用數學思想引領問題探究
——以網格中的銳角三角函數題為例

翟麗紅

（遼寧省鞍山市第五十一中學）

數學在形成人的理性思維、科學精神和促進個人智力發展中發揮著不可替代的作用.數學思想能引領學生獲得解決問題的方法，幫助學生訓練邏輯思維，提高解決問題的能力.一方面，初中數學知識的應用依托于數學問題的解決，數學思想方法有助于學生發現問題中的規律和共性；另一方面，在面對數學問題時，不妨嘗試從多個角度展開分析，從而探索出數學問題背后的奧秘.這種依托數學思想的探究性學習，既有利于提升學生解決問題的能力，還能促進學生探究精神、創新精神的形成和發展.

求銳角三角函數值是歷年中考數學考查的熱點.近幾年以網格為背景考查銳角三角函數的試題越發受到命題者的青睞.網格中的三角形大多是一般三角形，需要學生靈活添加輔助線構造直角三角形，因此這類試題能有效考查學生的思維能力，尤其是利用轉化思想解決問題的能力.本文以網格中的銳角三角函數題為例，通過教學實踐，對如何用轉化思想引領學生探究問題進行探究.

一、明確教學理論框架

數學思想是指現實世界的空間形式和數量關系反映到人們的意識之中，經過思維活動而產生的結果.由此可見，讓學生經歷數學活動過程是實現其思維轉化的重要前提，這對學生的學習能力乃至綜合能力的提升至關重要.所謂轉化思想，就是把所要解決的問題轉化為另一個較易解決的問題或已經解決的問題.其中，“轉化”即新知生長點.利用轉化思想探究問題解決方案的過程大致如圖1所示.

圖1

二、基于轉化思想探究和解決問題

筆者從兩道例題開始，引導學生經歷思考、猜想、探究的問題解決過程，然后通過“舉一反三”地解決問題來發展學生的思維，鞏固學生利用轉化思想探究問題和解決問題的方法.

1.例題及活動設計

例1如圖2，網格中每個小正方形的邊長均為1，點A，B，O都在格點上，求∠AOB的正弦值.

圖2

例2如圖3，網格中每個小正方形的邊長均為1，△ABC的每個頂點都在格點上，求∠BAC的余弦值.

圖3

這兩道例題初看并不難，但因為∠AOB和∠BAC都不在直角三角形中，所以學生難以直接求出∠AOB的正弦值和∠BAC的余弦值.認真審題后發現，可以利用轉化思想解決問題，即借助輔助線構造含有∠AOB或∠BAC的直角三角形.那么，如何引導學生轉化呢？基于此，接下來呈現組織學生探究這一類問題解決方法的過程，并對其中蘊含的思想方法進行分析.

為了凸顯學生的主體地位和教師的主導作用，筆者讓學生在合作學習中交流與分享.在學生合作交流之初，教師有意識地引導學生思考：要求解的問題與哪些已經學過的知識有聯系或是相似？學生通過思考發現，此題與直角三角形中的銳角三角函數有聯系.這其實就是新知識的生長點，是解決問題的突破口.找到這一生長點，就為探究新知或解法作好了鋪墊.

通過合作交流，學生針對例題的求解形成了如下共識.首先，該問題與銳角三角函數有聯系，是銳角三角函數的拓展內容；其次，求一個角的三角函數值，除了已經學過的特殊角外，一般銳角的三角函數值求法與其類似，即把銳角置于直角三角形中；最后，添加輔助線構造直角三角形.如果直角頂點恰好在格點上（如例1），那么可以先利用勾股定理求出三角形的邊長，然后利用銳角三角函數的概念求解；如果直角頂點不在格點上（如例2），那么可以先根據等積法或勾股定理等方法求出相關邊的長度，然后利用銳角三角函數的概念求解.

2.解法探究

對于例1，將∠AOB置于一個直角三角形中有多種輔助線的作法可供選擇，如過點B作OA的垂線或過點B作OB的垂線等.但因為這樣作輔助線后的垂足不在格點上，所以這兩種作輔助線的方案被否定.此時，不妨擺脫在△AOB內部作輔助線的思維定式，將視角擴大至整個網格圖.不難發現，可以延長OB到點C，連接AC（如圖4）.如此一來，易證得∠ACB=90°，且相關線段的長度較容易求出，問題得以解決.

圖4

解：如圖4，延長OB到點C，連接AC，易得∠ACO=90°.

在Rt△AOC中，

對于例2，將∠BAC置于一個直角三角形中也有多種輔助線的作法可供選擇，如過點C作AB的垂線或過點B作AC的垂線.經過分析，發現這兩種方法都能夠解決問題.

解：如圖5，過點C作AB的垂線，垂足為點D，將△ABC補成正方形AEMN.易得△ABC的面積為6.

圖5

在△ABC中，因為

在Rt△ACD中，因為AC=2 5，

對于例2，教師可以啟發學生思考：除了點C外，能否過△ABC的其他頂點作對邊的垂線？接下來，學生可以嘗試過點A作FA⊥BC于點F，過點C作CD⊥AB于點D，如圖6所示.此時，可以先根據勾股定理計算得到AB=AC=2 5 ，BC=2 2 ，可知△ABC是等腰三角形.則F是BC的中點，且點F在格點上.所以AF=3 2 .然后，利用等面積法求得CD的長，再根據勾股定理得到AD的長，最后計算出∠BAC的余弦值為

圖6

3.舉一反三，鞏固提升

教師在講完上述例題后，不妨讓學生完成以下練習，以培養學生舉一反三的能力，鞏固基礎知識.

練習：圖7 是由邊長相同的小正方形組成的網格，A，B，P，Q四點均在格點上，線段AB，PQ相交于點M，則∠QMB的正切值是（）.

圖7

該題既保持了角不在直角三角形中的風格，又獨樹一幟地采用兩條線段相交形成角的方式呈現題目要求，需要學生在掌握解決例題方法的基礎上，利用創造性思維尋找解決問題的突破口.首先，仔細觀察兩條線段及其格點，構造出直角或直角三角形，如圖8所示.其次，綜合運用勾股定理及逆定理和相似三角形得到相應線段的長，從而解決問題.通過該題，不僅讓學生的創造性思維得到了訓練，而且讓學生在綜合運用多個知識點解決問題的基礎上，進一步認識到了夯實基礎知識和拓展基本技能（包含利用轉化思想解決問題）的重要性，有助于發展學生的創新精神.

圖8

三、感悟思想

轉化思想是初中數學中常見的一種思想方法，它不僅能讓復雜的問題變得簡單，讓生疏的問題變得熟悉，而且能讓原本抽象的問題變得直觀，讓含糊不清之處變得明朗清晰.上述教學過程中，通過作輔助線將原本不在直角三角形中的角轉化到直角三角形中，讓原本復雜的問題變得簡單.因此，筆者認為可以從以下幾個方面出發開展轉化思想的教學實踐，以幫助學生在面對實際問題時能自主利用轉化思想解決問題.

首先，要引導學生充分理解問題的條件和所求，幫助學生準確把握問題的本質，找到解題的思路.在數學中，很多問題看似復雜，但只要厘清問題的條件和所求，就能夠快速找到解題的方法，從而提升學生分析問題和解決問題的能力，這是發展學生數學核心素養的基礎環節.因此，在解決數學問題之前，教師要引導學生仔細閱讀和理解問題，明確問題的已知條件和所求，從而使學生選擇和應用適當的數學思想方法來解決問題.

其次，教師要指導學生善于將生活問題轉化為適當的數學模型.將生活問題轉化為數學模型可以幫助學生更好地理解和掌握數學知識，使學生直觀地感受數學知識的應用價值，從而加深對知識的理解.同時，可以激發學生對數學學習的興趣和熱情.生活中的問題往往是復雜多樣的，將其抽象為數學問題來解決，可以讓學生感受到數學的魅力和神奇，從而激發他們對數學的熱愛和探索欲.當然，將生活問題轉化為數學模型還可以培養學生的創新精神和實踐能力.在解決實際問題時，學生需要結合數學知識和實際情況進行分析和思考，提出合理的假設和論證，從而得出有效的解決方案.這不僅能鍛煉學生的創造力，還可以幫助學生學會合作與溝通，培養學生的團隊精神和實踐能力.

最后，要注意細節和思維的連貫性.數學問題通常都有一定的規律性和邏輯性，只有注重細節，才能把握問題的重點和關鍵點，從而找到解決問題的方法和途徑.另外，思維的連貫性是解決數學問題的關鍵，可以有效避免在解題過程中出現混亂和錯誤.因此，教師要培養學生認真思考和檢驗的習慣.

總之，教師既要重視問題解決的過程，更要注重對學生數學思維的培養，這樣對學生的發展才更有利.