基于數學思維解決“雞兔同籠”問題

魏媛媛

“雞兔同籠”是我國古代的一道數學名題，它以富有創意和趣味性的方式體現了代數方法的一般性，對于培養學生的邏輯推理能力具有不可替代的作用。筆者聚焦“雞兔同籠”問題的教學，從教材編排和教學策略兩方面進行分析和闡釋。

一、現行多版本教材相關內容編排的差異

目前，“雞兔同籠”問題在不同版本教材中存在著編排年級不同、例題表達不同、呈現的解決方法不同等差異。這一內容在教材編排中的年級跨度很大，最早安排在滬教版數學二年級下冊教材中，最晚安排在蘇教版、青島版、西師大版數學六年級下冊教材中。盡管內容編排在年級上跨度很大，但這類問題在不同版本教材中的呈現方式、解決方法是符合特定學段要求和學生認知發展規律的：第一學段主要讓學生通過畫圖和列舉，解決數值較小的“雞兔同籠”問題，初步感知生活中有很多類似的問題；第二學段引導學生解決“雞兔同籠”問題及其變式題，掌握解決這一類問題的方法，提升用數學的方法解決現實問題的意識；第三學段重點引導學生構建“雞兔同籠”的數學模型。各個學段都用到了多種方法，關注了方法之間的有機融合。具體內容梳理如左下方表格所示。

二、教學“雞兔同籠”問題的策略

1.用數學思維思考“眼前問題”

人教版數學四年級下冊“雞兔同籠”問題（例1）如下：“籠子里有若干只雞。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳，雞和兔各有幾只？”大部分學生看完題目后會猜測有4只雞、4只兔，并用“4×2＋4×4=24”計算出總腳數。這個答案非常接近題目中的26只，我們只需要微調雞和兔的只數即可找到答案。因為24只腳比題目要求的26只腳少，所以需要將兔的數量增多，雞的數量減少。學生再次猜測有3只雞、5只兔，并用“3×2+5×4=26”計算出總腳數。教師引導學生繼續思考，是否還有別的答案符合題目要求。學生發現猜測法在這里不適用了。教師提示學生嘗試新思路，用列表法逐一列出如下數據。

假設有8只兔（表第二列），則腳的數量為“8×4=32”只?！?2-26=6”只，多6只腳說明兔多了、雞少了。每只兔比雞多2只腳，所以“6÷（4-2）=3”只。這3只就是雞的數量?；蛘呒僭O有8只雞（表最后一列），則腳的數量為“8×2=16”只?！?6-16=10”只，少10只腳說明雞多了、兔少了。每只兔比雞多2只腳，所以“10÷（4-2）=5”只。這5只就是雞的數量。學生從表中可知，只有“3只雞、5只兔”這一種答案符合題意。這樣教學，讓學生通過不斷假設、比較、推理、調整的過程發現應用列表法解決問題的規律，積累猜測和推理的經驗，并在一一對應的數學思想方法的引領下學會了有序思考，理清了用假設法解決問題的思路。

2.用數學眼光看待“核心問題”

利用列表法、假設法得出答案后，教師提出“為什么是雞兔同籠而不是雞鴨同籠？”的問題，學生對此感到迷惑。經過教師引導，他們發現雞鴨都是一個頭、2只腳，“雞鴨同籠”相當于“雞雞同籠”，無法通過頭和腳的數量來判斷各自的只數，而“雞兔同籠”則避免了這個問題。

“雞兔同籠”會出現兩種情況。

第一種：已知頭數，求腳數。①籠子里有8只雞，共有多少只腳？（8×2=16只）②籠子里有8只兔，共有多少只腳？（8×4=32只）③雞兔同籠，共有8個頭，共有多少只腳？（不能確定）這3點共同說明：頭數確定了，對應的總腳數在一個區間內，如籠中共有8個頭時，總腳數在16～32之間，即：已知總頭數時，總腳數在全是雞、全是兔的腳數之間。同時，我們可以發現：籠中的雞每增加1只，兔就會減少1只，總腳數就會減少2只；反之，籠中的雞每減少1只，兔就會增加1只，總腳數就會增加2只。

第二種：已知腳數，求頭數。①籠子里關著雞，共有28只腳，一共有幾只雞？（28÷2=14只）②籠子里關著兔，共有28只腳，一共有幾只兔？（28÷4=7只）③雞兔同籠，共有28只腳，籠子里的雞和兔各有幾只？（不能確定）這3點共同說明：當籠子里只有雞或兔時，告訴我們腳數，馬上就能求出頭數；當雞兔同籠時，告訴我們共有28只腳，不能馬上確定雞與兔的只數。但能分析出總頭數在7～14之間，即已知總腳數時，總頭數在全是雞、全是兔的頭數之間。同時，我們可以發現：籠中的兔每增加1只，需要2只雞來補充，雞和兔的總只數就會減少1只；反之，籠中的兔每減少1只，就會多出2只雞，總只數就會增加1只。

有了前面的分析做基礎，學生再看到這樣的題目時就不會急著從方法入手尋求答案了，而是會先通過分析數據得知：共有8個頭時，總腳數在16～32之間；總腳數是28只，大于中間數24，說明籠中兔多雞少。學生還發現，雞和兔關在一起與籠中只有一種動物的情境相比，前者是不確定的，后者是確定的，而假設法能把不確定的信息轉化為確定信息，以達到解題目的。

3.用數學語言表達“延伸問題”

當學生理解了利用雞腳與兔腳的差異性建立的“雞兔同籠”模型，就可以解決相關的延伸問題。如：在一次軍事演習中，紅方準備將一個秘密信息設置為“56”送到司令部，如果派遣信使直接將該信息送過去，存在被藍方抓獲從而泄露信息的危險，請你設計一種方案，該方案要滿足兩個條件：第一，如果信使沒有被抓，則紅方司令部能順利得到“56”這個信息；第二，如果信使被抓，則藍方得不到“56”這個信息。

這個問題乍一看和“雞兔同籠”問題不相關，但實際上能用“雞兔同籠”模型來解決。教師可引導學生將這個兩位數十位上的數字看作雞的只數，個位上的數字看作兔的只數，在此基礎上分析題目。紅方可以派出2名信使，信使A向司令部派送的信息“11”是兩種動物頭的數量，信使B向司令部派送的信息“34”是兩種動物腳的數量。紅方司令部在接收到信使A和信使B派送的信息后，利用假設法可以得到雞和兔的只數，從而知道這個兩位數為“56”。藍方在只抓獲1名信使的前提下無法得知“56”這個信息。

解決“雞兔同籠”延伸問題的關鍵是找到題目中對應的頭的數量和腳的數量，進而用“雞兔同籠”問題模型解決問題，從而提高學生的抽象思維能力，發展學生的數學核心素養。

（作者單位：武漢大學第一附屬小學）

責任編輯? 張敏