對分課堂在線性代數課程教學中的應用*

湯樂

南京理工大學紫金學院 南京 210023

0 引言

對分課堂一詞最早由復旦大學心理學系教授張學新提出，并于2014年春季學期在心理學研究方法與實驗設計課程中首次使用[1]。其核心是將課堂一分為二，一半時間為教師講解，另外一半時間為學生討論。此教學方式將講授式和討論式教學相結合，強調學生在課堂教學中的參與性，對提升學生的學習能力和教學效果有較好的作用。

1 傳統課堂教學存在的問題

傳統講授式課堂以教師為中心，側重于教師對課程內容的準備及課堂講解，基本上是教師一人從頭講到尾，學生被動接受。這種“填鴨式”的教學形式，一味地灌輸知識，課堂節奏快，講授內容多，學生缺少思考和消化的時間，從而對后續內容的理解產生障礙，對學生的學習興趣產生不良影響。

傳統課堂與迅速發展的新式教學手段和教學方式之間存在一定的隔閡，如微課、慕課、網課等是學生比較常用的學習輔助工具，學生可以不受時間和空間的限制，利用碎片化時間來學習知識點。相比于傳統課堂上的做筆記，學生更樂于課上拍照作為記筆記、課后看視頻作為復習。學生學習習慣的改變促使傳統課堂教學必須與時俱進，以適應新的教學手段和教學理念。

傳統的講授式課堂教學對培養學生的自主學習和創新能力有所限制，學習內容、重點難點、概念理解、方法總結等都是經過教師整理搜集處理后再對學生講解，學生對知識的理解與掌握缺乏主動探索的過程，僅僅停留在教師怎么說，教材怎么寫，自己怎么理解的層面，不利于形成自己的觀點，也不善于挖掘不同知識之間的內在聯系，更不擅長對知識作延伸。

2 線性代數課程的特點

線性代數是本科院校比較重要的一門數學基礎課，是學習計算機、經管等專業課程的重要工具。與其他數學類課程相比，線性代數是一門相對獨立的數學課程，對學生的數學基礎要求不高。因此，線性代數入門相對容易，尤其是開始章節中的行列式或者矩陣部分的內容，學生接受度比較高[2]。然而，不同于高等數學這樣的數學課程，線性代數概念多，而且比較抽象，尤其是每個概念所涉及的性質、定理比較多，要靈活運用這些概念和性質，對一部分學生而言有一定難度。并且章節之間的聯系也較為緊密，矩陣與向量、線性方程組之間的關系尤為突出。能夠比較深入地理解不同概念之間的聯系，綜合運用各種方法和手段來解決問題是學習這門課程的難點。另外，線性代數特別注重邏輯分析和方法技巧，作業和考試中有不少關于概念的結論判斷和命題證明，這些往往是很多學生的薄弱點[3]。鑒于學生對抽象概念和理論邏輯掌握的困難度，在日常教學和考核過程中，一般以基本的線性代數概念和運算講授為主，對不同概念之間的聯系點到即止，對技巧性強的理論證明則盡量規避，重點訓練學生做題的熟練度，從而使其達到掌握基礎概念和運算法則的要求。

3 對分課堂的優勢

對分課堂是將討論式的學習模式引入課堂，弱化教師在課堂中的主導地位，提倡學生自主學習，通過課后自學和課堂討論激發學生的學習興趣和創新能力。具體分為講授（Presentation）、內化吸收（Assimilation）和討論（Discussion）三個環節，簡稱PAD課堂。其中講授環節由教師完成，原本的整節講授時間減少到一半的課堂時間，內容也要作相應精簡；內化吸收環節由學生課后完成，在這期間，學生完成教師布置的課后學習任務，從而對課堂上教師沒有完全講授的內容進行補充、完善和深化；討論環節為學生分組進行課堂討論，時間一般為20～25分鐘，課堂討論是學生相互學習、分工協作的過程，通過討論和交流完成知識點的查漏補缺，從而達到對課程內容的掌握。

對分課堂完成了課堂中教師的角色轉換，由原來教師一人主導的教學模式轉為師生共同參與，這在一定程度上減輕了教師的教學任務，教師有更多的精力關注學生的課堂掌握情況，及時發現學生在學習過程中出現的各種問題，及時調整教學方案以適應學生的學習需求，真正做到因材施教。同時，教師與學生在課堂上的互動更為直接，采用的教學素材更加具有針對性，教學效果也更為明顯[4]。對學生而言，課堂討論使每一位學生更加重視過程化學習，在目標任務驅動之下，需要擠出時間來研讀教材、查閱學習輔導書、觀看教學視頻等，以此來消化重要的知識點。同時，學習中遇到的疑惑和困難，在課堂討論中也變得豁然開朗，這種自主參與、自主學習的方式，能夠激發學生的學習潛能，培養學生良好的學習習慣。

對分課堂強調學生的過程化學習，因此，要對以期末考試成績為主的考核評定方式進行優化。以往成績評定由學生的出勤、作業和期末考試成績三部分構成，絕大多數學生在出勤和作業方面都能較好地完成，但其過程化學習存在許多問題。如：部分學生課堂上不是用心在聽講而是在刷手機，課堂提問常常是教師自問自答，學生課后作業解題過程模板化，等等。傳統的出勤和作業考核很難做到對學生學習情況的客觀評價，因此，教師不得不加大期末考試成績的占比，由此帶來的影響是不及格率偏高，班級總體成績不夠理想。而課堂討論可以比較客觀地反映學生在課后內化吸收的效果，改變學生濫竽充數的平時表現。因此，加大平時成績占比是對學生過程化學習的一種認可，對激發學生的學習興趣和提高班級成績都能起到積極作用。

4 對分課堂的實施

4.1 了解學生的認知結構

本科院校不同專業、不同層次的學生都開設了線性代數這門課程，不同班級的學生情況是不同的，有些班級的學生外省份、偏遠地區人數較多，有些專業文理兼收，有些班級的學生是從中職學校進到本科學校的，越過了高中學習階段，還有部分學生有線性代數的學習經歷等，這些情況都反映出學生在數學認知結構、學習習慣及學習能力等方面存在差異。因此，教師在開展對分課堂之前需要充分了解學生的學習背景，可以向輔導員詢問生源地資料、高考數學成績等，也可以在學生班級群中進行問卷調查。

4.2 制訂對分課堂教學方案

根據學生的層次，選定對分課堂的章節。線性代數課程不同章節的難易程度有所不同，做對分的內容和頻率需要和學生的能力相匹配。比如，行列式、矩陣、線性方程組這三個章節內容相對簡單，對分課堂的次數可以相對多些，向量、特征值與特征向量、二次型這三章難度偏高一些，對分課堂的次數要相對減少。另外，學習能力強的班級對分課堂開展的頻率可高些，反之，學習能力稍弱的班級開展對分課堂的次數要有一定限制，一般不超過總課時的二分之一。

根據對分課堂章節設計具體的教學計劃，包括教師講解內容的設定；課后學習任務的安排、學習資料（課件、視頻、練習題等）的選??；學生課堂討論問題的設置；教師課堂總結內容的準備；等等。需要特別注意的是，布置的學習任務要盡量具體，不能太寬泛，而且必須是重點，課堂討論內容的難度和數量要保證能夠在規定的時間內討論完成并且達成共識。另外，教師講解的內容需要精挑細選，要盡可能地言簡意賅、精益求精、重難點突出，要能對整個教學內容起到提綱挈領的作用，同時，也要為學生的課后學習與消化做好鋪墊和準備。

4.3 對分課堂實施步驟

第一次課為講授式授課，讓學生了解線性代數課程的特點和基本學習內容。告知學生對分課堂的流程、分組方式、考核標準等。線性代數是兩小節課連上，每一小節45分鐘，開展對分課堂的具體安排為：在第一小節課上教師公布要討論的問題，學生分組討論20～25分鐘，然后從每一小組中隨機選出一名學生進行匯報，把該學生匯報的成績作為整個小組的成績，學生匯報時間不超過25分鐘，討論加匯報剛好為1小節課的時間；第2小節課的前半節時間為教師點評學生匯報內容并總結這一次課的重難點，后半節時間為教師講解新課，并布置學習任務，預告下一次課要進行課堂討論的內容[4]。教師講解和學生課堂討論分別放在前后兩次課上進行，中間至少間隔三天以上，目的是給學生留足課后學習的時間，使其達到內化吸收的效果。

5 對分課堂教學案例

筆者使用對分課堂教學的線性代數課程共32課時，一周兩次課，每次兩課時，每課時為45分鐘，課程內容依次為矩陣、行列式、向量、線性方程組、特征值與特征向量。為方便討論，按宿舍分組，一組6人，個別組人數為5人，因為是大班化教學，一個教學班的人數達到125人，總共有21個小組，要求同一組學生在教室中坐一起，前后兩排各坐2～3人。

案例1：本課程第一次課的兩課時由教師講解，主要內容為矩陣概念、矩陣線性運算、乘法和轉置，布置給學生的課后學習任務是什么是矩陣多項式、矩陣的初等變換有哪些、怎樣用初等變換解線性方程組。第二次課的開始，給學生三個討論問題，第一個問題是計算一個矩陣多項式，第二個問題是寫出一個線性方程組的矩陣等價形式，第三個問題是給學生一個線性方程組，要求學生用初等行變換求線性方程組解，討論時間為20分鐘。討論結束后開始匯報。第一個問題的矩陣多項式題，學生正確地講解了計算方法，尤其注意到了矩陣代入多項式中的常數項上要乘以同階單位陣，第二個問題的矩陣表示線性方程組題，匯報的學生用增廣矩陣作為線性方程組的等價形式，這樣表示是有所欠缺的。因為增廣矩陣只體現了線性方程組的兩個關鍵元素：變量系數和常數項，另外一個元素變量雖然相對次要，但是利用矩陣乘法將系數、常數和變量完整表示的形式要比增廣矩陣更準確。增廣矩陣的主要作用是方便求解，它的解由系數和常數項決定，可以忽略變量形式。第三個問題用初等行變換求線性方程組解，學生講解和演算都正確，但是，學生做初等行變換時，只把增廣矩陣化到階梯矩陣而不是最簡階梯矩陣，導致的后果是后續求解需要繼續做消元，不僅計算量大，而且容易出錯。前兩問匯報時間相對較短，第三問匯報時間相對長一些，總共時長25分鐘，討論和匯報花去一小節課時間。在第二小節課的前半節，教師對學生匯報中的問題進行了點評，并且對這一節教學內容中沒有給學生布置學習任務的初等矩陣概念與初等矩陣的作用進行了講解，總共用時25分鐘。在后半節的20分鐘內，教師講解了逆矩陣的概念、性質、矩陣可逆的判別方法及相關例題，并布置了課后學習任務、預告了下次課的討論內容。

案例2：向量組的線性相關性。前一次課教師講解了向量的概念和向量的線性組合，布置的學習任務是了解線性相關和線性無關的概念與性質是什么，怎樣判斷一個向量組的線性相關性，怎樣求向量組的秩和極大無關組。后一次課的課堂討論環節布置了三個問題。第一題包含三小題，皆為用定義和性質判斷有關向量組線性相關性的結論是否正確，第二題是給了學生一個非齊次線性方程組，要求用向量表示這個線性方程組，出這個題的目的是讓學生明確線性方程組與向量之間的關系，熟悉一個向量是否可由一組向量線性表示，等價于一個線性方程組是否有解，同時讓學生掌握向量組的線性相關性是由對應齊次線性方程組是否有非零解來決定的。第三題是判斷四個四維向量的線性相關性，若線性相關，求該向量組的一個極大無關組。這一題涉及判斷向量組線性相關性的兩個常用方法，一是通過向量組的秩和向量個數大小關系判別，二是由向量組構成的行列式的值來決定線性相關性。這三道題涵蓋了向量組線性相關性的常用判別方法，屬于基本知識點，也是要學生重點掌握的內容。學生課堂討論25分鐘。在匯報環節，第一題的三個判斷題均判斷正確，原因解釋恰當。第二題的線性方程組向量形式，學生給出了正確的表達式，緊接著教師問學生是怎樣推導出的這個結論，學生回答是用向量的線性運算做了推導。實際上，最優的解釋是線性方程組與一個矩陣方程對應，將矩陣方程中的系數矩陣按列分塊，由分塊矩陣的運算即可得到線性方程組等價于一個線性組合，組合系數即為變量的取值。第三題學生用定義判斷向量組的線性相關性，用矩陣秩的定義求向量組的秩和極大無關組。此時，教師向學生提問，矩陣秩是否有其他計算方法，學生受到啟發，改用初等行變換求秩、極大無關組和線性相關性的判別。在第二小節課的教師講解環節中，教師對上述匯報中學生有所遺漏或者疏忽的方法和結論做補充，同時對學生討論中沒有涉及的關于線性相關性、矩陣秩、向量組秩的常用結論和常見題型進行小結，為下一次對分課堂做準備。

6 對分課堂教學反饋和總結

對分課堂教學形式是學生樂于接受和歡迎的教學形式。對分課堂給予學生在課堂上展示自己的機會，學生的課堂主體意識和地位增強。小組成員之間的互學互助提升了學生對課程內容的認知，不同解題思路、學習觀點在討論中形成最優解決方案，充分發揮小組學習的優勢。學生普遍反映，相比傳統課堂，對分課堂更能激發學習動力和學習興趣，更能讓他們集中課堂注意力，緩解課堂聽講的焦慮感和緊張感，更容易把握學習的重難點、更容易解決學習中的困難和疑惑、更能有效地掌握課程內容。

對分課堂教學實踐證明，在線性代數課程教學中開展課堂討論，對提高教學質量有積極的作用。教師需要努力提升業務水平，嚴格把控對分課堂的每個環節，將課堂講授內容、課后學習任務和課堂討論問題有機結合，同時要對學生課后學習過程進行監控和引導，對學生討論中出現的問題要靈活處理，注重啟發式教學，不斷提高學生的數學思維能力，從而達到較好的教學效果。