數學的巨大作用超乎想象

【摘 要】 數學是一門科學，是一種文化，也是一門藝術.隨著經濟社會的高速發展，高科技已成為國家實力的象征、成為提升國家話語權的助推器，而高科技的開發離不開數學，數學已滲透到現代經濟社會發展的各個領域的方方面面，實例證明數學的巨大作用無處不在且愈來愈凸顯.簡述數學的內涵及巨大作用，旨在期待激發青年學生學習數學的興趣和熱情，實現學好數學立志成才報效祖國的宏愿.

【關鍵詞】 數學；內涵；作用；數學學習

數學具有高度的抽象性、精確性以及應用的廣泛性.20世紀以來的數學，呈現更高的抽象性發展趨勢與空前的應用廣泛性，一是數學的核心領域和前沿分支變得越來越抽象，二是數學的應用及與其他學科的滲透結合也變得越來越廣泛.核心數學和前沿數學分支創造的許多高度抽象的概念、語言、結構、方法與理論，被反復證實是其他科學技術和人類生產與社會實踐中普遍適用的不可或缺的工具［1］.世界科技的高速發展，無不向世人昭示著數學特別是現代數學應用的廣泛性及其巨大的作用.

因此，當代青年學生對數學的重要性必須有一個清晰的認識.本文就數學的內涵及巨大作用進行概述，旨在期待激發青年學生學習數學的興趣和熱情，拓寬其視野，培養其創新思維，實現其學好數學立志成才報效祖國的宏愿.

1 對數學內涵及作用的再認識

數學是一門科學.數學產生于人們計數、計算、測量、研究天文和對物體形狀及運動的觀察的社會實踐中，不斷發現問題，解決問題，推進數學的發展.它通過抽象化和邏輯推理，利用符號語言研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念.可以說，數學是研究數與形、運動與變化的科學.數學是物理、化學、生物、醫學、信息、人工智能、計算機、工程技術以及經濟學、管理學等自然科學和社會科學領域必不可少的基本工具.它極大地提高了人類認識客觀世界、改造客觀世界和創造精神與物質文明的能力.一些劃時代的科學理論成就的出現，無不借助數學的力量，數學毋庸置疑是一門重要的科學.

數學是一種文化.數學文化帶來的情感、意志、思想、品德等精神與思維方式為人類認識世界改造世界提供了方法論基礎和技術性手段，有力地推進了人類文明的進程［2］.從古希臘哲學家的演繹邏輯，到文藝復興運動的自由人文理念，再到工業革命帶來全新的時空觀，每一次數學文化的飛躍，都帶來了自然科學的空前繁榮，從而影響到社會生活的方方面面.數學發展到今天，更富有自然、社會、歷史、人文等豐富的文化內涵.

數學也是一門藝術.數學語言具有簡潔美、對稱美和統一美，能震撼人的靈魂，愉悅人的身心，陶冶人的情趣.數學邏輯性強，能訓練人們的思維能力和創新能力，它注重方式方法，能讓你的思維更敏銳，啟迪發明靈感，創造奇跡.意大利著名畫家達·芬奇的畫作《蒙娜麗莎的微笑》中蒙娜麗莎的臉是典型的黃金分割，由此造就了其神秘莫測的千古奇韻.隨著經濟社會的發展，數學在人類的生活工作中無處不在，數學是一門融入我們生活并伴隨我們一生的藝術.例如黃金比例被應用在建筑或藝術上；勾股定理被應用在工程建設上；概率被應用在經濟學上；微積分被應用在統計、工程、管理上等等.我們知道，夜晚上海、杭州等城市璀璨悅目的燈光秀，獨具匠心的音樂噴泉，中國國家體育場（北京鳥巢）、中國國家大劇院、澳大利亞的標志性建筑悉尼歌劇院、阿聯酋迪拜哈利法塔等世界九大現代建筑奇跡，我國北斗衛星的全球導航系統等等，件件都是扣人心弦的藝術精品，數學就是其中功不可沒的藝術導演，它用具體事例，將數學的藝術性話題淋漓盡致地呈現給世人［3］.

2 數學的巨大作用無處不在

當今世界高科技發展的突飛猛進，離不開數學的引擎作用，數學特別是現代數學的巨大作用在現代經濟社會發展的各個領域隨處可見，其魅力、作用超乎想象.

2.1 數學對重大突發公共衛生事件的作用

突如其來的新冠肺炎疫情自2019年底在武漢發現并向全國各地蔓延，隨后國家重大突發公共衛生事件一級響應在各省市自治區先后啟動，2020年3月底新冠肺炎疫情在國內得到了階段性有效控制.之后，我國部分省市局部區域發生輸入性或本土病例引起的本土疫情也得以成功防控.其中貢獻首推大數據技術的運用，它對疫情追蹤溯源、路徑傳播、定位感染源、鎖定被感染者曾經接觸過的人群、疫情發展模型預測、資源調配等的作用可圈可點，防疫健康信息碼、通信大數據行程卡和場所碼的成功使用可見一斑.科學高效的核酸混樣檢測方法是疫情期間武漢市防控的創舉，是落實疫情動態清零方針進行核酸檢測的首選方法，數學期望理論知識和大數據技術作用顯著.而大數據技術的開發是建立在數理統計、概率論、線性代數、離散數學、最優化方法等數學基礎上的.利用互聯網大數據對重大公共衛生突發事件進行群防群控，是未來疫情防控的關鍵手段和重要支撐.

2.2 數學對國防安全的作用

定量化分析、建模應用于現代化戰爭.大到戰略布局、戰役指揮，小到訓練方案、作戰方案，都需要進行定量化分析，建立數學模型，形成隨機應變的作戰指揮系統，以適應瞬息萬變的現代戰爭.其中運籌學、概率統計等數學知識發揮著重要作用.國之重器東風系列導彈的數倍超音速發射、變軌避開敵方的導彈防御系統、精準命中并摧毀目標，都有賴于定量化分析、建模、數論理論編制的密碼及其北斗系統的導航定位.軍用無人機是現代或未來戰爭中不可或缺的一款武器裝備，不僅能替代飛行員執行攻擊任務，同時也能充當電子戰機，對敵軍進行偵查.我國第一款隱身無人機攻擊-11，采用與B-2轟炸機相同的氣動布局，性能完美，威懾力強.無人機技術離不開矩陣計算、空間解析幾何、微分方程、三角計算、微積分、概率論等數學知識.我國航空母艦山東艦、福建艦的自主設計、建造和配套涉及多種學科，但數學與應用數學、信息與計算科學、數據計算及應用、統計學、應用統計學、智能科學與技術、電子與計算機工程等數學領域的知識所起的巨大作用是震撼性的.

我國眾多優秀數學家參與了原子彈和氫彈的研制工作，攻克重重技術難關，創研制原子彈的試驗次數約為美國的十分之一的奇跡，且成功研制原子彈到氫彈的時間僅用了兩年零八個月，令世界矚目和震驚.而原子彈和氫彈的爆炸成功離不開質能方程及其他數學知識的應用［4］.

數論作用于信息的“加密”與“解密”.大多數公開密鑰算法都基于計算復雜度極高的難題，解決方案需要在高速計算機上花費大量時間才能得到答案，這些方法的巧妙運用來自于數論.例如，RSA是由整數因子分解導出的，DSA是由離散對數導出的，橢圓曲線密碼術是基于與橢圓曲線有關的數學問題［5］.我國著名數學家華羅庚和王元在近代數論基礎領域和方法應用研究領域及其他數學領域的建樹頗多，在中外近代數學史中留下濃重的一筆.

2.2 數學對人工智能的作用

人工智能就是給予計算機智能的大腦，代替人們去處理事情.人工智能其實是一個緊密結合數學、算法理論和工程實踐的領域，歸根結底是各種數學理論的綜合反映，如算法、統計學、概率論、偏微分方程、離散數學和模糊數學等.例如，一個概率公式加上一個馬爾可夫假設就可以完成簡單的機器翻譯和語音識別.人工智能綜合性很強，機器識別、遺傳算法、概率統計、數據分析等等都在其領域起著重要的作用，數學是這些分門別類知識的核心基礎，是人工智能成為規范科學的關鍵［6］.

人工智能的研究領域和應用領域主要有自然語音、智能搜索、機器人學、推理、規劃、遺傳編程、知識獲取、智能控制、語言與圖像理解、金融貿易、教育、農業、制造、安防、遠程通訊、醫藥診斷、人臉識別等等.人工智能機器人可替代高危、繁重、機械的人工操作，完成人工無法涉足的區域操控，如機器人進入人體的血管診療、深?？碧?、高溫操作等.

特別是2022年11月ChatGPT生成式人工智能的橫空出世，震撼沖擊著人們傳統的認知.有關專家普遍認為，未來20年內，ChatGPT類型的人工智能，將取代全球一半工作崗位.可見，人工智能的未來將改變世界是不爭的事實，而數學知識則是其設計、自我進化及應用的靈魂.

2.3 數學對航空航天的作用

當今世界上任何一枚火箭的設計制造，都離不開齊奧爾科夫斯基公式.1903年，由俄國科學家康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基提出，即在不考慮空氣動力和地球引力的理想情況下計算火箭在發動機工作期間獲得速度增量的公式，即v=ωln（m0/mk），式中v為速度增量，ω為噴流相對火箭的速度，m0和mk分別為發動機工作開始和結束時的火箭質量［7］.開拓性地推論出關于火箭飛行速度同火箭發動機噴氣速度、火箭質量、燃料質量的關系.

數學可精確計算航天器發射時間.航天器發射時間的限制條件繁多，包括發射地點、光照條件、氣流溫差、回收時間、交會對接等等.通過建立每個發射限制條件和發射時間之間的計算公式，可分別精準算出相應的發射窗口，取其共同部分便是航天器最終確定的發射時間.我國北斗系統完成衛星發射、入軌、組網，探月工程系列“天宮”的發射入軌，嫦娥五號返回式探測器成功在月球著陸并采集月壤樣本帶回地球，天問一號火星探測器成功發射、入軌、變軌和著陸，其“祝融號”火星車先后開展了對著陸點全局成像、自檢、駛離著陸平臺等工作，并對火星巡視區的形貌、地質構造、土壤結構（剖面）、大氣物理特征、地表環境等進行了探測、按指令傳輸遙測數據、傳導拍攝的圖像，載人飛船的成功返回，我國空間站將完成在軌建造等，都與數學緊密關聯，其作用無可替代.

2.4 數學對信息技術的作用

主要信息學科的建立和發展中，一些著名數學及理論往往成為相關領域的靈魂和支柱.快速傅里葉變換催生了今天的互聯網；谷歌的核心技術就依賴于大型矩陣特征值的快速算法；華為5G技術源于線性代數、數論、矩陣乘法等現代數學知識的應用，其技術和標準也得益于阿勒坎（土耳其教授）在十多年前發表的一篇數學論文.

數學有效解決了物聯網中的關鍵問題.提出并發展具有原創性的理論和方法，給出具有實時性、精確性、智能性和魯棒性的分布式網絡算法，有效解決了以物聯網為代表的網絡優化與控制技術中的關鍵科學問題.物聯網具有的全面感知、可靠傳輸、智能處理的三大特性無不包含著與數學的緊密關系［8］.

2.5 數學對生物醫藥、醫療診斷的作用

建立數學模型可研究生命現象.數學模型可以定量描述生命物質的運動過程，借助數學模型，可以將一個復雜的生物學問題轉化為數學問題.通過對數學模型的邏輯推理、分析和運算，可以得出探索客觀事物的相關結論，從而開辟一條研究生命現象的捷徑.微分方程應用于建立各種生物模型，布爾代數用于描述神經網絡，拓撲學用于深入了解DNA的結構，傅里葉分析用于分析生物高分子結構等［9］.美國數學家科馬克利用數學中的拉東（奧地利數學家）積分變換解決了計算機斷層掃描的核心理論問題，發現了人體不同組織吸收X射線量的數學公式.20世紀60年代，英國發明家亨斯菲爾德基于這一原理發明了X射線斷層掃描儀，即CT掃描儀.不久，保羅·老特布爾（美國）和彼得·曼斯菲爾德（英國）發明了核磁共振成像技術，1983年德國西門子公司發明了第一臺醫用磁共振機.這都與數學密切關聯，由此帶來了醫療診斷的飛躍發展.

數學可輔助精準醫療.華為5G技術可用于對病患者的遠程診斷、線上治療.浙江大學一醫療團隊通過數學模型和數學算法，不僅能重構病人腹部三維，而且還編成軟件呈現給醫生，為他們精準診斷提供科學依據.同時還利用深度學習處理超聲影像，并加入旋轉不變性等現代數學的概念，研制成功了基于超聲影像的DE超聲機器人智能診斷系統.

2.6 數學對能源的作用

電的安全有賴于偏微分方程組、幾何學的應用.遼闊地域聯成由若干電網組成的大電網，每個電網由若干發電廠支持，每個發電廠的生產過程都可用微分方程組描述，用高階代數方程作為約束條件.發電和供電、輸電的安全問題涉及復雜的偏微分方程組、幾何學等多方面數學問題.新能源太陽能發電、并網、用電同樣依賴于上述數學知識.著名數學家陳省身、吳新謀、蘇步青、谷超豪、陶哲軒等在所研究的偏微分方程或微分幾何學領域建樹頗大，在國際特別是國內影響深遠.

油氣勘探同樣離不開數學.統計學、概率論、大型計算機廣泛應用于石油工業勘探生產，精確度高，為油氣勘探提供了強有力的科學依據.由于油氣資源的勘探日益復雜，利用大型計算機和先進的數學方法處理油氣勘探地震資料，已成為國內外油氣勘探的最重要的手段.

2.7 數學對海洋研究的作用

大數據助力天氣預報.偏微分方程、隨機微分方程、計算方法等研究方向在大氣與海洋科學的研究中都有重要應用.例如，我國多處沿海城市打造的海洋大數據系統，通過數據融合、交織分析和智能處理，能精準預報天氣和海浪海流層級，給出指定區域的出行建議，并能預測臺風登陸行徑，為專家、領導決策提供依據.

數學模型能預測臺風.數學模型通過估計臺風登陸的地點和時間、臺風的最大風力，以及臺風登陸的速度，為臺風預警系統提供支持.微分方程、最小二乘法、矩陣等數學知識在臺風預測過程中得到了廣泛的應用.

數學模型能預測海嘯.數學模型能估算海嘯登陸的地點、登陸的時間、海浪的高度，以及海浪前進的速度，為海嘯預警系統提供支持.數學有助于科學映射海底的地形，并根據不規則的布置在相隔數百英里的地方的獨立海洋驗潮儀的數據，科學推斷大尺度波浪的行為.

2.8 數學對先進設計制造技術的作用

CAD核心功能與計算幾何等數學分支密不可分.在數字化設計制造技術發展的每個關鍵時刻，數學的作用愈顯突出.例如，計算機輔助設計（CAD）的核心功能：曲面造型、實體造型、參數化設計、交互技術、設計審查與評價等，直接建立在計算幾何、計算代數幾何、自動推理、運籌學等數學分支的基礎上.

數學可用于高檔數控機床的數控系統.數控系統是決定數控機床性能的大腦，其若干核心技術，是實現高速、高精控制的基礎.這些問題都與幾何計算、非線性方程組求解與最優控制問題有關.我國的造島神器絞吸式和耙吸式挖泥船，具有世界領先的疏浚、吹填及造地造島的強大能力，其建造和操作都與幾何建模、微分方程、柱坐標、疏浚寬度和深度的工作軌跡公式等數學知識的應用分不開.

2.9 數學對芯片設計制造的作用

芯片是一塊高度集成的電路板，也可稱IC，它也是集成電路經過設計、制造、封裝、測試的結果，通常是一個獨立的整體，可以立即使用.芯片的作用非常廣闊，華為的5G技術、服務器、北斗導航系統、導彈發射系統、載人飛船、艦艇、飛機、高鐵、計算機、互聯網、移動網絡、小轎車、家用電器等都離不開芯片，芯片是它們的心臟和靈魂.可以說哪個國家掌握了芯片，就等于掌握了國家的命運.而芯片的設計、制造與布爾代數、傅里葉變換、實變函數、數值分析、泛函分析、微積分、微分方程、統計、概率論、復數等數學知識密不可分.我國的一些數學家、物理學家和大國工匠等正在奮起直追世界芯片設計制造的高端水平，傾力掌握核心技術，突破研發瓶頸，努力實現我國自主研發制造微納米高質量系列芯片的宏偉目標.

馬克思認為：“一種科學只有在成功地運用數學時，才算達到了真正完善的地步.”數學推動了科學的發展，科學的發展進一步促進了對數學的深入研究.隨著經濟社會的高速發展，高科技已成為國家實力的象征，成為提升國家話語權的助推器，而高科技的開發離不開數學，數學已滲透到各個領域的方方面面，數學的巨大作用愈來愈凸顯［10］.所以，我們不可忽視數學對促進個人發展、實現人生理想的重要作用，特別是引導有志于探研數學的青年學生要具韌勁持恒心學好數學用好數學，致力開辟數學、研究數學應用的新天地.

參考文獻

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［5］ 吳中祥.數學與國家實力［EB/OL］.http：//www.sciencenet.cn/（網址：http：//blog.sciencenet.cn/blog-226-894701.html），2015-06-01.

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［7］ 康斯坦丁·齊奧爾科夫斯基.齊奧爾科夫斯基公式［EB/OL］.百度百科（網址：http：//baike.baidu.com/view/757218.html），2008-04-20.

［8］ 陳昱龍.物聯網與應用數學的關系分析［J］.中國戰略新興產業，2019（08）：111.

［9］ 張志強.數學生物學國際發展態勢：生物學未來的前沿是數學，數學未來的前沿是生物學［DB/OL］.http：//www.sciencenet.cn/（網址：http：//blog.sciencenet.cn/blog-528739-996897.html），2016-08-17.

［10］ 楊靜，潘麗云，劉獻軍，郭書春.大眾數學史［M］.濟南：山東科學技術出版社，2018：206-213.

作者簡介 蔡宗奎（1955—），男，浙江瑞安人，中學高級教師;研究方向為數學教育教學、教育理論與教育管理；發表論文多篇.