聚焦推理意識 培養核心素養

王弋 晏莉娟 張茜

推理意識是重要的數學核心素養之一，主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟?！半u兔同籠”問題的教學旨在讓學生經歷初步的邏輯推理過程，基于經驗形成感悟，樹立初步的推理意識，達到既能進行合情推理，又能進行初步的演繹推理的目標。

一、在猜想、列表中進行推理

“雞兔同籠”問題出自《孫子算經》。本課采用教材中的例題“籠子里有若干只雞和兔，從上面數，有8個頭；從下面數，有26只腳，問雞和兔各有多少只”展開教學。

學生閱讀題目后，先依據“一只雞有一個頭、兩只腳，一只兔子有一個頭、四只腳”的基本常識，猜測雞和兔的數量。學生經歷自主學習、合作探究和教師講解的學習過程后，一般能得到解決此問題的三種方法：列表法、畫圖法與假設法。在初識題目并進行計算的過程中，學生往往通過隨機分配數量，拼湊得出雞和兔一共有8個頭、26只腳。拼湊過程中，學生通過計算發現結果與題目所給的總腳數有沖突，進而通過調整雞和兔的數量得到正確答案。隨機猜測這一做法不僅思路不清晰，還會花費大量時間。學生通過反思調整方法，用表格列舉出雞、兔只數變化時總腳數的變化情況（如表1）。

通過列表，學生發現：在雞和兔的總數量為8只的前提下，有序調整雞和兔的數量并計算出腳的總數，使之與題目中給定的“26”匹配即可。列表法具有清晰、直觀的特點，既是解決問題的重要策略和方法，又是后續深入分析問題的關鍵，但是數量較大時，不可能通過列表法一一列舉而得到正確答案。如何找到一種更加簡潔的方法成為后續教學的重點。

二、在圖示表達中進行推理

小學生更容易接受圖形的直觀表達。在探究過程中，教師要引導學生借助畫圖法進行推理。實踐探究中，學生用“”表示雞，用“”表示兔，并畫了8只雞，發現腳的總數比26只少了10只，進而展開分析：一只兔比一只雞多2只腳，可以通過減少雞的數量來增加兔的數量，進而增加總腳數，缺少的10只腳需要通過5只兔補齊，最終確定兔的數量為5只，雞的數量為3只。畫圖及調整過程如圖1所示。

此時，筆者出示另一種方法：先畫8只兔，計算得出32只腳，由于32只腳比題目給定的26只腳多了6只腳，從而發現兔的數量多了，而1只雞比1只兔少2只腳，可以通過減少兔的數量來減少腳的總數，每把1只兔換成1只雞就減少2只腳，把3只兔換成雞可使總腳數與題目中的26只腳一致，由此得出共有5只雞、3只兔。畫圖及調整過程如圖2所示。

最后，筆者引導學生總結：畫圖法比猜想法、列表法更加直觀。在畫圖過程中動態描述腳的總數變化，有利于發展學生的想象力與運算能力，但數量較大的“雞兔同籠”問題很難用畫圖法解決，不僅麻煩，還容易出現算重、算漏的情況。如何用數學語言對問題進行更深層次的分析呢？我們需要用到“假設”的數學思想。

三、在假設中進行推理

畫圖的推理過程隱含了一種假設的思想，即先假設一種極端情況，再根據實際進行數量調整。假設法應是學生經歷了猜測、列表、畫圖等過程后總結得到的一種做題思路。假設籠子里全是雞，總腳數就有“[2×8=16]”只，比題目給定的26只少10只，從而發現籠子里不全是雞，還應有兔，1只兔比1只雞多2只腳，每把1只雞換成兔，總腳數會多2只，少的10只腳需要用“[10÷2=5]”只兔來補齊，所以兔的數量為5只，雞的數量為3只。

列表的過程也體現了假設的思想，但與假設法不同。學生在列表描述雞和兔的數量時，會假設籠子里有雞和兔兩種動物，而不是籠子里只有雞或只有兔，這是學生對這一問題最直觀的認識。假設法是做出了一種“極端”處理，即假設籠子里全都是兔或全都是雞，進而將假設所得腳的數量與題目給定的腳的數量進行比對，得出最終結果。這種“極端”的假設需要學生在猜測、列表、畫圖的探索與修正過程中逐步理解，學生不可能直接聯想到用假設法列式計算。教學時，教師要搭建“腳手架”，讓學生結合圖示表征方法，在試錯的過程中不斷強化對問題解決思路和推理邏輯的理解，給予學生充足的時間和空間，讓學生在動手實踐、自主探索和合作交流中經歷觀察、猜想、計算等數學思維過程。在此過程中，教師可以通過變式問題，強化學生的推理意識。如學習“雞兔同籠”例題后，教師可引導學生運用其中蘊含的模型思想解決新情境下的同類問題：“已知每條大船可以坐6人，每條小船可以坐4人，全班一共有38人，共租了8條船，每條船都坐滿了。請問大、小船各租了幾條？”教師要重點引導學生分析并明確：小船相當于“雞”，大船相當于“兔”，8條船相當于“頭數”，38人相當于“腳數”，通過類比理清新情境下這類問題的解決思路和過程。在此基礎上，教師還可以組織學生討論“雞兔同籠”衍生出的實際問題，發散學生的思維，讓學生遷移運用所學內容，進一步培養學生的推理意識。

（作者單位：黃岡師范學院數學與統計學院）

責任編輯? 張敏

“雞兔同籠”問題是我國廣為流傳的民間數學趣題，有助于培養學生的邏輯推理能力，幫助學生體會代數方法的一般性。教學中，如何使學生經歷猜測、有序列表、圖示表達、假設、推理、驗證等自主學習過程，感悟解決問題策略的多樣性？如何讓學生理解、掌握“雞兔同籠”問題中的數量關系，靈活運用多種方法解決問題？如何在解決問題的過程中培養學生的推理意識？本期，我們討論如何更好地教學“雞兔同籠”問題。