HPM視角下小學數學實踐活動的設計與實施

竺君斐

摘要：《義務教育數學課程標準（2022年版）》提倡設計與實施實踐活動，強調采用主題式學習和項目式學習等。HPM是數學史與數學教育的結合，HPM視角下的小學數學實踐活動，既能發揮數學史“立德樹人”的教育價值，又能幫助學生深入理解知識本源，提升思維能力，實現文化傳承。教師要根據不同史料內容，設計體驗式、實驗式、探究式、游戲式等不同形式的實踐活動，實現數學教學“開啟智慧，潤澤生命，立德樹人”的教育目標。

關鍵詞：HPM；數學史；數學實踐活動

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下通稱“新課標”）在“教材編寫建議”中強調：“內容設計要反映數學在自然與社會中的應用，展現數學發展史中偉大數學家，特別是中國古代與近現代著名數學家，以及他們的數學成果在人類文明發展中的作用，增強學生的愛國情懷和民族自豪感?！?/p>

在現有的教材中，數學史內容包括數學知識的由來（含數學符號演變史）、數學工具迭代史，數學家故事及主要成就、傳統游戲等。實際上，這些內容多數并未安排在教材正文中，而是安排在教材各章節練習后面“你知道嗎”小欄目中，其展現形式往往僅有幾行文字和幾幅圖片。人教版數學教材中共有40處數學史內容，共約17.5面；蘇教版數學教材中共有31處數學史內容，共約14.5面。這些內容短小精悍，教師只有深挖其內涵，才能把底蘊深厚的數學史融入學生的數學實踐活動之中。

設計HPM視角下的數學實踐活動，絕不是直接“點綴”和“附加”史料，而是通過“重構”，把數學史料融入數學實踐活動中。在課堂上，教師要給予學生充足的時間與空間，引領他們操作、實驗、探究、游戲，從而快樂地接受有歷史溫度、飽含古人智慧的數學知識，實現深入理解知識本源、提升思維能力、傳承數學文化的目的。

一、設計體驗式數學實踐活動，追溯知識演變史

數學知識的形成經歷了漫長的歷史演變過程，哪怕一個小小的數學符號都經歷了很多變化。教學中，教師要設計體驗式數學實踐活動，引領學生追溯知識演變史。

例如，在教學“萬以內數的認識”單元起始課時，其核心知識點“大數”的本質是十進位值制。位值制，即同樣的數字在不同的位置上能表示不同數值。位值制對于二年級學生來說是非常抽象的，為此，教師可以設計“寫數實踐”環節，并引導學生對“中國算籌的位值制”與“古埃及的累加制”進行對比，幫助他們深刻體驗中國位值制的簡約與美妙，體會位值制的意義與優勢。

【第一環節】用算籌創編235，用算籌表示5555。

教師介紹中國算籌有橫向與縱向兩種表示方法后，讓學生嘗試用算籌創編235（見圖1）。學生獨立思考，積極創造，教師呈現學生不同作品，師生評價交流，明確中國古人的記數規則，即“個位縱向十位橫向”。教師引導學生按照規則用算籌寫數5555。

【第二環節】用古埃及數表示5555。

教師出示圖2，介紹古埃及1～9，10，100，1000，10000以及古埃及記數235，引導學生發現古埃及記數規則，嘗試用古埃及數表示5555。學生用古埃及累加制記數5555時，紛紛感嘆“古埃及數5555好長，有16個符號”“手都寫酸了”。

【第三環節】教師引導學生進行第一次對比。

同樣是兩千多年前的記數方法，對比古埃及5555與古代中國5555，你想說些什么？

生：古埃及的個、十、百、千有專門的符號，古代中國的算籌則用位置加以區分。

生：古埃及的符號太多、太復雜，我們古代中國的算籌更方便。

生：我們古代中國人真聰明。

生： 作為中國人，我很驕傲，我們的祖先太聰明了！

教師引導學生進行第二次對比：對比古代中國算籌和現代記數法，你想說什么？

生：用阿拉伯數寫5555更簡單。

【第四環節】教師小結。

數學追求簡潔美，它是人類共同的智慧結晶?，F在我們學習和掌握的數學知識，凝聚了一代又一代數學家們的努力和智慧。用不同的數位表示個、十、百、千，叫做“位值制”，它表現了古代中國人的智慧，被馬克思稱為“人類最偉大的發明”。

數學知識的演變史（含數學符號演變史）內容在現行教材中占比最多，教師都可以遵循“追根溯源，回歸歷史”的設計策略，引導學生開展類似的體驗式數學實踐活動，使他們從歷史、文化等多角度理解知識本源，傳承科學精神。

二、設計實驗式數學實踐活動，了解度量衡工具迭代史

度量衡是專門用來測量長度、重量、容量、時間、方向等單位的器具。小學數學教材中的古代度量衡工具基本上都是中國發明的，有日晷、銅漏壺、指南針、算籌、算盤等。教師可以帶領學生參觀博物館加以了解，也可以在課堂上組織學生進行實驗操作，幫助學生了解中國古代度量衡工具的優勢與缺點，明白新舊工具迭代的原因，明晰進化歷程，培養批判性思維。

例如，在教學“認識時間”單元時，教師可以結合中國古代計時工具——日晷，引導學生開展實驗式數學實踐活動：學生動手實驗，四人為一小組合作探究，用手電筒模擬太陽光從東到西轉動，描繪竹竿影子。教師提供白紙圓盤，中間插一根竹竿，讓學生手持手電筒照竹竿，模擬太陽從東到西地轉動，觀察竹竿受光照后留下的影子，分別記錄上午、中午、下午3個時間段的影子。學生記錄完以后，教師呈現學生《陽光下的影子》作品，讓學生說一說一天中竹竿影子的變化規律。對比自己的作品與日晷面、鐘面，學生發現相似之處，并尋找內在關聯，體會計時工具的演變歷程。

雖然當前日晷、水浮式指南針、滴漏壺、算籌、算盤等已經被更先進的工具所代替，但是其背后的原理，卻是中國古人智慧的結晶，值得后人了解、熟知，這樣有助于培養學生的愛國情懷，增強民族自豪感。實驗式實踐活動還可以讓數學與科學相融合，這樣有利于營造更為生動有趣的課堂氛圍，激發學生學習興趣。

三、設計問題探究式數學實踐活動，領悟古人思想方法

《九章算術》《算法統宗》《莊子》等中國古籍記載了大量數學思想與方法。教師可以借助問題鏈激發學生進行數學思考，使他們領悟古人的數學思想與方法。

例如，在引導學生進行三角形、梯形面積公式推導時，教材中的例題基本采用了倍拼法，而在推導平行四邊形面積公式時卻用了剪拼法，學生因遷移而質疑：“三角形與梯形是否也可以用剪拼法變成其他規則圖形呢？”

此時，教師可以呈現教材中的數學史小欄目內容，引導學生先閱讀，再實踐操作，最后自主推導得到面積公式（見圖3）。在學生畫一畫，剪一剪時，教師用問題鏈啟發學生思考，領悟“出入相補”的數學思想，提升學生獨立思考能力與實踐能力，滲透數學文化。

【問題1】請觀察圖3，古人把三角形、梯形剪拼成長方形與平行四邊形，用“出入相補”原理得到面積計算公式，你能猜猜古人的“出入相補”是什么意思嗎？

【問題2】通過剪拼會改變面積的大小嗎？

【問題3】三角形變成長方形后，怎樣推導三角形的面積公式呢？

【問題4】梯形怎樣剪拼能變成長方形？梯形怎樣剪拼能變成平行四邊形？梯形怎樣剪拼能變成三角形？

在教學《九章算術》中圓柱、圓錐的體積計算，理解劉徽的割圓術、極限思想等時，教師都可以借助問題鏈激發學生的探究欲望，引導學生合作探究，使其與古人的數學思想方法實現碰撞。

四、設計游戲式數學實踐活動，不斷進階為系列化課程

適合小學生的數學益智類游戲有七巧板、華容道、數獨、魔方、漢諾塔等。教師可以將不斷進階的游戲開發成系列化的游戲課程，以游戲促思維、激興趣，發展學生的核心素養。

例如，在學習完“認識圖形”后，教師就可以利用課內或課外時間，循序漸進地引導學生開展“七巧板”游戲活動?；顒訂慰梢栽O計如下：

七巧板是我們祖先的一項卓越創造，為人類文化寶庫增添了不少色彩?？此坪唵蔚钠咔砂搴茉缇鸵蚜餍杏谑澜绺鞯?，被外國朋友稱為“唐圖”“東方魔板”。日本的七巧板、德國李希特的多巧板、丹麥庇德·哈恩的立體七巧板，都是根據中國的七巧板改良、發展而來的。

那么，中國的七巧板是怎么發明的呢？宋代黃伯思設計發明了長方形案幾（燕幾），共7件，它們寬度相等，長度關系非常巧妙。其可以視賓客的多少和菜肴的豐盛程度拼合成不同形狀的餐桌，一共能變化出76種組合。

明代的嚴澄在宋代黃伯思燕幾的基礎上又設計了蝶翅幾，首次出現了三角形幾、梯形幾。它們拼在一起是一只蝴蝶展翅的形狀，分開后可以拼成正方形、長方形、八邊形、S形等復雜的形狀。明代的戈汕將蝶翅幾創造出了一百多種組合。

到了清朝，兼有三角形、正方形、平行四邊形的七巧案幾問世了，后來人們把它改造成玩具，就是現在的七巧板。

那么，怎樣才能利用七巧板快速拼出美麗的圖案呢？首先，要會觀察，觀察邊與角，發現邊與邊之間的關系，角與角之間的關系。其次，要根據邊與角的特征拼組（見圖4）。

基于這樣的實踐活動，教師還可以將其進階為游戲式實踐活動課程（見表1）。

基于新課標的相關要求，將數學史融入課堂，開展體驗式、實驗式、探究式、游戲式實踐活動，能促進學生愉悅地學習有溫度、有內涵、有情懷的數學知識；有利于學生習得系統的知識，知曉知識之間的聯系，促使學生形成更為完善的數學思想。HPM視角下的數學實踐活動，變學數學為做數學，使學生有機會像數學家一樣去實踐操作，發現真理，發現數學的奧秘，收獲成功的喜悅。這樣的實踐活動拉近了學生與數學、歷史與現實之間的距離，培養了學生自主探究、合作交流的能力，建構起學生對知識意義的理解，發展了數學核心素養，使數學教學更加有效。

參考文獻：

［1］岳增成，汪曉勤.國際數學史與數學教育（HPM）發展歷程及啟示［J］.上海教育科研，2022（4）.

［2］王鑫，岳增成，汪曉勤.HPM研究的框架與進展［J］.數學通報，2021（6）.

［3］陳華聰，李玲，李黔蜀.數學史與數學教學的融合：HPM的理論基礎與實踐方式［J］.教學與管理，2013（36）.