初中數學教學中“設而不求”解題技巧的應用研究

摘 要：為了幫助學生對初中數學復雜問題進行簡化探究和有效解答，文章研究了“設而不求”解題技巧在初中數學教學中的具體應用。首先概述“設而不求”內涵與價值，其次以人教版初中數學教材為參考，結合大量例題說明“設而不求”具體的應用方向和解題過程，最后簡要總結全文內容，以期為初中數學教師提供有益參考。

關鍵詞：初中數學；解題技巧；“設而不求”

中圖分類號：G427? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻標識碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號：2097-1737（2024）06-0068-04

在初中數學教學中，一部分復雜題目不能直接通過設未知數求解，而是要應用“設而不求”解題技巧，這要求教師指導學生掌握“設而不求”解題技巧，培養學生解決問題的多元思維。初中數學教師應主動理解“設而不求”解題技巧內涵與價值，找準典型例題，引導學生探究應用情境與方法。

一、“設而不求”的內涵與價值

“設而不求”是初中數學問題解決方法之一，指的是在解決某些復雜問題時設定一些未知數，然后將未知數視為已知數，根據題目本身各已知條件，通過整體消元簡化問題解決過程，在降低解題難度的基礎上提高解題的準確性。對于初中數學解題教學來說，

“設而不求”是極為重要的一種方法，使學生掌握初中數學“設而不求”解題技巧，不僅可全面提高他們在代數方程、函數、幾何圖形等方面的學習質量，還能使他們在中考時游刃有余地處理復雜題、壓軸題。初中數學教學離不開“設而不求”的解題技巧。教師應對此加以重視，結合典型例題指導學生。

二、“設而不求”在初中數學教學中的應用

（一）化簡運算問題

化簡運算屬于初中數學基礎知識，如有理數化簡運算、整式化簡運算等。雖然相較于方程、函數、空間幾何等知識點，化簡運算問題較為簡單，但也有一部分初中數學化簡計算問題具有一定復雜性，學生不能通過常規方式找到解題思路和答案，此時就需要運用“設而不求”解題技巧[1]。

例如，在人教版數學八年級（下冊）“二次根式的加減”教學中，有如下問題：

先化簡，再求值：＋

問題包含兩個根式，無形中增加了化簡與運算難度，但若細心觀察不難發現，被開方數有理數部分相同，無理數部分互為相反數。根據這一發現，可推測解題過程或許與以下兩公式有關：

平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2

完全平方公式：（a±b）2＝a2＋2ab＋b2

之后，以兩大公式為切入點，可設為a，為b，則原問題轉化為求解a+b的值。a2＝（）2＝6＋，b2＝（）2＝6－，則a2+b2＝12。ab＝·＝＝5。a+b＝，代入a2+b2＝12、ab＝5，則a+b＝＝，可得＋＝。

應用“設而不求”解題技巧，借助新的未知數表示算式中復雜的根式，學生可巧妙地將復雜根式化簡求值問題轉化為“開平方”問題，進而通過平方差公式與完全平方公式的創新運用實現準確解題。

（二）代數方程問題

1.三元一次方程組“設而不求”解題技巧

三元一次方程組為人教版數學七年級（下冊）“二元一次方程組”拓展延伸內容，也是初中“方程組”問題的重要內容。常規解題思路為通過“代入”或“加減”進行消元，將“解三元一次方程組”轉化為“解二元一次方程組”，再轉化為“解一元一次方程”，計算較為煩瑣。教師可以向學生講解相關“設而不求”解題技巧，巧解三元一次方程組問題[2]。

例如：有麻料、棉料、毛料三種布料，若購3匹麻料，7匹棉料，1匹毛料，共需315元；若購4匹麻料，

10 匹棉料，1匹毛料，共需420元?，F在購麻料、棉料、毛料各1匹，共需多少元？

結合題意，可設麻料、棉料、毛料的價格分別為x、y、z元，列出下面方程組：

解方程，聯立（1）（2）：（1）×3－（2）×2，可得

x＋y＋z＝150，求出原問題正確解。

對比傳統解法“一一求出未知數取值，然后將它們相加，求得問題最終解”，此解法先設未知數，然后將“x＋y＋z”視為一個整體，有效地簡化了計算過程。教師還可基于此問題變式，鼓勵學生進行變式練習，鞏固對應“設而不求”解題技巧。

2.分式方程“設而不求”解題技巧

分式方程為人教版數學八年級（上冊）的重要內容，主要目標是使學生正確地理解分式方程概念，通過求解分式方程解決實際問題。但是，基于“分式”復雜性，分式方程實際求解過程通常較為煩瑣，易使學生出現計算失誤。這就要求教師在分式方程問題中，同樣向學生傳授“設而不求”的解題技巧。

例如：解方程 ＋＝＋

觀察該分式方程可以發現，方程等號兩邊與互為倒數，與同樣互為倒數。這在增加方程求解難度的同時，也為學生提供了新的解題思路——“設而不求”。具體來說，基于“倒數”特征，可將方程等號左邊設為m、設為n，則方程等號右邊、可分別表示為、，原方程轉化為

m＋n＝＋。轉化后，方程兩邊同時乘以mn，去分母可得mn（m＋n）＝n＋m，則mn＝1或m＋n＝0。mn＝1時，m＝，則 ＝1÷，＝，解得x＝0或x＝8；m＋n＝0時，＋＝0，解得x＝。所以，原方程解為x＝0或x＝8或x＝。

采取“設而不求”解題技巧，根據等式兩側分式對應關系，將等式左側兩個分式分別設為m、n，右側分式對應轉化為、，有效降低了第一步“去分母”難度。之后，基于“去分母”結果求出m、n對應關系，在m＋n＝0或mn＝1與＋或·間建立聯系，可輕松求出未知數x的值。教師應注意引導學生挖掘分式方程此類對應關系，使學生準確把握“設而不求”切入點。另外，在求出分式方程“可能的解”后，

教師還應指導學生關注左右兩側分母是否為0，去除不合題意的解。此例題中，x＝0、x＝8或x＝時，方程左右兩側分母均不為0，所以均為方程解。

（三）函數問題

人教版初中數學函數問題包括一次函數、二次函數、反比例函數、銳角三角函數，貫穿八九年級。其中，二次函數圖像面積問題、反比例函數面積問題等，

均可應用“設而不求”解題技巧求解[3]。

例如，在人教版教學在人教版數學九年級（下冊）“反比例函數”教學中，有下面這一道關于面積

的題：

如圖1，已知在平面直角坐標系中，一條直線與反比例函數y＝（x>0）圖像交于A、B兩點，與x軸交于點C，且點B為AC中點。分別過A、B兩點作x軸的平行線，使其與反比例函數y＝（x>0）圖像交于D、E兩點，連接DE，則四邊形ABED的面積是多少？

圖1

根據題意，AD與BE兩條線相互平行，四邊形ABED滿足梯形判定條件，其中，AD為梯形上底，BE為梯形下底，AD與BE之間的距離則為梯形高。想要求出四邊形ABED的面積，必須先確認AD、BE的長及AD與BE之間距離的長，而求以上長度，需要明確A、B、D、E四點坐標。由此可應用“設而不求”解題技巧。首先，基于反比例函數y＝（x>0）圖像與直線交點，可設點B坐標為（，m）。由于點B為AC中點，且點C在坐標系x軸上，則點A橫縱坐標均為點B的2倍，

即（，2m）。又因為AD、BE與x軸平行，且點D、E與反比例函數y＝（x>0）圖像相交，則點E縱坐標為m，橫坐標為，整體可表示為E（，m），相對應的，點D坐標為（，2m）。AD長可通過點A、D橫坐標相減求得，即－。同理，BE長度為－，梯形高為2m－m，則梯形面積為：SABDE＝（－＋－）（2m－m），化簡過程如下：

SABDE＝（－＋－）（2m－m）＝×

×m＝××m＝

由反比例函數圖像交點B切入“設而不求”，設點B坐標為（，m），然后結合題意與圖像求出其他交點坐標，順利表示出四邊形ABED求面積所需長度，代入梯形面積計算公式（上底＋下底），最后約掉所設未知數m，得出四邊形面積。運用“設而不求”解題技巧，可使解題思路一目了然，大大降低了“求面積”

難度。

（四）幾何問題

初中數學幾何求值問題包括“求角度”“求長度”等，但由于很多時候題干沒有給出足夠的角度與長度信息，解題思路并不清晰，需要引入未知數。學生可以通過未知數逐步表示出解題所需角度或長度，

然后根據未知數在整個幾何圖形中的等量關系，順利求出待求角度或長度[4]。

例如，在人教版數學八年級（上冊）“三角形”教學中，有以下問題：

已知RtΔABD中（如圖2），∠ABD＝90°，C、E分別為線段AD上的兩點，滿足∠BAC＝∠BCA，BE將∠CBD平分為∠CBE與∠DBE，求∠AEB的度數。

圖2

這是典型的幾何圖形“求角度”問題?；趩栴}逆推，若想求出∠AEB的度數，需要用到∠CBE、∠CBD、∠ABD、∠ACB等多個角度，但是對于這些角，

題干都沒有給出明確的度數。因此，可結合已知角與圖形信息，將它分別設為不同未知數，解題過程如下：

設∠BAC＝∠BCA＝x，則∠ABC＝180°－∠BAC

－∠ABC＝180°－2x

∵BE平分∠CBD

∴∠CBE＝＝

＝＝x－45°

∴∠BAC＋∠ABE

＝∠BAC＋∠ABC＋∠CBE

＝x＋（180°－2x）＋（x－45°）

＝135°

∴∠AEB＝180°－（∠BAC＋∠ABE）

＝180°－135°＝45°

通過“設而不求”解題技巧，設∠BAC與∠BCA為未知數x，從而在未知角與已知角間順利建立聯系，

最后基于三角形內角和等量關系抵消未知數，求出待求角度，整體解題過程更加簡潔、高效。

（五）實際應用問題

“設而不求”解題技巧還可以應用在初中數學實際應用問題的解決中[5]。廣義上，初中數學問題可分為“數學問題”與“實際問題”兩部分，上述例題可統稱為“數學問題”?！皩嶋H問題”通常與現實生活息息相關，意在使學生避免“書本化”“應試化”的學習，

將所學知識與技能運用在實際生活中。然而在一些實際問題中，學生同樣會遇到不能借助已知條件解題的復雜情況，需要遷移運用“設而不求”解題技巧。

例如，在人教版數學八年級（下冊）“一次函數”

教學中，有以下問題：

明珠社區組織了一次團購活動，聯系了兩家旅行社，由2名導游帶隊，旅行票原價相同。A旅行社購票優惠活動為“1名導游不優惠，其他導游與居民7折優惠”。B旅行社購票優惠活動為“全體導游與居民7.5折優惠”。假設當參與團購的居民人數是多少時，兩家旅行社收費相同？

為了簡化計算，可將兩家旅行社旅行票原價設為a，參與團購居民人數設為x，則兩家旅行社收費情況分別為：

A旅行社：yA＝a＋0.7a（x＋1）

B旅行社：yB＝0.75a（x＋2）

若收費相同，則yA＝yB，a＋0.7a（x＋1）＝0.75a（x＋2），解得x＝4。

若基于常規列方程思路求解，由于不確定旅行票原價，很難順利解題。而融合一次函數與“設而不求”

解題技巧，通過設未知數在A、B旅行社收費之間建立函數關系，便可輕松解出題中所提問題。

三、結束語

言而總之，“設而不求”解題技巧是初中數學非常重要的解題思想與方法之一。教師應通過合理引導幫助學生掌握“設而不求”解題技巧，使他們能夠在面對復雜問題時，最大限度地簡化解題過程，提高效率與準確率。初中數學教學應大力完善“設而不求”解題技巧教學，以此提高學科整體教學質量。

參考文獻

陳興菊.“設而不求”思想在數學解題中的運用[J].初中數學教與學，2022（23）：21-23.

李斌.設而不求解題技巧在初中數學解題中的應用[J].數理天地（初中版），2022（17）：69-71.

張琳.“設而不求”巧解初中數學競賽題[J].初中數學教與學，2022（9）：45-46.

胡敬婷.例談“設而不求”技巧在初中數學解題中的應用[J].新課程導學，2022（9）：60-62.

丁鵬儒.“設而不求”解題技巧在初中數學解題中的應用[J].數學大世界，2021（6）：79.

作者簡介：鄭麗華（1986.8-），女，福建莆田人，

任教于福建莆田青璜中學，一級教師，本科學歷。