小學數學圖形教學重在釋“理”

摘要 圖形教學重在釋“理”，圖形學習要觀照說“理”。以“圓的再認識”教學為例，重視學生具身體驗，在想象操作中初步培養應用意識；關聯學生學習經驗，在幾何直觀中充分形成應用意識；引導學生理解遷移，在抽象思辨中深化發展應用意識，幫助學生理解、遷移和應用圖形特征去解釋現實世界中自然與人文現象的數學原理，深化再認識圖形的核心本質特征，培養數學抽象、直觀想象和空間觀念，發展應用意識。

關? 鍵? 詞 圖形教學；具身體驗；關聯經驗；理解遷移

引用格式 董文彬.小學數學圖形教學重在釋“理”[J].教學與管理，2024（11）：40-42.

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱 《課標2022年版》）提出指向“三會”數學核心素養的課程目標[1]。這對學生數學學習提出了應然要求：能夠透過事物的表面現象和物理屬性抽象出數學研究對象，形成數學的基本概念、關系和結構，從數學的角度去理解自然與人文現象背后的數學原理，感悟數學的審美價值，發展好奇心和想象力；能夠建立數學與現實世界之間的聯系，揭示客觀事物的本質屬性，有意識地運用數學概念、原理解釋現實世界中的現象；能夠以數學的語言方式數學化地表達現實世界中各種簡單的數學應用問題。在小學階段，從應然走向實然的一條重要途徑是：數學教學要觀照釋“理”。下面以“圓的再認識”教學為例，闡述圖形教學中如何釋“理”，幫助學生理解、遷移和應用圖形特征去解釋現實世界中自然與人文現象包含的數學原理，同時再現圖形的核心本質特征，培養空間觀念，發展應用意識。

圓是小學階段圖形與幾何領域“圖形的認識與測量”主題下“圖形的認識”第三學段的核心內容[2]，是平面圖形模塊中從直邊圖形走向曲邊圖形的開始，也是學生在圖形認識上一次思維與認知的重要跨越。在“圓的認識”（不含“圓的測量”）教學中，我們提煉了具體核心概念：圓心和半徑是刻畫圓的核心要素，解決與圓相關的問題往往需要尋找圓心和半徑；“一中同長”刻畫了圓的本質特征，解釋與圓有關的現實問題往往需要關聯圓的這一本質特征。據此，教師可以確定學生需要思考的關鍵問題：如何認識圓？圓是一個怎樣的圖形？如何刻畫曲邊圖形？學生由此展開單元學習。但在實際教學中，通過調研發現，學生雖然認識到圓具有“一中同長”的特征，卻無法用圓的知識解釋現實世界中的自然與人文現象，僅憑直覺說明道理。如何突破學生淺表化的認識，基于真實情境精心設計生動而深刻的學習活動或核心問題，引導學生在操作探索與思維關聯中，自主理解、遷移與應用圖形特征釋“理”，不斷發展應用意識呢？我們可從以下三方面尋求突破。

一、具身體驗，在想象操作中主動釋“理”，初步培養應用意識

圖形概念教學，特別注重圖形特征的認識與理解過程。教學中，我們要為學生創設真實的問題情境，讓學生“動”起來，充分參與概念建立的全過程，在具身體驗中想象操作，自主探索發現，主動釋“理”，初步形成應用意識。在幫助學生建立圓的概念特征的過程中，教師要把握以下兩點：一是要引導學生具身體驗，在充分感知中自主認識圖形特征；二是結合想象與操作活動主動釋“理”，再認識圖形的本質特征，適時培養應用意識?；诖?，教學中可以創設如下學習活動。

學習活動一：解釋“車輪為什么是圓的？”

教學中，分別用塑料板做成的圓、正方形和橢圓三種不同形狀的圖形，代替車輪。首先，教師啟發學生獨立想象三種“車輪”在地面上滾動時，坐在車上的人分別是什么感覺？“車輪”的中心點A隨著“車輪”滾動會是什么樣的痕跡？學生以角色代入的方式對“車輪”運動形成初步的圖形直覺：正方形、橢圓兩種“車輪”在滾動時上下顛簸、不平穩，學生猜想中心點A隨著“車輪”滾動可能形成一條曲線；圓形“車輪”在滾動時非常平穩，坐在車上的人感覺很舒服，學生猜想中心點A隨著“車輪”滾動可能形成一條直線。接著，引導學生以小組合作的方式，將三種塑料板“車輪”沿直尺的邊實際滾一滾，描出中心點A留下的痕跡，最后，解釋“車輪為什么是圓的”。

學生通過同伴互助，合作進行“車輪”滾動的模擬操作，在具身體驗中感受車輪滾動的狀態，描摹中心點的運動軌跡（如圖1），以實證的方式驗證操作之前的猜想。在這個過程中，讓學生觀察中心點A的運動痕跡，重點思考討論兩個問題：一是中心點的運動痕跡可以分成幾類，怎么分？二是圓心的運動痕跡為什么是直線？進而引導學生結合圓的知識對“車輪為什么是圓的”這個問題主動釋“理”：中心點A即是車軸位置，對于圓形車輪，車軸到地面的距離即是圓的半徑，而在同一個圓中半徑處處相等，車輪在滾動過程中能保證車軸到地面的高度始終不變，因此圓心的軌跡是一條直線，圓形車輪運動起來是平穩的。反之，正方形和橢圓不具有“一中同長”的特征，即便有“同長”也是“有限”的同長，而不是“處處”同長，因此車軸到地面的高度忽高忽低，中心點A的運行軌跡是一條曲線，車輪運動起來不平穩。

教師接著引導學生繼續思考：如果車輪做成了等邊三角形、正五邊形、正六邊形，坐在這樣的車上面又會有怎樣的感覺呢？中心點A的運動痕跡又是什么樣呢？先想象推理，再實踐操作驗證結論。最后啟發學生深入思考：圓與其他圖形究竟有什么不同？

教師引導學生在模擬操作之前先想象不同形狀車輪的滾動狀態，而不是一上來就讓學生操作，培養了學生的空間想象力和基于經驗的圖形直覺；接著引導學生模擬實踐，通過操作、觀察與思考，比較不同形狀的車輪中心點在運動中的高低變化，即圖形中心到地面距離的變化，關聯圓的本質特征的認識經驗，說明“圓心的運動痕跡為什么是直線”，解釋清楚這個問題也就說明了“車輪為什么是圓的”背后蘊含的道理，再次體會圓區別于其他圖形的“一中同長”的本質特征，感悟圓不同于其他圖形的最大的優越性、和諧性與完美性。教學中，經常運用圖形特征去想象，想象和動手實踐相結合，去解釋、解決生活中的各種現實問題，有助于深刻理解圖形——不但識其“外貌”，更要知其“性格”[3]。學生經歷上述具身體驗的學習過程，在想象、推理、操作中對現實世界中的人文現象主動釋“理”，初步培養其應用意識。

二、關聯經驗，在幾何直觀中嘗試釋“理”，充分形成應用意識

兒童數學學習的過程，應是不斷經歷現實問題數學化的過程?！墩n標2022年版》 在第三學段“教學提示”中指出“圓的教學可以列舉生活中的實例，引導學生概括圓的特點”[4]，同時只有“引導分析圓和三角形、四邊形等的直觀區別和聯系”[5]，才能更好地認識圓的特征，加深對圓的理解。因此，在“圓的再認識”教學中，我們不僅要將著眼點放在數學世界里對圖形特征的認識與理解上，同時也要著力設計生活問題數學化的學習活動，引導學生在理解圖形特征的基礎上不斷應用圖形特點解釋生活中的實際問題，深刻理解圓的本質特征，充分形成幾何直觀、推理意識和應用意識。

學習活動二：解釋“井蓋為什么是圓的”？

教學中，教師引導學生回想大街上的井蓋形狀，順勢提出問題：井蓋為什么都是圓的？啟發學生先獨立思考，關聯生活中井蓋的作用想一想、畫一畫，嘗試做出解釋，再小組討論交流想法。

交流中，學生圍繞“井蓋有什么作用”以及“井蓋怎么樣才能蓋住下水井口”兩個關鍵問題展開討論。討論中學生的第一反應是：井蓋是用來蓋井的，只要保證井蓋比井口大就可以蓋住井口。繼而明確：使用圓形井蓋與圓本身的特性有關，圓沿各個方向的直徑都一樣長，因此做成圓形井蓋無論斜著放置還是水平放置都能很好地卡在井口邊緣，井蓋不會掉落井下。如果做成正方形井蓋，井蓋比井口大，水平放置當然不會掉落井下，但若不小心沒有卡正，比如傾斜了一個角度，或者豎著放、斜著放，井蓋都有可能掉入井內，這是因為正方形對角線的長度大于它的邊長，正方形不具有“一中同長”的特點。所以，為了保證安全，馬路上的井蓋都是圓形的。

教師引導學生關聯生活中井蓋的作用，同時聯想圓、正方形的圖形特征，通過畫圖以幾何直觀的方式嘗試描述井蓋的使用原理，進一步體悟其中蘊藏的道理，比如正方形井蓋斜置會掉入井下的原因是對角線大于邊長，正方形的中心點到邊上任意一點的距離不完全相等。歸根到底最核心的本質是，其他圖形不具備圓那樣“一中同長”的完美特性。學生經歷上述現實問題數學化的學習過程，既是對圓的本質特征的再認識，又是對圖形特征的理解和應用，充分形成應用意識。

三、理解遷移，在抽象思辨中論證釋“理”，深化發展應用意識

圖形特征的學習離不開圖形特征的進階認識，更離不開圖形本質的理解應用，而要想促進學生更好地理解圖形，就需要不斷遷移研究經驗，不斷經歷抽象思辯的過程，應用圖形的本質特征對現實世界中的自然現象論證說“理”，深化應用意識的培養。

學習活動三：解釋“石子投擲水面產生的漣漪為什么是圓的”？

教學中，教師引導學生聯想生活中用石子“打水漂”的游戲，喚醒學生的生活經驗，啟發學生思考、討論、說明：石子投擲在水面產生的漣漪為什么是圓的？學生圍繞這個問題展開探討，并對背后的道理做出解釋：當石子落入水中時，會對水面產生一個擾動的沖力，這個沖力會向四周擴散形成波紋。這個沖力在水中的傳播速度是均勻的、一樣的，相同時間內在水中傳播的距離也是一樣的，因此波紋形狀呈現為圓形，但隨著沖力的減弱，波紋會以同心圓的方式向外傳播擴散，最終形成一圈一圈的漣漪。教師引導學生進一步感悟：這是因為圓是在各個方向上都具有相同距離的圖形，最終形成的漣漪，歸根到底還是圓“一中同長”的核心特征所致。在現實世界里，在實際生活中，不僅有車輪、井蓋這樣的人為制造物選擇圓形，連自然界中漣漪現象都與圓的本質特征密切相關?？梢?，圓因其“一中同長”的和諧、完美特性在自然與人文世界里普遍存在。

總之，圖形教學重在釋“理”，圖形學習要觀照說“理”?！啊f理可以使課堂在知識的再發現與再創造中變得更加豐富與厚實，更加立體與深遠?！盵6]通過應用圖形特征對現實世界中的自然與人文現象進行說明、解釋、講“理”，不斷積累對圖形特征認識的理解、遷移與應用經驗，才能達成對圖形本質特征的深入認識，才能將數學核心素養的“三會”在學生的個體發展中真正發生、落實與形成。

參考文獻

[1][4] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022：5-6，35.

[2][5] 課程教材研究所.《義務教育數學課程標準（2022年版）》解讀[M].北京：北京師范大學出版社，2022：175，177.

[3] 付麗，孫京紅.理解數學核心素養 踐行深度學習[J].基礎教育課程，2018（20）：30-33.

[6] 羅鳴亮，陳淑娟.走向未來教育的“說理”課堂——福建省第五屆“明師之道”小學數字課堂教學觀摩研討活動[J].小學數學教育，2023（17）：52-53.

[責任編輯：陳國慶]