影響.但研究僅分析了數學命題整體性教學的特征，如何從單元整體設計到課時設計呈現階段性并有序地滲透素養導向的教學，以及其他課型是否適合從單元到課時的整體性教學設計，仍有待后續研究揭示.