中考總復習中知識網絡的構建
——以“角平分線的畫法”微專題為例

陳 蘭

（北京市文匯中學）

一、教學緣起

在中考總復習的教學實踐中，筆者發現很多學生對于解只包含單一知識點的基礎題并不畏懼，但是對于需要綜合利用已有知識解決的問題普遍感到困難.這是因為學生對于知識的理解只停留在“只見樹木，不見森林”的階段.在解決綜合性問題時，學生不僅要掌握涉及的每個知識點，還要整體把握知識結構并理解知識點間的聯系.教師通常讓學生以知識板塊為單位繪制思維導圖，梳理知識脈絡，可以按大板塊劃分為數與代數、圖形與幾何、統計與概率三部分內容，也可以按小板塊劃分為方程、不等式、函數、直線形圖形、圓等內容.為了幫助學生自主構建知識網絡，教師可以以微專題的形式帶領學生梳理知識.例如，設置畫角平分線，證明兩條線段相等，證明兩條線段垂直或平行，證明線段或角的和、差、倍、比關系等微專題.這個梳理過程不是機械地照搬教材目錄，而是將與之相關的知識點組織成知識網絡，幫助學生將知識連點成線、連線成網，最終形成完整且靈活的知識網絡.

下面以“角平分線的畫法”微專題為例，幫助學生構建相關的知識網絡.

如何畫一個角的平分線呢？人教版《義務教育教科書·數學》（以下統稱“教材”）八年級上冊“12.3 角的平分線的性質”中以一個平分角的儀器為引例，講授了角平分線的一種經典尺規作圖方法.教材這樣安排的目的既是對全等三角形性質和判定的應用，也是啟發學生思考角平分線的尺規作圖方法.但是，學習完初中平面幾何的全部內容后，在中考總復習階段，重新回答這一問題時，學生會有怎樣的認識呢？筆者嘗試在九年級設計“角平分線的畫法”這樣一節微專題活動課.課前，教師提出如下問題：不限工具，嘗試用盡可能多的方法畫一個已知角的平分線.課堂上，學生提出了多種作圖方法，然后教師引導學生梳理每種作圖方法的依據，以及各種方法之間的聯系，進而使學生認識各種方法背后的數學本質.

二、方法展示

本節課上，學生給出了如下作圖方法.

方法1：如圖1，分別在OA，OB上截取OD=OC，連接CD，過點O作OE⊥CD于點E，則射線OE即為所求.

圖1

由等腰三角形“三線合一”的性質，可得∠DOE=∠COE.

方法2：如圖2，利用任意矩形紙片（或直尺），將矩形一邊分別與角的兩邊對齊，沿矩形的對邊畫直線a和直線b，兩線交于點C，則射線OC即為所求.

圖2

這里利用了平行線間的距離處處相等和角平分線的判定定理，轉化為作圖過程，即將角的兩邊OA，OB分別平移相同的距離至直線a和直線b處.

方法3：如圖3，用圓規分別在OA，OB上截取OD=OC，分別以點C，D為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點E，則射線OE即為所求.

圖3

先判定△ODE≌△OCE，由全等三角形的性質得∠DOE=∠COE.這個方法就是角平分儀的設計原理.

方法4：如圖4，分別在OA，OB上截取OD=OC，OG=OF，連接CG，DF，交于點E，則射線OE即為所求.

圖4

先判定△OCG≌△ODF，再判定△DEG≌△CEF，進而判定△DEO≌△CEO，由全等三角形的性質得∠DOE=∠COE.

方法5：如圖5，分別在OA，OB上截取OD=OC，將直角三角板的直角頂點置于點D處，使一條直角邊與DA重合，沿另一條直角邊畫直線DG交OB于點G，同樣作直線CF⊥OB交OA于點F，CF與DG交于點E，則射線OE即為所求.

圖5

這里先判定Rt△DEO≌Rt△CEO，由全等三角形的性質得∠DOE=∠COE.

方法6：如圖6，分別在OA，OB上截取OD=OC，分別以點C，D為圓心，以OC長為半徑畫弧，兩弧交于點E，則射線OE即為所求.

圖6

由四邊相等的四邊形是菱形，以及菱形的對角線平分一組對角的性質得證.

方法7：如圖7，將圓形紙片（圓心E打孔）放在∠AOB的內部，使圓和角的兩邊相切，則射線OE即為所求.

圖7

由切線長定理“過圓外一點的兩條切線長相等”及三角形全等得證.

方法8：如圖8，將圓形紙片（圓心O打孔）的圓心與角的頂點重合，角兩邊與圓交于點C，D，對折圓形紙片使點C與點D重合，由垂徑定理推得折痕為直徑所在直線，此時∠DOE=∠COE=∠DFC，則射線OE即為所求.

圖8

方法9：如圖9，將小圓紙片的圓心O與角的頂點重合，小圓紙片與角的兩邊交于點C和點D，使點C和點D同時在大圓O′上，則兩圓心的連線OO′即為所求.

圖9

方法10：如圖10，在OA上任取一點D，過點D作DF∥OB，以點D為圓心，DO長為半徑畫弧，與DF交于點E，則射線OE即為所求.

圖10

這里用到了平行線的性質和等腰三角形的性質，將角等量轉移，得∠DOE=∠DEO=∠EOB.

方法11：如圖11，在OA上任取一點D，在OB上截取OC=3OD，連接CD，取線段CD靠近點D的四等分點為E，則射線OE即為所求.

圖11

此法可由面積法得證.如圖12，過點E向角兩邊作垂線，分別交OA，OB于點H，I，則又因為，所以EH=EI.所以OE為∠AOB的平分線.

圖12

或者由平行線分線段成比例定理的逆命題可證.如圖13，過點D作DG∥OC，交OE于點G，得又因為，所以，進而得DG=OD.所以∠DGO=∠DOG=∠GOB.此法還可以推廣至一般情況，截取OC=nOD，在CD上截取n+1等分點.

圖13

三、總結歸納

學生展示各種作圖方法后，教師通過以下問題引導學生構建知識網絡.

問題1：這些方法的本質是什么？試用一句話簡要概括每種方法.

學生總結如下.

方法1 借助了等腰三角形的軸對稱性；方法2～方法5構造了軸對稱變換下的兩個全等三角形；方法6構造了菱形，借助菱形的性質來判斷；方法7 利用了圓的軸對稱性，以及圓和角兩邊相切的特殊的軸對稱位置關系；方法8利用了同弧所對圓心角和圓周角間的二倍關系，及圓的軸對稱應用——垂徑定理；方法9借助了兩圓相交時圓心的連線是其對稱軸的特點；方法10利用“等腰+平行線”構造出角平分線；方法11可以由方法10的思路延伸得到.如果將平行條件換作等價條件呢？因而想到嘗試用線段成比例推導平行的方法.

問題2：方法之間有何聯系？

方法1和方法8的本質相同，圓的垂徑定理也源于圓與等腰三角形共軸，它們都是軸對稱性的體現；方法2和方法7同源，將方法7的操作方法轉化為作圖方法則滿足方法2 的條件，切線長定理本質上是圓的軸對稱性的體現；方法3 和方法6 都是構造翻折形全等（箏形或菱形），方法3 更具有一般性；方法4和方法5都是構造“燕尾形”全等，且方法5具有特殊性.

問題3：哪些方法有共性，可以歸為一類？

經過再提煉，學生發現方法1～ 9 都抓住了角是軸對稱圖形的本質，構造另一個軸對稱圖形使之與角共軸，因此找到角的對稱軸即角平分線所在直線.這些方法幾乎涵蓋了我們學過的等腰三角形、軸對稱變換下的兩個全等三角形、菱形和圓這些軸對稱圖形.再觀察圖形，學生發現角及角平分線的圖形被“包含”在這些具有軸對稱性的基本圖形中.這是因為角是更簡單的軸對稱圖形，可以被組合在更復雜的軸對稱圖形中.學生體會到：研究圖形的性質要抓住對稱性，進而從這個宏觀的本質屬性中發現圖形元素的數量關系和位置關系這些微觀表現.例如，圓的垂徑定理、切線長定理是其軸對稱性的表現，平行四邊形的性質是由其中心對稱性統領.那么，如何“放置”這個構造的軸對稱圖形才能使之與角共軸呢？學生進一步歸納出使角和這個軸對稱圖形至少有一對公共的對稱點.教師追問：怎么借助正多邊形或者拋物線畫角平分線？其道理與前面是相通的，學生可以自行探究.至此，學生抓住了畫角平分線的本質.

四、教學反思

《義務教育數學課程標準（2022年版）》指出，在教學中要重視對教學內容的整體分析，幫助學生建立能體現數學學科本質、對未來學習有支撐意義的結構化的數學知識體系.通過合適的主題整合教學內容，幫助學生學會用整體的、聯系的、發展的眼光看問題，形成科學的思維習慣，發展數學核心素養.中考復習課正是落實這一教學目標、踐行新課程理念的有效載體.

什么內容和形式的復習課能有效凸顯其定位和價值？復習課的教育價值是建立系統和簡約的知識體系，引導學生提煉數學思想和方法，積累數學活動經驗，并把獲得的數學知識、思想方法和活動經驗遷移應用，在此過程中發展學生的數學核心素養.微專題形式的復習課正是幫助學生在知識的結果性認知基礎上，根據當前的學習活動去聯想、調動、激活以往的知識經驗，以融會貫通的方式對內容進行組織，使相關單元知識之間建立起具有簡約性、多觸點、結構化的網絡.

什么教學形式的復習課能更好地調動學生思維的積極性，讓學生有更多收獲？在強調活動與體驗的實踐活動課中，學生能真正成為學習的主體，在實踐、探究、體驗、反思、合作、交流等學習過程中深化認識、感悟基本思想、積累基本活動經驗.學生親身經歷知識網絡的形成、發展、聯結過程，將靜態的知識點激活，全身心地體驗知識間的聯結，這樣才能自主構建屬于自己的靈活的知識網絡.