“雞兔同籠”單元教學中數學思想方法的滲透

黎靜芳 王小平

數學思想方法的滲透可以加深學生對所學知識的理解，降低學習難度，拓展學生思維，是教師培養和發展學生數學核心素養的重要途徑?！半u兔同籠”是人教版數學四年級下冊的內容，具有滲透數學思想方法、積累數學基本活動經驗等教學功能，具有較大的探究空間。本文結合“雞兔同籠”單元內容，闡述其所蘊含的窮舉法、假設法、化歸法等數學思想方法的內涵，并通過具體案例探討這些數學思想方法在單元教學中滲透的過程。

一、窮舉法——解決“雞兔同籠”問題的基礎方法

窮舉法的基本思想是在解決有關計數問題時，如果需要計算的次數不多，我們通常把要計數的所有對象一一列舉出來，逐一驗證，若某個情況符合題目的全部條件，則為所求的一個解，若都不符合則無解。教師可以出示如下例題教學窮舉法：“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭；從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”

窮舉法的本質是先猜測雞、兔各幾只，并按順序列舉出所有可能（如下表所示），再根據總結出的關系式找出正確答案，即雞有3只、兔有5只時腳有26只。

列表后，教師可以引導學生用畫圖法直觀地表示出雞和兔的數量變化所引起的腳的總只數的變化，同樣可以獲得雞有3只、兔有5只時腳總數為26只的結果。

教學列表法和畫圖法后，教師可以引導學生說一說這兩種方法的優劣，即當雞和兔的數量比較少時用這兩種方法比較簡便，但數量大了，這兩種方法使用起來就不方便了，從而引出使用假設法解決問題的必要性。

二、假設法——解決“雞兔同籠”問題的一般方法

假設法就是根據題目中的已知條件或結論做出某種假設，然后根據已知條件推算，最后根據數量上出現的矛盾做適當調整，從而找到正確答案。假設法本質上是轉化的思想方法。

用假設法解決一般的“雞兔同籠”問題。教師可以將兩種動物都假設成雞或兔，引導學生計算相應的頭數和腳數，并與實際數量做對比，然后通過調整雞或兔的只數使腳的數量與實際相符，從而得到所求問題的答案。具體地講，假設8只都是雞，則應有“8×2＝16”只腳，比實際腳數少“26－16＝10”只，說明8只雞中有一些是兔子，每用1只兔換走1只雞，可增加“4－2＝2”只腳，所以共有兔“10÷2＝5”只，則雞有“8－5＝3”只。假設8只都是兔，也可以得到相同的答案。

分析兩種假設方法后，教師可以引導學生歸納出用假設法解決雞兔同籠問題的步驟“假設—比較—調整—驗證”，以強化學生對假設法結構特點的認知。

用假設法解決生活中的問題——“雞兔同籠”變式題。例如，教材練習中的第6題第（1）小題：“學校舉辦知識搶答比賽，答對一題加10分，答錯一題扣6分，3號選手共搶答8題，最后得64分。他答對了幾題？”教師要重點引導學生理解“加10分”對應“兔腳”，“扣6分”對應“雞腳”，“8題”對應“總頭數”，“64分”對應“總腳數”。如此，學生就能模仿上題的解法來解題：假設8題全對，應得“8×10=80”分，比實際得分多“80-64=16”分，答錯1題比答對1題少得“10+6=16”分（這是本題的難點），所以，答錯的題數為“（80-64）÷（10+6）=1”道，則答對的題數為“8-1=7”道，再用“7×10-6=64”驗證結果正確。最后，學生歸納：解決“雞兔同籠”變式題，關鍵是找到變式問題與原問題中各數量的對應關系，形成解決此類問題的一般策略。

三、化歸法——對復雜“雞兔同籠”問題進行轉化

“化歸”就是轉化、歸結的意思。數學中的化歸思想方法就是把直接應用已有知識不能或不易解決的問題，轉化為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決。

用化歸法對古代數學趣題進行轉化。教材主題圖給出《孫子算經》中的趣題：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？教材化繁為簡，將問題轉化為“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有8個頭；從下面數，有26只腳。雞和兔各有幾只？”這樣轉化后，學生可以更好地利用畫圖法和列表法解決問題。

用化歸法對練習中的拓展題進行轉化。教材在練習中給出《算法統宗》中的“百僧百饃”問題：“100個和尚吃100個饅頭。大和尚一人吃3個，小和尚3人吃一個。大、小和尚各多少人？”這道題的難點是，如果用常規的假設法解答會出現分數，四年級學生還沒有學習分數除法，需要用化歸思想把分數轉化為整數來計算。首先，假設1個小和尚吃的為1份，則1個饅頭為3份，同理，1個大和尚吃的是9份；其次，假設100人都是小和尚，比實際少吃了“100×3-100×1=200”份，每用1個大和尚替換1個小和尚就會多吃“9-1=8”份，所以大和尚人數為“200÷8=25”人，則小和尚人數為“100-25=75”人。

用化歸法對多個對象的“雞兔同籠”問題進行轉化。在寒假、暑假作業或綜合復習題中會出現多個對象的“雞兔同籠”問題，我們可以通過合并對象，將問題簡化為兩個對象的問題來解決。例如：蜘蛛、蜻蜓、蟬共18只，它們共有118條腿、20對翅膀（蜘蛛有8條腿；蜻蜓有6條腿，兩對翅膀；蟬有6條腿，一對翅膀），蜻蜓有多少只？解決此題，我們首先應把都有6條腿的蜻蜓和蟬看成一類（暫不考慮翅膀數量），根據蜘蛛有8條腿、蜻蜓和蟬都有6條腿，以及它們一共有118條腿，用假設法得到蜘蛛有“（118-6×18）÷（8-6）=5”只，那么，蜻蜓和蟬共有“18-5=13”只；然后，根據蜻蜓和蟬的翅膀數量推算它們各有多少只，即蜻蜓有“（20-1×13）÷（2-1）=7”只，蟬有“20-7=13”只。

四、對應法——古人解決“雞兔同籠”問題的方法

對應思想指人的思維對兩個集合間聯系的把握，即利用數量間的對應關系思考數學問題。尋找數量之間的對應關系是解答應用題的一種重要的思維方式。我們分析上文所述古代趣題“籠子里有若干只雞和兔。從上面數，有35個頭；從下面數，有94只腳。雞和兔各有幾只？”原本雞是1個頭對應2只腳，兔是1個頭對應4只腳。為了求出雞和兔的數量，古人進行了下面的操作：每只雞抬起一只腳，每只兔抬起兩只腳，使腳的總數減少一半，即為“94÷2=47”只，此時對應關系變為1個雞頭對應1只腳、1個兔頭對應2只腳。根據對應思想，47與35的差12就是多出來的兔腳數量，也就是兔的數量，即兔的只數為“47-35=12”只。

對應思想貫穿小學數學教材，在教學中的滲透形式多種多樣，集合、函數、坐標等問題都以這一思想為基礎。教學中，教師要適時引導學生構建對應關系，讓學生在解決問題的過程中形成學科關鍵能力。

五、分組法——解決較復雜“雞兔同籠”問題的另一策略

對于比較復雜的“雞兔同籠”問題，我們要借助分組法進行解答。分組法其實也是一種轉化的思想方法。所謂“分組”，就是把一定只數的雞和兔“捆”在一起考慮。計算時，通過頭數或腿數算出“捆”數，進而求出對應的只數。用分組法解決“雞兔同籠”問題并不是一定要把1只雞和1只兔分成一組，而是應該根據題目條件決定如何分組。

題目中的倍數關系往往是分組的依據，概括起來主要有以下幾種類型：①如果知道兩種動物的數量差，那么每組中應各有一個；②如果知道兩種動物的倍數關系，就按照倍數關系分組；③如果兩種動物數量的關系是幾倍多幾或幾倍少幾，則可通過“減多余”或“補不足”湊成整數倍，然后求解；④“頭倍腿和”“頭倍腿差”兩種類型的問題都要先分組，前者要找出每組所對應的“腿和”，后者要找出每組所對應的“腿差”；⑤“腿倍”題型，可以將“腿倍”轉化為“頭倍”再求解。

例如“百僧百饃”問題，我們可以根據大和尚一人吃3個、小和尚3人吃一個，把1個大和尚與3個小和尚看成1組，則每組吃4個饅頭，100個饅頭對應的組數為“100÷（3+1）=25”組，則大和尚人數為“25×1=25”人，小和尚人數為“100-25=75”人。

又如，解決問題“雞兔同籠，共有頭51個，兔的總腳數比雞的總腳數的3倍多4只?；\中共有多少只兔？”我們要將題目中的“腿倍”轉化為“頭倍”。轉化前，我們要先把多出的4只減掉，也就是說，如果去掉1只兔，那么雞、兔共有50只，兔的總腳數恰好是雞的總腳數的3倍，由“兔的總腳數=雞的總腳數×3”轉化得“兔的總只數×4=雞的總只數×2×3”，推出“兔的總只數×2=雞的總只數×3”。由此，我們可以把3只兔和2只雞“捆”在一起看成一組，用“50÷（3+2）=10”得出10組，所以，兔有“3×10+1=31”只。

再如，天上一群九頭鳥和地上一群九尾狐商量一起去吃唐僧，九頭鳥有九頭一尾，九尾狐有九尾一頭，孫悟空將它們抓起來關進籠子里，豬八戒在籠子外數出了134個頭和166條尾巴，算一算九頭鳥、九尾狐各有多少只。解答時，我們可以把1只九頭鳥和1只九尾狐分成一組，如下圖粗線左邊這些組中，每組的總頭數和總尾數是相等的。由題中條件知道，總尾數166比總頭數134多，那么分完組后剩下的一定是九尾狐，如下圖粗線的右邊所示。

1只九尾狐的尾巴數比頭數多8，總尾巴數比總頭數多“166-134=32”，因此，粗線右邊有“32÷8=4”只九尾狐。圖中粗線左邊和右邊的總頭數是134個，去掉右邊的4只九尾狐，還有“134-4=130”個頭，而每組有10個頭，則有“130÷10=13”組，所以，九頭鳥有“13×1=13”只，九尾狐有“13+4=17”只。

在常規教學中適當滲透分組思想能給學生帶來更多啟迪，教會學生有效觀察、有序思考、有效實踐，促進學生思維進階。

（作者單位：武漢城市職業學院初等教育學院）

（本文系湖北省教育科學規劃2023年度課題“新課標下小學數學教學‘單元構建與‘課時呈現深度融合的實踐研究”的成果。課題編號：2023GB240）

責任編輯? 劉佳