藺玉榮,吳家淼,李國全,許貴橋
(天津師范大學數學科學學院,天津 300387)
設N 為全體自然數的集合,記N+=N{0},P 為全體素數的集合,記P-1={p-1:p∈P}.對于B?N+,如果|B∩{1,2,…,N}|/N=0,則稱B 為正密度的.定義B 的差集為B-B={b-b′:b、b′∈B}.文獻[1]采用定量的方法證明了,如果B?N+是正密度的,那么(B-B)∩(P-1)=.此后,文獻[2-5]改進或推廣了文獻[1]的估計.目前,文獻[3]得到的界是已知最佳的,文獻[3]得到如下定理1.
定理1[3]設N∈N+,B?N∩[1,N].若(B-B)∩(P-1)=,則有
這里D≥1 和0 設Fq為q 個元的有限域,記Λ?Fq[t]為Fq上的多項式環.記Ω={ω∈Λ:ω 是首1 不可約的多項式},對于N∈N+,令GN={m∈Λ:deg m 命題設N∈N+,A?GN.設r∈Fq[t]{0}.如果(AA)∩(Ω+r)=,則有 這里C≥1 和0 文獻[6]在命題的條件下得到 本文的主要結果如下: 定理2設N∈N+,A?GN,r∈Fq[t]{0}.如果(AA)∩(Ω+r)=,則有 這里C≥1 和C~>0 為只與q 有關的常數. 對于N∈N+,記=qN.對于m∈Λ,記|m|=qdegm.對于Λ 中的一個有限集A,|A|表示A 的基數.定義Λ+={m∈Λ:m 是首1 的多項式}. 引理1[6]設N∈N+,r∈Fq{0},m∈Λ+,A?GN,且則存在N′∈N+,m′∈Λ+,集合A′?GN′,且|A′|=,滿足 這里,0 < κ、c1、c2< 1,C1≥1,C2≥1 為只與q 有關的常數. 構造序列{(Ni,Ai,mi,δi)}i≥0.定義(N0,A0,m0,δ0)=(N,A,1,δ),設j∈N+,假設已定義序列如果下式成立 那么由引理1,存在(Nj,Aj,mj,δj),滿足 如果式(2)不成立,則終止定義(Nj,Aj,mj,δj). 由δj-δj-1≥c2δ>0 和①可得,因為δj≤1,所以上面的定義過程必終止于有限步.設其終止于第J 步. 則上面的定義過程將進行到第Z+1 步,而Z+1>J,這導致矛盾,從而應有. 由①和②可得 再由③可得 通過計算ln R(x)的導數,可得下面的引理2. 引理2設 則R(x)在(0,ξ)上單調遞減,在(ξ,+∞)上單調遞增,且ξ≤,其中C4≥1 為與q、N 有關的常數. 文獻[6]通過說明 成立,從而確保式(3)是成立的.而對于1 ≤j0 即j=j0+1 時式(2)未必成立.因此,文獻[6]的證明不能確保定義過程進行到第j0+1 步,從而不能保證式(3)有效. 為了確保定義過程進行到第Z 步,需要說明對任意1≤j 對于x≥0,記 這里C5=C2(1+ c1),則|mj|≤Q(j).由式(4)和式(5)可知,式(6)應修正為 證明使用反證法.假設δ 當N(只與q 有關)充分大時,有ln R(x)≥ln C1. 從而,當N(只與q 有關)充分大時,有ln R(x0)≥ln C1.證畢. 引理5如果δ≥C2exp(),則當N(只與q有關)充分大時,對于x≥0,有κln R(x)≥ln Q(x). 證明記 則有 設 必有κ lnR(x)+lnS(x)≥0.當N(只與q 有關)充分大時,式(15)成立. 當N(只與q 有關)充分大時,有 因此,由式(12)—式(14)可知引理結論成立.證畢. 定理2 的證明 由引理4—6 可知,當δ≥C2exp(),N(只與q 有關)充分大時,對于x≥0,有κ lnR(x)-lnQ(x)≥0,ln R(x)≥ln C1,κ ln R(x)+ln S(x)≥0,從而式(7)成立.取C=C2,,則定理得證. 定理2 也可以通過反證法證明.設前述定義給出了一個有限序列,則下面3 個不等式 至少有一個成立,進而得到一個關于δ、N、q 的關系式,從而得到定理2 的結論.具體思路參見文獻[7-9].相比反證法,本文方法利用函數性質可精準確定δ 的范圍,得到最佳結果.1 相關引理
2 定理2 的證明