基于質疑式數學命題學習的教學設計與案例分析

傅海倫，張曉蕓，王曉瑞

（1.山東師范大學數學與統計學院；2.山東省濟南市東方雙語學校）

一、對質疑式數學命題學習的再認識

數學命題是指具有數學意義，可判斷真假的，對數學對象的性質或關系進行邏輯思維判斷的陳述句.其在數學史、教育心理學和邏輯學中均占有重要的研究地位.質疑式數學命題學習是推進數學命題學習的重要方式.數學是一門邏輯性較強的學科.大多數的數學知識不僅是以命題的形式給出的，而且是通過不同命題之間的不同變式或推論得出的，所以質疑式數學命題學習是重要的學習命題的方式.中學數學命題主要包括公式、定理、公理、法則等.因此，中學數學課程內容中的質疑式命題學習主要是指真命題的學習.

所謂質疑式數學命題學習，是指在調動學生自主思維的基礎上，以問題為主線，激活思維，并以質疑為特征尋找命題中條件和結論的關系及其規律，打造以思維碰撞為核心活動的學習方式.

思維活動是數學學習的核心活動，師生之間、生生之間的有效思維交流是提高課堂學習效果的必然方式.質疑式數學命題學習注重在解決問題的過程中通過師生之間的思維碰撞，培養學生的問題意識，訓練學生的思維能力.圍繞培養具有求知欲、自主探索能力和合作能力的創新型人才的目標，教師在采用質疑式命題學習方式時，要調動學生自主思考，以問題為主線激活課堂思維，以質疑為特征培養學生的問題意識，打造以思維碰撞為核心活動的學習課堂.

奧蘇貝爾將命題學習分為上位學習、下位學習和并列學習.在此基礎上，喻平教授針對數學命題學習的獨特性進一步提出了“同位學習”的概念，同時強調了“命題域”和“命題系”在數學命題學習中的重要性，并將數學命題學習劃分為命題獲得、命題證明和命題應用三個階段.筆者根據質疑式學習的特征，嘗試將質疑式數學命題學習的過程細分為感知命題信息、解讀命題敘述、探究命題證明和強化命題應用四個學習階段，如圖1所示.

圖1 質疑式數學命題學習流程圖

“感知命題信息”是質疑式命題學習的初始階段.教師立足學生認知結構的缺口，依托現實問題情境引發學生的認知沖突，從而同化新命題，或通過考查問題中的特例，使學生感知命題產生的必要性.學生經歷數學知識的發生發展過程，歸納、抽象出數學命題.

“解讀命題敘述”階段是在學生猜想出數學命題后，進一步對數學命題的條件和結論進行深入解讀，并以質疑為特征，尋找命題條件和結論的關系及其規律，通過對命題變式進行探究，進一步抓住命題表述中的實質性聯系，明確命題的適用范圍，激活學生的思維.

“探究命題證明”階段對學生的質疑水平和邏輯思維能力要求較高，要求學生利用已有的相關命題或概念與該命題各部分建立有意義的實質性聯系，選擇合適的結點連成一條命題的題設和結論之間的通路.經過師生之間、生生之間的質疑和思維交流過程，規范學生思維的指向，經反復猜想、探究、質疑、推論后得出命題的證明過程.

“強化命題應用”階段培養的是學生運用命題解決數學問題或實際問題的能力，在應用命題的過程中加強對命題的整體把握，并通過質疑過程與方法的遷移，完善命題域和命題系.

二、基于質疑式數學命題學習的教學設計與案例分析

基于對質疑式數學命題學習重要性的認識，筆者以人教版《義務教育教科書·數學》八年級下冊“勾股定理”的教學為例，給出質疑式數學命題學習的教學設計.

1.教學內容分析

勾股定理是數形結合的典范，是歐氏幾何中一條重要的基本定理，也是反映自然界基本規律的一個重要結論.勾股定理從邊的角度進一步揭示了直角三角形中三邊之間的數量關系，是溝通幾何與代數的橋梁，是解三角形的重要工具，也是圖形變換思想的重要體現.

2.教學目標分析

（1）掌握勾股定理的命題內容，理解勾股定理的證明方法，會用勾股定理解決問題.

（2）經歷感知、猜想、辨析、證明、應用的探究過程，體會數形結合思想，培養學生靈活、敏捷等思維品質.

（3）通過自主探究、合作交流，提高學生提出問題、解決問題的能力，培養學生的問題意識和質疑精神.

3.學情分析

八年級學生已經掌握了求直角三角形和正方形的面積的方法，具有探究勾股定理的知識基礎，積累了一定的觀察能力和動手操作能力，能夠進行簡單的邏輯推理和理性分析，但是思維跳躍性較大，需要教師加以引導和規范.因此，勾股定理的證明對學生來說是一個難點，應用勾股定理是重點.

4.教學過程設計

（1）感知命題信息.

活動1：教師運用課件展示畢達哥拉斯與勾股定理的故事，內容如下.

相傳2 500 多年前，古希臘著名的哲學家、數學家、天文學家畢達哥拉斯有一次在朋友家作客時，發現朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊間的某種數量關系.本節課我們就來探索一下直角三角形中的這種關系.

師生活動：師生一起了解數學史，感受數學美，相互交流所了解的關于勾股定理的故事.

活動2：觀察圖2，圖中每個小方格的邊長為1 個單位長度，給出A，B，C三個正方形的面積.

問題1：圖中正方形A，B，C 的面積之間有什么關系？

師生活動：學生回答正方形A，B，C面積之間的關系是SA+SB=SC，并在班內交流.教師及時評價、總結學生的交流情況.

問題2：三個正方形圍成的直角三角形三邊長度之間有什么數量關系嗎？

師生活動：學生根據A，B，C三個正方形面積之間的關系可以推導出直角三角形三邊長之間的關系.教師觀察學生的探究情況，及時引導點評.

問題3：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么你能得出什么結論？

師生活動：學生組內交流合作，嘗試猜想，提出疑問.教師觀察、點評學生的猜想，歸納學生的疑問，及時釋疑.

【設計意圖】厘清命題概念的意義是命題學習的前提.上述過程依托4 個問題層層深入，讓學生在問題探究的過程中逐漸感知勾股定理.在這個過程中，師生問答是激活學生學習思維的手段，生生交流是提高學生自主學習能力的途徑，科學設疑、自主生疑、交流釋疑是活躍思維的關鍵.

（2）解讀命題敘述.

教師展示由問題3 得出的命題：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

師生活動：教師引導學生認真觀察所得命題，并提出問題4.

問題4：等腰直角三角形是特殊的直角三角形，其三邊也具有該數量關系，那么“等腰”和“直角”這兩個條件對于得出的三角形三邊間的數量關系是否都是必要的呢？

師生活動：學生組內討論，對命題變式提出質疑，并總結驗證.教師引導學生根據已有的探究思路進一步思考.

學生進一步質疑：其他類型的三角形的三邊是否也滿足上述等量關系呢？

【設計意圖】數學命題由條件和結論兩部分組成.明確命題的條件和結論是分析命題的基礎，找出條件和結論間的必然聯系是靈活運用命題的關鍵.上述對命題的條件和結論的解讀，對命題變式的判斷和驗證，對命題的符號書寫和圖形直觀的表示，以及對命題條件的驗證，都加深了學生對勾股定理的理解，提升了學生的推理能力.

（3）探究命題證明.

證明：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2+b2=c2.

師生活動：教師引導學生發現證明思路，即在圖3 和圖4 中尋找等量關系，列出等式證明勾股定理.學生自己動手嘗試證明定理.

圖3

圖4

接下來，教師指導學生交流、展示證明方法，并進一步總結證明思路，書寫證明過程.教師及時點評學生的證明思路，引導學生踴躍質疑.學生自我反思，動手書寫，加深對命題證明過程與方法的理解.

活動3：學生對證明方法中的數量關系提出質疑，提出并比較了多種證明方法，包括由勾股定理所體現的傳統的構造性方法及“出入相補”原理.根據學生提供的證明方法，教師適時補充趙爽證明勾股定理的方法.

師生活動：學生交流、展示勾股定理的證明方法.教師及時給予指導，規范勾股定理的證明思路和書寫步驟，引導學生進一步感受勾股定理的歷史意義，體會圖形分割和拼接思想.

【設計意圖】證明勾股定理是本節課的學習難點.領會命題證明的思路和方法有利于培養學生的思維能力.通過教師的引導，學生可以快速發現證明命題的思路，減少不必要的思維過程.在師生和諧交流、彼此尊重的氛圍下，師生進行思維碰撞，通過對勾股定理邏輯推導過程的質疑交流，使學生領會多樣的證明思路.

（4）強化命題應用.

基礎訓練：根據勾股定理，求出下列各三角形的三邊長，填寫表1.

表1

師生活動：學生進行基礎訓練，回憶勾股定理.教師傾聽并適時指導，促進學生進一步鞏固勾股定理.

拓展訓練：如圖5，AD=13，BD=12，∠C=90°，AC=4，BC=3，求陰影部分的面積.

圖5

師生活動：學生嘗試解決問題，并在班級內交流展示.教師評價學生的解題思路，總結解題方法，規范書寫步驟，強化勾股定理的應用.

【設計意圖】難度遞增的練習設計不僅能加深學生對數學命題的理解，還能兼顧到不同思維水平學生的自我提升需要.通過對數學命題的感知、探究和解讀，師生已經形成了有關勾股定理探究的思維方式，養成了一定的質疑式思維習慣，提高了學生的思維能力.在此階段，師生的思維方向逐漸趨于統一，后續通過共同總結數學命題，歸納證明思路，消解思維障礙，點明思想方法，達到師生思維同頻共振的狀態.

三、總結反思

在上述對勾股定理的質疑式學習過程中，問題貫穿每個階段，學生質疑的對象多樣，如對數學問題的質疑、對他人觀點的質疑、對某個知識點的質疑.教師對在課堂上收集的學生提出的問題進行反思總結，有利于更好地把握學生命題學習中的思維偏差，了解學生思維的最近發展區和知識漏洞.在課堂教學過程中，教師通過適時的思維誘導和點評，讓學生明白“什么問題是好問題”“怎樣提出好問題”“以后應該如何思考此類問題”等，體現質疑的過程與方法，發展學生的創新精神.

在充滿質疑的課堂氛圍中，師生的思維經歷了問題導入的激活階段、交流解讀的調整階段、邏輯爭辯的活躍階段、強化應用的同頻階段.質疑式數學命題學習思維的建構，通常以學生為主體，以問題為主線，以質疑為特征，以思維為價值導向，在提高命題學習的深刻性、針對性和有效性的同時，致力于培養學生的問題意識、自主學習能力、合作交流能力、創新實踐能力和質疑精神.