一次函數視角下的特殊三角形存在性問題解題策略探究

林運蓉

【摘? 要】一次函數視角下的特殊三角形存在問題的探究，借助幾何畫板畫圖操作活動，正確分析問題、轉化化歸，模型意識反思，對數形結合思想、方程思想、分類討論思想的感悟，利用幾何法和代數法求解問題。

【關鍵詞】運算意識；幾何作圖；模型意識；一次函數；特殊三角形

一次函數視角下的特殊三角形存在性問題是在變化的過程中，研究背景圖形，根據條件探索某種狀態是否存在，把函數信息坐標或表達式轉化為幾何信息。分析不變特征，確定分類標準，探尋特殊狀態運動的結果，畫出符合題意的圖形求解。

知識儲備：用待定系數法求解一次函數的解析式，聯立方程組求解兩個一次函數圖象的交點，求解三個頂點為定點的三角形的面積，用鉛錘法求解有頂點是動點的三角形的面積。

解題困惑：對一次函數視角下的特殊三角形存在性問題，如直角三角形、等腰三角形、等腰直角三角形、全等三角形等的存在性問題，學生解題過程存在一些困難，無法畫圖，進行正確的分類討論，易出現漏解、錯解。

策略探究：假設特殊三角形存在→推理論證→得出相應結論。類型：兩定一動及一定兩動，思路：代數法→算理意識，幾何法→構圖識圖，函數法→待定系數法。

一、直角三角形的構造→直角頂點的分類討論

方法策略：分別對三角形三個頂點為直角頂點的情況進行分類討論，需要同時利用全等、勾股定理等相關知識計算，從而求出對應的點坐標。

【數學活動1】一次函數圖象與坐標軸交于點A、B，在坐標軸上找一點C，使得△ABC為直角三角形，求符合條件的C點坐標。

思路探析：找點→兩條垂線一個圓，求點→解析式法、距離公式與勾股定理、斜率法（圓上的點），增（舍）點→斜率不存在或等于零，需結合圖形檢查是否遺漏。

畫圖探尋：滿足條件的坐標軸上的 C 點共有 3 個，如圖所示：兩垂線→→①若∠BAC=90°，則AB⊥AC，所以以A為垂足作線段AB的垂線，交x軸于C1，則△C1AB是以AB為直角邊的直角三角形。②若∠ABC=90°，則AB⊥BC，所以以B為垂足作線段AB的垂線，交軸y于C2，則△C2AB是以AB為直角邊的直角三角形。

一圓→→③若∠ACB=90°，則AC⊥BC，所以以線段AB為直徑作圓（直徑所對的圓周角等于90°），交坐標軸于C3，則△C3AB是以AB為斜邊的直角三角形。

【案例1】已知A（2，0），B（0，3），在直線l∶y=1上找點C，使△ABC為直角三角形，你能求出點C的坐標？

設計意圖：一次函數視角下的等腰直角三角形的模型反思關鍵在于等腰、直角、90度與45度、勾股定理、兩點距離公式。

一次函數視角下的特殊三角形的存在性問題對八年級學生初學來說存在困難，需要梳理一次函數的圖象與性質，函數自變量的取值范圍的求法，結合幾何圖形的性質，通過畫圖操作，模型意識的介入，篩選有效信息，找準目標三角形的特征確定分類討論標準，運用方程、轉化、函數以及數形結合等思想來探究解決。

（基金項目：莆田市城廂區區課題“初中數學函數教與學實踐研究”，立項編號CXKT202205）