占空比傳輸機制下基于協同預測的時變不確定系統遞推濾波

高宏宇 余林棟 胡銀鴿 李悅 侯男

DOI：10.20030/j.cnki.1000-3932.202402012

基金項目：國家自然科學基金（批準號：62103096，62073070）資助的課題；黑龍江省自然科學基金（批準號：LH2021F006）資助的課題；海南省科技計劃三亞崖州灣科技城聯合基金（批準號：2021JJLH0025）資助的課題。

作者簡介：高宏宇（1979-），副教授，從事復雜系統濾波、先進控制理論和智能控制的研究。

通訊作者：侯男（1990-），副教授，從事復雜網絡狀態估計、故障估計和魯棒控制的研究，bayan2@163.com。

引用本文：高宏宇，余林棟，胡銀鴿，等.占空比傳輸機制下基于協同預測的時變不確定系統遞推濾波［J］.化工自動化及儀表，2024，51（2）：227-236.

摘 要 以工業互聯網為背景，研究占空比傳輸機制下一類時變不確定系統的濾波問題，結合協同預測方法設計了新穎的遞推濾波算法，解決了占空比傳輸機制下濾波性能降低的問題。首先給出描述占空比傳輸機制的數學模型，然后提出結合協同預測方法的遞推濾波方案，設計基于占空比機制的遞推濾波算法，推導了濾波誤差協方差矩陣的一個上界，隨后分析這個上界的有界性，實現了在稀疏數據情形下提高濾波性能的目的。仿真結果驗證了所提算法的高效性和有效性。

關鍵詞 遞推濾波 傳輸機制 占空比 協同預測 時變不確定系統 稀疏數據 基于項目的算法

中圖分類號 TP14?? 文獻標志碼 A?? 文章編號 1000-3932（2024）02-0227-10

數十年來，國內外眾多學者致力于系統的濾波/狀態估計研究，并取得了許多優秀的成果［1～4］。到目前為止，濾波作為狀態估計的一種有效方法，已成功應用于石油、地質、電力、軍事、航空航天等領域。在當前眾多的濾波方法中（如H∞濾波方法、集員濾波方法等），遞推濾波由于具有突出的實時計算能力，獲得了大量學者的關注［5～8］。

隨著網絡化工業系統的快速發展，大量具有遠傳功能的無線傳感器在實際工業中被廣泛應用，這些傳感器通過共享的無線網絡按照特定的通信協議進行信息傳輸，其通信過程消耗了巨大能量，發揮重要作用的同時增加了維護難度與維護成本。當下，我國低碳建設正穩步推進，工業現場對傳感器通信過程的節能要求大幅提高。在此背景下，基于占空比的傳輸機制由于其突出的節能特性在實際工程中備受青睞。但需要注意的是，該機制下，由于發送的數據量顯著減少甚至較稀疏，使得生產現場數據監測不全面，加之外界其他客觀因素（如未知干擾、通信網絡不穩定等）的影響，可能加劇信息獲取的不完整程度，影響生產狀態信息的準確掌握，進而影響生產決策的及時制定。因此，占空比機制下系統的濾波問題亟待解決。近年來，通信協議下的系統濾波已成為國內外控制領域的研究熱點之一［9～13］，文獻［14］考慮輪詢通信協議下一類隨機時變系統的分布式遞推濾波問題，設計了有效的濾波算法；文獻［15］研究了隨機接入協議下一類網絡化線性時變系統的遞推濾波問題。然而，占空比傳輸機制下系統的濾波研究目前仍未真正開始，相關的理論研究工作亟待展開。此外，系統的不確定現象通常需要在濾波器的設計過程中加以考慮。在實際應用中，許多因素都會引發系統產生不確定性，如建模誤差、隨機產生的信息、未知干擾等。不確定性幾乎是不可避免的，且其無法用確定的量描述。如果在濾波器設計時未合理地考慮并處理這種不確定性，那么它將對系統造成很大的負面影響，甚至導致整個系統崩潰。目前，不確定系統的狀態估計問題受到了許多關注［16～18］，文

獻［19］研究了一類不確定遺傳調節網絡的狀態估計算法，其中建模誤差由具有凸多面體約束的參數不確定性描述；文獻［20］在對一類隨機不確定系統進行魯棒濾波設計時，采用范數有界矩陣表征了其中的不確定性。

筆者研究占空比機制下系統的遞推濾波問題，以一類時變不確定系統為對象，在測量數據稀疏情形下，提出一種新穎高效的遞推濾波算法。

1 問題描述

1.1 系統模型

考慮如下一類時變不確定系統：

x=（A+ΔA）x+Bωy=Cx+v（1）

其中，x∈R與y∈R分別表示通信傳輸之前系統k時刻的狀態及測量輸出；A為系統矩陣；C為系統的測量矩陣；B為適維已知矩陣；ω∈R與v∈R分別為系統的過程噪聲和測量噪聲，ω與v為零均值高斯白噪聲，協方差矩陣分別為Q及Q，并假設ω與v在任意k時刻互不相關。ΔA為具有如下形式的范數有界時變不確定性：

ΔA=UVW（2）

其中，U、W及V均具有適當維數，U和W為已知的時變矩陣；V為范數有界的未知時變矩陣，滿足：

VV≤I，？坌k≥0（3）

其中，I為適維單位矩陣。

如果式（2）、（3）同時成立，則稱參數不確定性ΔA為可容許的不確定性。

接下來，構造如下形式的濾波器：

=A=+K（-ΛC）（4）

其中，和分別為狀態x在k時刻的估計及一步預測；K為k+1時刻待設計的濾波器增益；Λ為對角矩陣；C為k+1時刻的測量矩陣；

為k+1時刻濾波器端接收到的測量輸出。

1.2 占空比傳輸機制

占空比傳輸機制（Duty Cycle Transmission Mechanism，DCTM）是休眠/激活無線傳輸機制的一種，其中，占空比d是指一個周期內激活時間與這個周期時間的比值。如圖1所示，一個周期時間T包含了激活時間T與休眠時間T。

圖1 激活時間、休眠時間與周期時間

由占空比的定義可知：

d（5）

在該機制下，無線傳感器處于激活狀態時發送數據，處于休眠狀態時不發送數據。顯然，為了降低無線傳感器的能耗、延長設備的使用壽命，傳感器應盡可能保持休眠，只在需要時才被激活。也正因如此，DCTM表現出了優越的節能特性。在該機制下，無線傳感器節點的工作狀態根據預設的占空比在激活和休眠之間變化?？梢?，占空比是這種傳輸節能技術的一個關鍵參數。

需要注意，由于DCTM的引入，在節能降耗的同時，測量數據的發送量明顯減少，這將影響系統的濾波性能。因此，如何在顯著節能的同時保證濾波器性能是筆者研究的主要動機，據筆者所知，到目前為止，受DCTM約束的濾波問題還沒有引起學者們的關注。

為了順利開展后續研究工作，現給出DCTM下的測量輸出模型?？紤]某實際工程中的無線通信網絡，根據其中無線傳感器的空間分布，假設這些傳感器被分為M個節點，那么DCTM下的測量輸出為：

？劬［y，y，…，y］

其中，為經過網絡傳輸后的第i（i=1，2，…，M）個傳感器節點在k時刻的測量輸出。y？劬［y，

y，…，y］T為傳輸前的測量輸出，其中y代表第i（i=1，2，…，M）個傳感器節點在k時刻的測量輸出。在DCTM下，當第i個傳感器在k時刻處于休眠狀態時，測量輸出y將不會被傳輸。則的更新規則描述如下［21］：

=Λy（6）

Λ？劬diag{λ}，i=1，2，…，M

λ=1，≤d，？坌k≥00，？搖其他（7）

這里，λ表征了第i個傳感器節點的休眠/激活狀態，λ=1表明傳感器節點i在k時刻處于激活狀態，λ=0則表明傳感器節點i在k時刻處于休眠狀態。T與d分別為DCTM下第i個傳感器節點的休眠/激活周期與占空比。

根據占空比的定義有：

d=（8）

其中，T為第i個傳感器節點在一個周期T內的激活時間。

注1 傳感器節點i是否處于激活或休眠狀態，利用式（7）、（8）即可確定：如果mod（k，T）≤dT，

則表明第i個傳感器節點在k（k≥0）時刻處于激活狀態，傳感器傳輸數據，有λ=1，此時=y；否則，節點i處于休眠狀態，不傳輸數據，有λ=0，此時=0。

1.3 占空比機制下濾波方案設計

1.3.1 基于預測的濾波方案

對于測量信息不完整的問題，傳統解決辦法是在濾波或狀態估計中采用零階保持（Zero-Order Holder，ZOH）策略，但該方法對于本研究的情況不可行。主要原因是，DCTM下每個周期內的休眠時間都較長，如果使用ZOH方法處理未發送數據，則濾波器端接收到的數據將在相對較長時間內保持不變，顯然這相當于人為主動向系統引入了一個較大的時間延遲，眾所周知，大時滯將嚴重惡化系統的性能，甚至導致系統不穩定；另一方面，幾乎所有的估計方法都主要依賴測量結果，如果測量數據不準確或不足甚至稀少，將會影響系統的整體性能。因此，要解決接收數據明顯減少甚至稀疏時仍然保證濾波性能的問題，亟需尋找新的方案。

為應對上述挑戰，筆者提出了一種基于預測的系統濾波方案，用相應的預測值代替未發送數據，以提高待處理數據的完整性和準確性。當傳感器發送數據時，遠程濾波器端應用測量輸出數據進行濾波；當傳感器不發送數據時，遠程濾波器端利用預測數據進行濾波，具體方案如圖2所示。

1.3.2 預測方法選擇

1.3.1節中已經給出了基于預測的濾波方案設計思想。然而，必須要考慮到的是，預測方法的引入可能會增加方案的復雜度，不利于工程實施，也即并不是任何一種預測方法在DCTM下都是可行的，如滾動時域估計方法或模型預測方法，由于需要利用大量歷史數據并進行大量計算，不僅能耗顯著增大還會減慢在線計算速度，因此不適用于DCTM下的預測；又如人工神經網絡、深度學習等機器學習算法，也不適用于解決上面的問題，主要原因是硬件配置需要滿足較高的要求而且算法實現將造成巨大的計算負擔。

上述問題的存在都可能導致節點能耗驟增，顯然，這與節能設計意圖相背，而且成本明顯增加。

綜合上述討論，本研究的主要目的是設計一種實用并有效的濾波方案，能夠在保持低能耗的同時盡量提高濾波性能?？紤]到對稀疏數據處理能力及節能性的較高要求，本研究采用協同預測（Collaborative Prediction，CP）方法預測傳感器未發送的數據。協同預測方法的主要優勢在于，稀疏數據情況下具有良好的預測效果，對硬件設備性能要求不高、算法復雜度不高且能耗低。

1.4 協同預測算法

1.4.1 協同預測算法選擇

目前，協同預測算法主要應用于推薦系統中，被認為是現有推薦預測方法中最成功的方法之一［22］。協同預測算法之所以獲得成功應用，主要在于其在高度稀疏數據的預測中具有明顯的優勢［23］，并且算法簡單、效率高。這激發了筆者考慮采用該方法解決DCTM下由于稀疏數據引起的濾波性能下降的問題。

在幾種常用的協同預測算法中，目前最基本和普及的一種是基于鄰域的協同預測方法，其核心思想是：以統計技術為基礎，尋找具有相同或相似結果的目標用戶［22～24］；然后，根據鄰域用戶的評分來預測目標用戶的評分；最后，向目標用戶推薦預測評分最高的前N項（其中，N為推薦數）［25］。一般而言，基于鄰域的CP方法分為兩類，即基于用戶的算法（User-Based Algorithm，UBA）和基于項目的算法（Item-Based Algorithm，IBA），分別根據相似用戶和相似項目的評分來預測目標用戶的評分。在推薦系統中，所謂“項目”是指系統通過預測向用戶推薦的具體內容條目。與UBA相比，IBA在實時性和處理稀疏數據方面具有明顯的優勢［26］，這促使筆者考慮將IBA應用于DCTM下系統的遞推濾波問題研究中。

1.4.2 基于項目的協同預測算法

筆者采用基于項目的協同預測算法來預測DCTM機制下的未發送數據，設計輸入為用戶u對項目l和項目j的評分r和r，輸出為目標用戶u對項目l的預測評分，該方法具體預測過程［24］如下：

a. 根據r和r，通過式（9）計算項目l和j之間的相似度Sim；

b. 通過Top-N方法找到與第l個項目相似的最近鄰；

c. 利用式（10），根據第l個項目的最近鄰計算目標用戶的預測評分。

IBA的主要思想是根據用戶-項目評分尋找項目的最近鄰，從而獲得目標用戶的推薦預測。而獲取項目最近鄰的常用方法是計算項目間的相似度。筆者采用皮爾遜系數計算相似度，其定義如下［24］：

Sim=（9）

其中，Sim表示項目l和項目j之間的相似度，從式（9）可知，Sim∈［-1，1］；U是項目l和j都具有評分的用戶集合；和分別是U中的用戶對項目l和項目j評分的平均值。

獲得Sim后，采用Top-N方法尋找與第l個項目相似的鄰域，即項目l的最近鄰。最后，根據最近鄰計算目標用戶對第l個項目的預測，具體公式如下：

=+（10）

其中，為目標用戶u對項目l的預測評分；r為目標用戶u對項目j的評分；O表示項目j的最近鄰集合。

以上即為數據稀疏情況下基于項目的協同預測算法過程，該方法計算簡單易實現，已成功應用于包括亞馬遜網絡平臺在內的諸多在線系統中。

受協同預測方法成功應用的啟發，筆者考慮采用該方法來預測未發送的輸出數據。下面就給出具體的基于協同預測的濾波器設計算法。

2 占空比機制下遞推濾波算法設計

首先，給出將用到的3個引理。

引理1［27］ 對于任意兩個向量a，b∈R，有下面的不等式成立：

ab+ba≤ρaa+ρbb（11）

其中，ρ為一個常數，ρ＞0。

引理2 對于任意一個矩陣L，若LL≤I，則有下面的不等式成立：

LML≤tr{M}I（12）

其中，M為已知適維方陣；tr{M}代表矩陣M的跡。

證明 已知下式成立：

LML≤tr{LML}I（13）

又知：

tr{LML}I=tr{MLL}I≤tr{M}I（14）

結合式（13）、（14），可推得：

LML≤tr{M}I

引理得證。

引理3［28］ 對于時刻0≤k≤n，假定矩陣X與矩陣函數A（X）、B（X）滿足X=X＞0，A（X）=

A（X）∈R，B（X）=B（X）∈R。如果存在矩陣C=C＜X使得：

A（X）≥A（C）B（X）≥A（X）（15）

那么，下列差分方程的解R及S滿足R≤S：

R=A（R）S=B（S）R=S＞0（16）

其中，R、S為差分方程解的初值。

2.1 構建遞推濾波器

令表示對k時刻未發送輸出數據的預測，即有：

y？劬［y，y，…，y］??? （17）

其中，為k時刻第i（i=1，2，…，M）個傳感器節點因休眠而未被發送的測量輸出的預測值。

根據前述內容可知的計算式如下：

=Y+（18）

其中，Ω表示與k時刻測量輸出相似的最近鄰集合；y為z時刻第i個傳感器節點的測量輸出；與分別為k時刻與z時刻測量輸出的平均值；Sim為k時刻與z時刻測量輸出的相似度。

Sim的計算式如下：

Sim=（19）

這里，Ω為在z時刻和k時刻發送數據的傳感器節點集合；y及y分別為第j個傳感器節點在z時刻和k時刻發送的測量輸出。

基于式（6）～（8）和（18），定義濾波器端接收到的測量輸出為：

y=Λy+（I-Λ）（20）

則構造如下結構的濾波器：

=A=+K×（-ΛC）（21）

其中，和分別為狀態x在k時刻的估計及一步預測。

2.2 基于協同預測的遞推濾波算法

定理1 針對一類時變不確定系統（1），其一步預測誤差協方差矩陣P與濾波誤差協方差矩陣P分別為：

其中，E{}代表計算矩陣的期望。

證明 根據式（8）與式（4），有：

e=x-

=（A+UkVkWk）e+UkVkWk+Bω（24）

其中，e為k時刻狀態的濾波誤差；e為k時刻對k+1時刻狀態的一步預測誤差。

由式（24）易求得一步預測誤差協方差矩陣

P（式（22））。

又根據式（1）、式（20）及式（4），可求得濾波誤差e如下：

由此，可推得濾波誤差協方差矩陣P（同式（23））。

定理得證。

注2 由于考慮了不確定性，從式（22）可以看到，一步預測誤差協方差矩陣P包含有不確定項。這種情況下，若要求取濾波誤差協方差矩陣P的精確值幾乎是不可能的，而這恰恰將導致無法計算濾波器增益K。為了解決這個問題，采用求取P的一個上界，然后通過最小化這個上界的跡來計算K的辦法。

以下定理2計算了濾波誤差協方差矩陣P的一個上界，并最小化此上界的跡，從而計算濾波器增益K。

定理2 考慮式（22）、（23）給出的一步預測誤差協方差矩陣P及濾波誤差協方差矩陣

P。令ρ及ρ為正標量，初始條件滿足P≤

Ψ的兩個遞推矩陣方程為：

有正定解Ψ及Ψ，那么Ψ是P的一個上界，Ψ是P的一個上界，即：

P≤ΨP≤Ψ （28）

進而，濾波器的增益矩陣為：

K=ΨCΛΘ（29）

Θ=ΛCΨCΛ+ΛQΛ+

（I-Λ）×（I-Λ）（30）

證明 本定理應用數學歸納法證明?？紤]初始條件P≤Ψ，并假設P≤Ψ。接下來，證明k+1時刻成立。

首先，對于式（22）中右側的項，利用引理1，有：

然后，根據式（31）重新整理式（22），可得：

P≤（1+ρ）×E{（A+UkVkWk）P（A+UkVkWk）}+

（1+ρ）E{UkVkWk（UkVkWk）}+BQB（32）

將引理1、2應用于式（32）中右側第1個期望項，有：

E{（A+UkVkWk）P（A+UkVkWk）}≤（1+ρ）APA+（1+ρ）·

tr{WPW}UU（33）

應用引理2于式（32）中右側第2個期望項，有：

E{UkVkWk（UkVkWk）}≤tr{WW}UU（34）

將式（33）、（34）代入式（32）中，可推得：

則根據引理3，式（26）成立。

對于濾波誤差協方差矩陣（23），由不等式（35）及引理3，初始條件P≤Ψ及假設P≤Ψ，易推得式（27）成立。

接下來求取Ψ的跡相對于K的偏導數，并令其為0，則有：

=-2ΨCΛ+2KΛQΛ+

2KΛCΨCΛ+

2K（I-Λ）（I-Λ）=0（36）

基于Θ的可逆性，可求得如式（29）所示的濾波器增益K。

定理得證。

下面將分析討論此上界Ψ的有界性。

3 有界性分析

假設1 存在正標量q、q、a、a、b、b、c、c、u、u、w及w，使得對于任意時刻k，有：

q≤‖Q‖≤q

a≤‖A‖≤a

b≤‖B‖≤b

c≤‖C‖≤c

u≤‖U‖≤u

w≤‖W‖≤w

定理1 考慮具有濾波器（4）的時變系統（1），濾波誤差協方差矩陣的上界Ψ有界，其界如下：

Ψ≤？綴tr{Ψ}+？綴？綴I（37）

Ψ≤Ψ（38）

？綴=（1+ρ）（1+ρ）a+（1+ρ）（1+ρ）wu

？綴=（1+ρ）wud+bq

d？劬sup（tr{}），？坌k≥0

證明 根據式（26）及假設1有：

Ψ≤（1+ρ）（1+ρ）atr{Ψ}I+（1+ρ）（1+

ρ）wutr{Ψ}I+（1+ρ）wutr{}I+bqI（39）

對于式（39）中的項tr{}根據濾波器（4）的預測步驟及式（1）知，可實現狀態的無偏估計，則tr{}項有界，考慮到的半正定性，設tr{}的上界為d（d≥0），即：

0≤tr{}≤d，？坌k≥0，d≥0（40）

整理式（39），得：

Ψ≤（？綴tr{Ψ}+？綴）I（41）

將式（29）代入式（27），有：

Ψ=Ψ-ΨCΛΘΛCΨ≤Ψ（42）

結合式（41）、（42），并考慮Ψ與Ψ的正定性，可推得：

Ψ≤（？綴tr{Ψ}+？綴）I≤？綴tr{Ψ}+？綴？綴I（43）

定理得證。

4 仿真驗證

考慮不確定時變系統（1），其參數如下：

A=0.6sin（3k）？搖？搖 0.70.7cos（k）？搖？搖 -0.3

B=［0.1？搖 0.2］T

C=10？搖 ？搖95？搖？搖 11

測量噪聲v與過程噪聲ω為零均值白噪聲，其協方差分別為Q=0.5I和Q=diag{0.8，0.6}，初始狀態x=［0.05？搖？搖0.1］T。

考慮測量值通過基于占空比機制的無線網絡進行傳輸的情況，觀察不同情況下的濾波效果。

不失一般性，假設有兩個傳感器節點。首先，觀察當V=0.2sin（5k），激活時間和周期時間分別為T=0.9 s、T=0.55 s和T=1 s、T=0.6 s，即占空比d=d=0.9時的濾波效果，如圖3、4所示，可以看出，由于占空比傳輸機制的引入，常規基于ZOH方法的濾波性能嚴重下降，顯然已不適用于本研究考慮的情況。為提高濾波性能，考慮采用設計的基于協同預測的遞推濾波算法實現有效的狀態估計，在上述參數下的濾波效果如圖5、6所示。對比圖3、4可以看出，筆者方法獲得了更好的濾波效果。

圖3 基于ZOH的實際狀態x及其估計

（d=d=0.9）

圖4 基于ZOH的實際狀態x及其估計

（d=d=0.9）

圖5 基于協同預測的實際狀態x及其估計

（d=d=0.9）

圖6 基于協同預測的實際狀態x及其估計

（d=d=0.9）

接下來，為進一步展示筆者設計濾波方法的良好性能，考慮加大不確定性V的振幅與變化頻率，并增大節能程度（即減小占空比），進行仿真驗證。設V=0.9sin（100k），激活時間和周期時間分別為T=0.6 s、T=0.49 s和T=1 s、T=0.6 s。相應地，占空比分別為d=0.6和d=0.8，濾波效果如圖7、8所示，可以看出，筆者提出的濾波方案在上述較大不確定性及較小占空比情況下依然獲得了令人滿意的濾波效果。

圖7 基于協同預測的實際狀態x及其估計

（d=0.6，d=0.8）

圖8 基于協同預測的實際狀態x及其估計

（d=0.6，d=0.8）

上述仿真結果表明，結合協同預測的遞推濾波方案，實現了在測量數據稀少及系統存在不確定性情況下的狀態估計，與常規ZOH方法相比，所提方法明顯提高了占空比機制下系統的濾波性能。

5 結束語

本研究以時變不確定系統為對象，結合協同預測方法設計了新穎高效的遞推濾波算法。通過最小化濾波誤差協方差矩陣上界的跡計算出了濾波器的增益，討論了濾波誤差協方差矩陣上界的有界性，并通過仿真驗證了所提濾波算法的有效性，以及測量數據稀少時能夠較好地實現對系統狀態的準確估計。

筆者設計的濾波方法可用于工程現場節能需求大、環境條件苛刻、傳輸不穩定，但對監測數據準確性要求較高的場合，算法能夠在上述情況下實現系統狀態的準確估計，并具有良好的濾波性能，研究成果在理論和工程方面都具有較強的應用價值。

參 考 文 獻

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（收稿日期：2023-02-14，修回日期：2023-12-30）

Collaborative Prediction-based Recursive Filtering for Time-varying

Uncertain System under Duty Cycle Transmission Mechanism

GAO Hong-yua，b， YU Lin-donga，b， HU Yin-gea，b， LI Yuea，b， HOU Nanb

（a. School of Electrical and Information Engineering； b. Artificial Intelligence Energy Research Institute，

Northeast Petroleum University）

Abstract?? In this paper， having the industrial Internet based to investigate the recursive filtering for time-varying uncertain systems under the duty cycle transmission mechanism was implemented， including designing a novel recursive filtering algorithm which combined with the collaborative prediction method so as to solve filtering performance degradation under the duty cycle mechanism. In addition， the model of the duty cycle transmission mechanism was presented and the recursive filtering scheme combined with the collaborative prediction method was proposed， including designing a recursive filtering algorithm based on the duty cycle mechanism， deducing an upper bound of the filtering error covariance matrix， analyzing the boundness of this upper bound and the purpose of improving the filtering performance in the sparse data case. Finally， a simulation example was provided to illustrate effectiveness of the proposed algorithm.

Key words?? recursive filtering， transmission mechanism， duty ratio， collaborative prediction， time-varying uncertain system， sparse data， project-based algorithm