蠟燭火焰振蕩行為的實驗探究

張杰　張晨　徐術皓　于一真　王新剛

摘 要 燃燒的火焰在一定條件下會呈現出時間上的周期振蕩行為，但人們對其背后的動力學機制一直不是很清楚。本文首先利用紋影法對蠟燭的火焰振蕩行為進行了實驗研究，發現隨著火焰尺寸的增加火焰首先從平穩燃燒變為振蕩燃燒，之后火焰的振蕩頻率會逐漸降低。通過簡化的燃燒動力學模型，文中進一步對蠟燭火焰的振蕩行為進行了數值和理論分析，發現火焰的振蕩頻率密切依賴于燃料的供應速率和火焰的體積。隨著燃料供應速率和火焰體積的增大，火焰首先經歷了一次霍普夫分岔進而從平穩燃燒變為振蕩燃燒，之后火焰的振蕩頻率逐漸降低。理論分析結果與實驗結論定性吻合。

關鍵詞 火焰燃燒;周期振蕩;霍普夫分岔;紋影法

復雜動力系統在一定條件下會自發的涌現出宏觀上的周期性振蕩行為，典型的例子如大腦神經系統中的各類慢波、連續物理系統中的呼吸子、化學反應系統中的動態斑圖、電網系統中的諧波、病毒傳播網絡中的靶波振蕩等[1-4]。分析復雜動力系統中集體振蕩行為的產生機制和條件長期以來一直是非線性動力學和復雜系統研究的重要內容之一。本文以蠟燭火焰為例，通過實驗觀察和理論分析，探究火焰從平穩燃燒變為振蕩燃燒的條件，以及火焰尺寸對火焰振蕩頻率的影響。蠟燭火焰的燃燒不僅呈現出豐富的動力學行為，同時又在工程上有著重要的應用。該實驗易于操作，現象豐富，實驗結果可以被理論模型定性解釋，是學習非線性動力系統分岔行為的一個很好的例子[5，6]。

1 背景介紹

火焰燃燒的動力學行為長期以來一直受到不同領域研究學者的關注，并在實驗和理論兩個方面開展了大量的工作?？紤]到實驗的成本和效果，研究中人們經常以單束火苗為對象來研究火焰的燃燒行為。通過控制燃料供應速率（氧氣與可燃物）、火焰尺寸、重力加速度、環境壓強等因素，人們對火焰的燃燒特征進行了一系列的研究[7-9]。特別地，人們發現當火焰的尺寸低于某一臨界閾值時，火焰通常平穩燃燒;然而當火焰的尺寸超過這一閾值時，火焰開始振蕩，其振蕩頻率大致在10Hz左右[10]。上述研究大多基于實驗上的觀測和對實驗數據的分析，缺乏對火焰振蕩動力學機制的理解。

理論研究方面，人們根據燃燒反應的流體和熱力學特征，提出了不同的火焰燃燒模型[9-11]。這些模型雖然能夠定性解釋火焰振蕩的產生機制，但由于模型中考慮的因素太多，從而使得描述系統演化的動力學方程過于復雜而帶來理論分析上的一系列困難。最近，Gergely 等人比較了熱輻射和熱對流對火焰燃燒的影響[7]，發現相比于熱對流，熱輻射對火焰燃燒行為的影響可以忽略。在此基礎上，作者提出了一個簡化的火焰燃燒模型，并在數值模擬中觀測到了火焰從平穩燃燒到振蕩燃燒的變化。文中雖然觀測到了火焰燃燒中的分岔現象，但對于動力學分岔的詳細特征缺乏進一步分析。

本文以蠟燭火焰為實驗對象，利用紋影法觀測火焰的燃燒行為，并通過計算機輔助軟件定量分析系統的狀態演化。特別地，通過將多根蠟燭捆成一束來調整火焰的尺寸，我們重點對火焰燃燒的分岔行為進行了分析。實驗中不僅觀測到了火焰從平穩燃燒到振蕩燃燒的分岔行為，同時還觀測到火焰的振蕩頻率隨火焰尺寸增大而逐漸減小。利用Gergely等人提出的簡化火焰燃燒模型，我們對實驗結果進行了分析，發現隨著蠟燭數目（火焰尺寸）的增加，系統經歷了一次典型的霍普夫（Hopf）分岔。進一步，通過對模型進行數值模擬，我們分析了分岔后火焰振蕩頻率隨蠟燭數目變化的關系，發現火焰的振蕩頻率隨著蠟燭數目的增加而逐漸降低。理論分析和數值模擬結果與實驗結果相吻合。

2 實驗結果

2.1 實驗一：蠟燭火焰的振蕩現象

我們首先調試實驗器材，產生振蕩火焰，然后利用紋影法觀測火焰振蕩時周圍氣流變化情況，從而增加對蠟燭火焰振蕩行為的定性認識。紋影法的工作原理是利用光在被測流場中的折射率梯度正比于流場的氣流密度這一機理，從而將流場中密度梯度的變化利用拋物面鏡的折射轉變為視野中相對光強的變化，使可壓縮流場中的激波、壓縮波等密度變化劇烈的區域成為可觀察、可分辨的圖像[12]。

2.1.1 實驗裝置

實驗是在較為封閉的暗環境下進行的，以降低氣流對實驗的影響和更清楚的觀察火焰的振蕩現象。用到的實驗儀器包括：（1）拋物面鏡，如圖1（a）所示。（2）高11.7cm、直徑0.55cm 的家用照明蠟燭，如圖1（b）所示。（3）LED燈泡。（4）蠟燭底座，如圖1（c）所示。（5）照相機（手機）和支架。整個實驗裝置如圖1（d）所示。實驗中，為保證蠟燭火苗時刻保持在同一高度（便于數據采集），每次實驗后對比較高的蠟燭進行裁剪。實驗中將5根蠟燭捆扎成一束（排成一圈，中心對稱），每根蠟燭均通過蠟油固定在標好位置的底板上。

2.1.2 實驗結果

點燃蠟燭并等待火焰達到穩定的振蕩狀態后，通過手機攝像機對紋影儀中觀測到的現象進行記錄。如圖2所示，火焰的一次振蕩近似分為以下四個過程：（1）火焰燃燒加熱蠟燭周圍的空氣，產生溫度梯度，使得空氣對流，進而在火焰根部產生了由下向上的渦旋。如圖2（a）的灰色箭頭所示。（2） 隨著火焰不斷燃燒，渦旋開始上升，火焰向上拉伸，同時火焰腰部開始收縮變細，如圖2（b）所示。 （3）火焰繼續燃燒，渦旋增大并最終將火焰夾斷，上半部分火焰脫離蠟燭，如圖2（c）所示。（4）下半部分火焰繼續燃燒，火焰高度逐漸變高，恢復到初始狀態，如圖2（d）所示。根據上述實驗觀察，我們在圖2（e）中畫出一個完整振蕩過程的示意圖。該圖有助于加深對火焰振蕩行為的認識，為稍后的基于模型的理論和數值分析提供了物理圖像。

2.2 實驗二：火焰大小對振蕩頻率的影響

2.2.1 實驗方法

我們通過改變蠟燭的數目來調整火焰的尺寸，觀察火焰尺寸對振蕩行為的影響?？紤]到蠟燭束的對稱性，在研究中分別考慮1根蠟燭、3根蠟燭、4根蠟燭和5根蠟燭四種情況。對于每一種情況，以60秒為間隔對火焰進行隨機擾動。擾動的方式是煽動火焰周圍的空氣，使得火焰的燃燒明顯偏離之前的狀態。每次擾動后，我們用攝像機對火焰的燃燒進行拍攝，拍攝的頻率是每秒240幀，拍攝的時間為60秒。每一種情況下均采集火焰燃燒視頻60次。

接下來對采集到的視頻進行處理。首先將每一段視頻導入tracker軟件，通過軟件來追蹤蠟燭火焰的振蕩。具體方法如下：（1）對原視頻圖像進行灰度處理并消除背景噪聲。（2）以蠟燭的實際寬度和視頻中的寬度為基準建立平面直角坐標系，確定火焰的中心位置，如圖3（a）所示。（3）利用tracker軟件的自動追蹤功能追蹤視頻每一幀中火焰最高點的位置。（4）導出數據并利用MATLAB繪制蠟燭火焰最高點位置隨時間的演化曲線，進而統計火焰的振蕩頻率，如圖3（b）所示。在統計火焰的振蕩頻率時，為了排除暫態帶來的影響，統計均從10秒后開始。

2.2.2 實驗結果

通過分析四種情況下獲得的所有視頻，我們分別計算各情況下蠟燭火焰的平均振蕩頻率。實驗結果如表1所示。統計數據顯示，當單根蠟燭燃燒時，火焰無振蕩;當3根、4根和5根蠟燭捆成一束時，火焰的平均振蕩頻率分別為10.539Hz、9.997Hz、與9.476Hz。此實驗結果初步顯示了蠟燭火焰尺寸對火焰的振蕩的如下影響：（1）增大火焰尺寸，火焰會從平穩燃燒變為振蕩燃燒;（2）繼續增大火焰尺寸，火焰的振蕩頻率逐漸變低。

結合實驗一中對蠟燭振蕩過程的理解（圖2），火焰尺寸對振蕩頻率的影響可以定性理解如下。蠟燭的數目越多，火焰振蕩的氣流渦旋越大。但由于火焰核心的溫度沒有升高，因而其同周圍空氣的溫差沒有變化，導致渦旋流動的速度沒有發生明顯的變化。然而，由于渦旋尺寸的變大，空氣對流的速度會變慢，從而導致火焰振蕩頻率的降低。

3 數值和理論分析

3.1 動力學模型

為了進一步分析蠟燭火焰的分岔行為以及火焰振蕩頻率對火焰尺寸的依賴關系，接下來我們采用文獻[7]中的火焰模型，對蠟燭火焰的燃燒行為進行數值和理論分析。描述火焰燃燒的動力學方程如下

其中，T 表示火焰溫度，n 表示火焰中氧氣的濃度，C'是氣體比熱，a（n0）是火焰體積，ω1 是表征溫度變化快慢的特征時間，h'是對流熱流，T0 是外部溫度（室溫），β 是單位體積石蠟燃燒的熱量，a（n0）是燃料供應速率，E 是活化能，R 是氣體常數，ω2 是表征氧氣濃度變化快慢的特征時間，n0是空氣氧氣濃度。為了便于分析，對系統中的參數進行變換，引入無量綱參數

方程中參數av 和au 既與火焰的尺寸相關，也與燃料的供應速率相關。數值模擬中，我們將其他參數設為ε=0.001，c=5.1，τ=1.9，T0=25，γ=2.52×10-3，au =10，并通過改變av 的值的大小來觀察火焰行為的變化。定性的分析顯示，隨著蠟燭火焰尺寸的增大，av 的值將會單調增加。

3.2 數值模擬結果

取av =0.5，圖4（a）中畫出的是變量u（對應于火焰溫度）隨時間t 演化圖像。圖中顯示在此參數下火焰平穩燃燒，并未產生振蕩。圖4（b）中給出的是av =1.5時的模擬結果。該參數下，火焰呈現周期振蕩現象，振蕩頻率大約為20Hz。繼續增大參數至av =3.5，圖4（c）中顯示火焰仍然周期振蕩現象，然而振蕩頻率稍為變慢（大約為18Hz）。上述模擬結果很好地再現了實驗中主要的現象，初步驗證了理論模型的有效性。

為了系統地研究火焰尺寸對振蕩頻率的影響，我們將參數av 從0逐漸增加到4，通過數值模擬觀察火焰的振蕩頻率f 的變化。結果如圖5所示。從圖中可以看到，當參數av <0.74時，火焰平穩燃燒，此時無振蕩現象。該現象同實驗中的單根蠟燭情況下觀測到的現象相似。當av >0.74時，火焰開始振蕩，其頻率大約為f =8.2Hz。之后，隨著av 的增大，火焰的振蕩頻率首先稍微變大（0.741）。圖5中模擬結果與實驗結果（見表1）定性吻合。

3.3 理論分析

我們最后分析火焰在av =0.74附近的分岔行為。由式（2）可知平穩燃燒狀態需滿足方程

通過上式得到的平衡態解為（ u0，v0） ，則該平衡態的穩定性由下面Jacobian矩陣的本征值決定：

如果該矩陣的兩個本征值其實部均為負（小于0），則該平衡態穩定，否則不穩。圖6（a）中畫出的是兩個共軛本征值的實部隨參數av 的變化關系。圖中可以看到在av =0.74處本征值的實部從負變正，意味著火焰的平穩燃燒狀態在此處失穩。圖6（b）中給示的是隨著av 的增大兩個共軛本征值在的復空間中的變化軌跡。圖中可以看到在av =0.74處兩個共軛本征值同時穿過實軸。圖6顯示火焰在av =0.74處的分岔行為屬于典型的（亞臨界）霍普夫分岔。

4 結語

火焰的振蕩燃燒是一個十分有趣的動力學現象，探究其振蕩產生的機制以及振蕩特征對系統參數的依賴關系是一個非常有意思的課題。本文以蠟燭火焰為研究對象，通過將多束蠟燭捆綁在一起來增加火焰的尺寸，從實驗和理論兩個方面對火焰的振蕩行為進行了分析。研究結果顯示，隨著火焰尺寸的增加，火焰首先從而從平穩燃燒變為振蕩燃燒，之后隨著火焰尺寸的增加振蕩的頻率會逐漸變慢。通過對臨界點處系統平衡態的進行穩定性分析，我們發現該處火焰經歷了一次典型的霍普夫分岔。后繼工作中我們將嘗試研究多束火焰之間的集體動力學行為，觀察火焰間距、火焰尺寸以及火焰數目對火焰同步行為的影響。

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