劉天齊
摘 要 不少大學物理教材將“柔軟無彈性輕繩”作為一種經典模型并圍繞其理想性提出了一系列的題目,而不同的求解方法可能得到不同的答案,這本質上是因為這種模型中隱含著加速度奇點,而各解法對加速度奇點的處理不同。為了系統性地解決不同解法之間的分歧,本文首先選取了有關加速度奇點的三個經典物理問題,然后綜述了這些題目的若干解法,接著分析其正確性,最后歸納出了有關加速度奇點的物理問題的一般規律,并提出了多種應對方法,以更準確地處理有關加速度奇點的物理問題。
關鍵詞 大學物理;柔軟無彈性輕繩;加速度奇點;微元法
“加速度奇點”[1]指質量無窮小,但在某瞬時的加速度為無窮大的理想質點,常見于“柔軟無彈性輕繩或鏈條”的經典理想模型中[2-5],求解有關這類模型的問題時可能產生不易發現的陷阱。本文將深入探究柔軟無彈性輕繩的動力學性質,找到加速度奇點問題的一般規律,以糾正柔軟無彈性輕繩中加速度奇點問題的解法上存在的錯誤。
1 鈍角擺問題
1.1 題目
常見的單擺都是銳角擺,即擺角不超過90°的單擺,如果擺角超過90°則為鈍角擺。如圖1(a)所示的一鈍角擺,一長為l 的柔軟無彈性輕繩一端系于光滑的釘子上,另一端掛著一個質量為m 的小球,一開始繩恰好繃直,高于釘子,θ 為30°。無初速度地釋放小球,求小球經過最低點時的速度u。
4 關于加速度奇點的討論
由上面三個例題可知,“加速度奇點”常存在于各種理想模型中,除了不可伸長的柔軟無彈性輕繩與鏈條之外,還有理想氣體分子間的碰撞等模型。從這些模型中可以歸納出應對“加速度奇點”的方法。
第一,“加速度奇點”可能使得質量無窮小的物體產生不容忽略的反作用力。由數學知識可知,處理無窮大量或無窮小量時,最嚴謹的做法是把做近似或取極限放在最后一步,為此,計算有關“加速度奇點”的問題時應當盡量最后再做近似,例如3.4節的解法在最后一步才令r→0+ 。此外,當柔軟無彈性輕繩的運動狀態可能會突變時,還應當采用微元法,例如繩落釘問題中,繩子在緊貼著釘子下落的過程中會突然躍離釘子,如果把繩整體化考慮,就容易犯3.2節的錯誤,而3.4節把繩微元化考慮,考慮到了繩的每一部分的狀態,不易出錯,并且3.4節相比3.3節的解法更為嚴謹,可以證明繩子在整體躍起之前不會有部分先躍起,且繩子在躍起前不會在離心力的作用下產生畸變。
第二,“加速度奇點”可能使得機械能不守恒,如繩落桌問題的題b和鈍角擺問題,這兩個問題中,繩子上的某一點或整條繩子在某一時刻為“加速度奇點”,且此處的速度大小有突變,類似于非彈性碰撞,機械能不守恒;繩落桌問題的題a和繩落釘問題中,繩子上的某處在某一時刻有“加速度奇點”,但此處的速度大小沒有突變,類似于彈性碰撞,機械能守恒。綜上,可以總結出以下規律:若“加速度奇點”處速度大小有突變,則機械能不守恒;若沒有“加速度奇點”,或“加速度奇點”處速度大小不變,則機械能守恒。
第三,“加速度奇點”可能使得物體運動的狀態發生突變,如繩落釘問題中繩子會躍起,又如繩落桌問題,如果沒有凹槽的限制,繩在速度達到一定值的時候會脫離桌沿而躍出[6]。為此,可以先假設系統穩定,再檢驗系統初值是否滿足假設,最后討論假設態的可持續性。這樣就可以證明系統在第一次出現狀態突變之前一直是穩定的,也可以導出何時出現第一次狀態突變。
5 結語
本文通過討論三個有關“加速度奇點”的例題,得出了“加速度奇點”可能產生的三個反常物理效果,最終給出了相應的應對方法,可以指導“加速度奇點”問題的建模與計算。未來的研究可進一步探索含有“加速度奇點”的柔軟無彈性輕繩在運動狀態突變后的行為,例如繩落釘問題中繩在躍起后的運動軌跡。
參考文獻
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